黃錦芹

【摘 要】家庭作業(yè)不但可以起到及時(shí)鞏固課堂所學(xué)知識(shí)的作用，還是對(duì)知識(shí)的一種檢驗(yàn)和應(yīng)用，更是教師測(cè)評(píng)學(xué)生知識(shí)掌握水平的一種最直接的手段。但是，反觀教育現(xiàn)狀，數(shù)學(xué)家庭作業(yè)內(nèi)容過于陳舊單調(diào)，淪為一種形式，學(xué)生只要做完且答案和標(biāo)準(zhǔn)答案一致，就算合格，字跡工整的還可以附贈(zèng)一個(gè)“優(yōu)秀”，這樣的書面作業(yè)無法反饋學(xué)生的思維過程。

【關(guān)鍵詞】理解 概念 知識(shí) 應(yīng)用 推理 證明

探究性數(shù)學(xué)家庭作業(yè)需要學(xué)生高度的自覺性和獨(dú)立的思考性，旨在讓學(xué)生通過研究一個(gè)開放性問題，進(jìn)行自主探究和表達(dá)，在作業(yè)過程中必須完成理解概念、建構(gòu)模型、方法創(chuàng)新等一整套流程。結(jié)合中高年級(jí)的知識(shí)特點(diǎn)和小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以將探究性作業(yè)分為概念鞏固作業(yè)、知識(shí)應(yīng)用作業(yè)、推理探索類作業(yè)三種類型。

一、概念理解類作業(yè)設(shè)計(jì)策略

數(shù)學(xué)概念是通過大量的對(duì)比歸納而形成的。借助符號(hào)化的表達(dá)，可以把數(shù)學(xué)概念提煉為一串表達(dá)式，而對(duì)比辨析的過程就成了隱蔽的過程性思維。因此，建構(gòu)概念的方式不同，對(duì)概念的理解程度也就不同。

（一）“描寫式”作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

“描寫式”的概念理解作業(yè)，重在對(duì)概念的復(fù)述，要求學(xué)生敘述概念的定義，直接說出自己的直覺理解，然后通過舉例證明，最后讓學(xué)生對(duì)照概念內(nèi)涵自己設(shè)計(jì)題目，以此展示對(duì)概念的深刻領(lǐng)會(huì)。譬如“平均數(shù)”這一概念，在舊版教材中幾乎都是通過計(jì)算題直接計(jì)算平均數(shù)，而新版教材則側(cè)重于理解。學(xué)完了平均數(shù)，為了檢測(cè)學(xué)生理解到什么程度，筆者設(shè)計(jì)了“平均數(shù)講演”的“開放性作業(yè)”，學(xué)生可以通過任何方式為平均數(shù)正名。

有個(gè)學(xué)生寫道：我是“平均數(shù)”，和“÷”是近親。我平時(shí)深居簡出，我有兩種出場(chǎng)方式，一種是“移多補(bǔ)少”，一種是“總數(shù)÷份數(shù)”。我是最公正不阿的法官，代表平均分的結(jié)果，雨露均沾。如有12盒月餅，分給3位嘉賓，我會(huì)給每人分配4盒。三年級(jí)學(xué)生可以通過描述、舉例、出題等方式將平均數(shù)解釋清楚。描寫式作業(yè)，不僅能鞏固概念，更是對(duì)概念的一次剖析。經(jīng)過一定時(shí)間的訓(xùn)練后，一旦遇到數(shù)學(xué)概念，學(xué)生就知道該通過什么途徑分析和理解概念。

（二）“判定式作業(yè)”的設(shè)計(jì)策略

概念判定式作業(yè)，側(cè)重于對(duì)概念的是非判定。學(xué)生需要預(yù)先獨(dú)立判斷概念命題：“全對(duì)還是全錯(cuò)？或者改變某一條件才正確？”——這是初步判斷。然后深入解剖，看是否可以通過增刪條件將命題訂正，這一步操作促進(jìn)對(duì)與概念相關(guān)聯(lián)的子概念和次生概念的理解，形成概念鏈條。最后舉出正確的示例，使得對(duì)概念的判斷呈現(xiàn)先“破”后“立”的思維狀態(tài)，全面建立概念。

