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        新課程理念下基于HPM視角的計(jì)算教學(xué)實(shí)踐與思考

        2023-06-19 02:12:55郝勤秀
        關(guān)鍵詞:實(shí)踐與思考計(jì)算教學(xué)新課標(biāo)

        郝勤秀

        【摘 要】體現(xiàn)課程內(nèi)容的一致性、整體性是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》的基本要求。新課標(biāo)在課程理念部分明確提出要“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化,繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”。新課程理念下基于HPM視角的計(jì)算教學(xué),注重讓算理具有豐富的意義,讓學(xué)生真正經(jīng)歷算法的形成過(guò)程,實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”,讓數(shù)學(xué)文化充滿課堂。

        【關(guān)鍵詞】新課標(biāo) HPM視角 計(jì)算教學(xué) 實(shí)踐與思考

        計(jì)算是所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ),計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位。多年來(lái),許多教師對(duì)計(jì)算教學(xué)的探索形成了許多寶貴的經(jīng)驗(yàn):讓學(xué)生更好地在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法(來(lái)源于教材),從而能正確計(jì)算并靈活運(yùn)用。事實(shí)上,如果堅(jiān)持“唯教材”論,那么學(xué)生對(duì)算理的理解、算法的掌握,可能會(huì)浮于表面,導(dǎo)致學(xué)生的知識(shí)不成系統(tǒng),這有違新課標(biāo)“體現(xiàn)課程內(nèi)容的一致性、整體性”這一基本要求?;诖?,本文擬從HPM(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)角度研究計(jì)算教學(xué)。

        一、問(wèn)題的提出——為什么一定要“從高位算起”

        學(xué)校一位青年教師執(zhí)教“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”這節(jié)課后,學(xué)生問(wèn)她一個(gè)問(wèn)題:“列豎式計(jì)算除法時(shí),為什么一定要從高位算起?你看我從低位算起也可以(如圖1)?!边@位青年教師當(dāng)時(shí)被問(wèn)蒙了,簡(jiǎn)單回答道:“除法豎式計(jì)算一般都從高位算起。”

        針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,筆者在一定范圍內(nèi)做了調(diào)查,絕大部分學(xué)生沒(méi)有想過(guò)這個(gè)問(wèn)題,覺(jué)得書上就是這樣的。幾乎所有的教師在課上也沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題,一般都是結(jié)合問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生理解算理,然后很順當(dāng)?shù)匦纬伤惴?。為什么從高位算起呢?教師們大致有這幾種想法:一是認(rèn)為除法從高位算起,簡(jiǎn)便;二是結(jié)合分物品的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),先分多的,再分少的;三是認(rèn)為這是除法豎式計(jì)算的法則。學(xué)校的這位青年教師就是第三種想法。這引起了筆者的思考,我們究竟應(yīng)該怎樣進(jìn)行計(jì)算教學(xué)?

        每一種運(yùn)算法則的形成都有其歷史過(guò)程,只有了解人類是如何發(fā)明計(jì)算方法的,才能對(duì)如何讓學(xué)生真正“理解算理、掌握算法”做出更好的判斷。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合已是國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的趨勢(shì),HPM視域下的計(jì)算教學(xué)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》理念下的新樣態(tài)。

        二、教改措施——HPM視域下的計(jì)算教學(xué)

        “兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”這個(gè)內(nèi)容很重要,它是后續(xù)學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法”的基礎(chǔ)。以蘇教版數(shù)學(xué)為例,教學(xué)時(shí),教師一般會(huì)利用教材提供的情境進(jìn)行教學(xué);通過(guò)學(xué)習(xí)讓學(xué)生理解算理、掌握算法:從高位算起,一位位地算,哪一位上不夠商1要商0……看似是非常完整、有深度的教學(xué),實(shí)際上沒(méi)有真正揭示計(jì)算方法的本質(zhì)。

        加減法和乘法都是從低位開始算起的,為什么列豎式筆算除法時(shí)要從高位算起呢?克萊因指出,歷史是教學(xué)的指南。追本溯源,與現(xiàn)在比較接近的是出現(xiàn)于公元980年的Gerbert方法。以“880÷7”為例,現(xiàn)在是這樣寫的:

        Gerbert方法是這樣的,除數(shù)7寫成“10 3”,商寫在被除數(shù)的右邊:

        該過(guò)程的第一步,880除以10商88,但實(shí)際除以7,顯然多“分掉”264(3×88=264),實(shí)際剩下264需要繼續(xù)分,第二步商26,“分掉”260,剩下4,再加上這里多“分掉”的78(3×26=78),實(shí)際剩下82……像這樣一直分下去,最后把每次的“過(guò)程商”加起來(lái)就是最后的商。

        Gerbert方法經(jīng)過(guò)歷史演變,變成下面的除法豎式(如圖2)。變化后的過(guò)程將標(biāo)準(zhǔn)算法中隱藏的位值原理凸顯出來(lái),表面上看起來(lái)復(fù)雜,實(shí)則更直觀也更易理解。

        豎式的演變過(guò)程證明了一點(diǎn):除法豎式是為了計(jì)算簡(jiǎn)便,這為我們探究“筆算除法為什么從高位算起”提供了思路。

        從除法模型角度分析:除法計(jì)算是平均分的數(shù)學(xué)模型。比如48÷3,可以理解為把48根小棒平均分成3份,每份是多少根?平均分的時(shí)候可以先分“捆”,每10根小棒1捆,還剩下1捆和8根小棒合起來(lái)再平均分,每份6根,最后結(jié)果為每份1捆帶6根,也就是16根;也可以先分“根”,每份2根,剩下2根不夠分,接著分4捆,每份1捆,最后把剩下的1捆和2根合起來(