如學(xué)生在學(xué)習(xí)了“面積”概念后，經(jīng)常需要對(duì)“面積”和“周長”進(jìn)行分辨。有些判斷很粗略，是一些概括性的描述，如“如果一個(gè)圖形的周長越長，就說明它的面積越大”。“周長”是舊知，如果非要在此基礎(chǔ)上類比構(gòu)建“面積”概念，就必須進(jìn)行辨析。但如果不分析原因，只記住結(jié)論，那么下次一遇到變式，學(xué)生就會(huì)束手無策。若將作業(yè)改變問法，設(shè)計(jì)成“一個(gè)圖形的周長越長就能說明它的面積也越大嗎？為什么？請(qǐng)?jiān)噲D將你的想法通過畫圖或者描述展示出來”，學(xué)生就會(huì)想方設(shè)法證明這個(gè)命題是個(gè)偽命題，得出“有很多有凹入部分的圖形，邊緣彎彎曲曲會(huì)很長，但是面積卻出奇的小”這樣的結(jié)論。

二、知識(shí)應(yīng)用類作業(yè)設(shè)計(jì)策略

知識(shí)應(yīng)用強(qiáng)調(diào)“四能”培養(yǎng)，知識(shí)應(yīng)用的核心素養(yǎng)就是建模，需要通過各種不同類型的作業(yè)來完成知識(shí)體系的構(gòu)建。既然“問題”都是分類的，那么對(duì)同一題型的提煉，關(guān)注遞進(jìn)式的題組，就是這類作業(yè)的基本設(shè)計(jì)理念。

（一）“橫向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

“橫向同構(gòu)”問題，是指有著相同構(gòu)架的問題，例題要突出本質(zhì)特征，而非本質(zhì)因素則要千變?nèi)f化，從而訓(xùn)練學(xué)生透過題干的表面看到問題的結(jié)構(gòu)本質(zhì)。解兩題（數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)均相同，只是背景內(nèi)容不同）歸納共同點(diǎn)，用不同方式表示問題的結(jié)構(gòu)。做第二題時(shí)就會(huì)感覺到似曾相識(shí)，做第三題時(shí)就會(huì)恍然大悟。因此，教師可以在解答題目之后，讓學(xué)生說出它們到底哪里一樣，然后指導(dǎo)學(xué)生用專業(yè)的數(shù)學(xué)符號(hào)（線段圖、表格）等提煉出模型。

（二）“縱向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

“縱向同構(gòu)”問題，是指由同一個(gè)數(shù)學(xué)問題派生出許多變式，把一道有價(jià)值的題目通過改變其中的基本元素改編成多道相關(guān)題，逐步發(fā)散學(xué)生的思維，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題的演變形態(tài)，全面掌握相關(guān)知識(shí)。學(xué)生一旦具備這種能力，之后在遇到類似問題時(shí)，不管如何變形，都能迅速找到解決的方法。

將一道簡單題逐漸增設(shè)條件加大難度，或者將直接條件改為間接條件，可以讓學(xué)生明白這類問題是縱向延伸的，其基本結(jié)構(gòu)和主軸相同。學(xué)生仍需先獨(dú)立解答兩三題，這幾題情境相同，從而體會(huì)到，明明說的是一件事，但是又偏偏不盡相同，在解答后明確描述出不同之處，最好還能指出相同點(diǎn)和內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

比如，在學(xué)習(xí)“分段計(jì)費(fèi)”后，筆者設(shè)計(jì)這樣的作業(yè)：“李叔叔要寄個(gè)快遞，快遞收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為3千克以內(nèi)保底價(jià)6元，3千克至10千克每千克加收1.5元快遞費(fèi)，10千克以上每千克加收1元的快遞費(fèi)。李叔叔如果要寄2千克的包裹，要支付多少快遞費(fèi)？5千克呢？20千克呢？請(qǐng)畫線段圖分析快遞費(fèi)收取方案?！睂W(xué)生接觸的都是“分兩段”的“水費(fèi)”“電費(fèi)”“電話費(fèi)”等問題，設(shè)計(jì)作業(yè)將題目縱向拉伸，不斷增加段數(shù)，借助線段圖深刻揭示分段計(jì)費(fèi)問題的基本構(gòu)架。這類問題還能改造成開放題，通過刪減數(shù)據(jù)條件，讓學(xué)生自己賦值提問并解答，迫使學(xué)生自覺解剖問題結(jié)構(gòu)，再來設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，提高難度。

三、推理證明類作業(yè)設(shè)計(jì)策略

推理是一種基本的數(shù)學(xué)思維，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。推理證明類作業(yè)在于通過推理方式建構(gòu)知識(shí)，讓學(xué)生逐漸掌握證明、分析、推理的一般程序。

（一）“證明推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

當(dāng)學(xué)生有能力證明一個(gè)命題的真?zhèn)螘r(shí)，他頭腦中就能勾勒出基本的邏輯線索。作業(yè)就是先要將原有的線索激活，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，從而將抽象的線索變?yōu)榫唧w的證據(jù)。

概念的“判斷分析”針對(duì)知識(shí)點(diǎn)，而“證明推理”則針對(duì)偏題、難題。學(xué)生在證明自己的觀點(diǎn)前要亮明觀點(diǎn)，然后設(shè)法“證明”，在證實(shí)自己的觀點(diǎn)后再重申觀點(diǎn)。

（二）“遷移推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

新知的構(gòu)建，有賴于從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去接納和同化新的觀念形態(tài)，將新舊知識(shí)融為一體，納入一個(gè)“版圖”中。學(xué)生必須自己經(jīng)歷完整的知識(shí)轉(zhuǎn)化過程。遇到難題時(shí)，不同層次的學(xué)生表現(xiàn)不同，有的攻克難關(guān)，挑戰(zhàn)成功，無比喜悅；無法攻克難關(guān)的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)他們先試做一些簡單題練練手。簡單題與難題的結(jié)構(gòu)模型完全一致，可以讓學(xué)生經(jīng)歷難度緩慢提升的適應(yīng)過程，從而學(xué)生就會(huì)自覺進(jìn)行類比，找到解題的方法。經(jīng)歷完成作業(yè)的整個(gè)過程，不僅能幫助學(xué)生化難為易，而且能幫助學(xué)生進(jìn)行遷移類比。

如“已知正方形面積為2平方厘米，求圓形面積”這道題（見下圖），學(xué)生感覺很難。

探究作業(yè)設(shè)計(jì)：如果解題遇阻，可以繞道做另外兩題。

（1）已知一個(gè)長方形兩鄰邊長度和為4厘米，這個(gè)長方形的周長是多少厘米？

（2）已知梯形上底與下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面積是多少平方厘米？

現(xiàn)在，經(jīng)過這兩題的歷練，你受到了什么啟發(fā)？后兩題意在讓學(xué)生打破思維定式，讓學(xué)生明白不一定非得知道具體的“長”和“寬”才能求周長，也不一定非得知道具體的“上底”和“下底”數(shù)值才能求面積，知道“長與寬的和”與“上底與下底的和”這樣的“半成品”條件也同樣可以求出面積。

借此鋪墊，學(xué)生就可遷移類推：即使不清楚正方形的邊長即圓的直徑，利用正方形的面積即圓半徑的平方，也能求出圓的面積。

“遷移推理式”探究性作業(yè)，注重個(gè)體差異，讓學(xué)優(yōu)生發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，捕捉“遷移點(diǎn)”，學(xué)困生對(duì)“遷移”線索有更加清晰的勾畫。當(dāng)然，除了上述三種探究性作業(yè)類型外，日常家庭作業(yè)多是綜合運(yùn)用類的作業(yè)，對(duì)描述、判斷、推理、遷移的綜合運(yùn)用，不僅能讓學(xué)生掌握靈活解題的方法，更能發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。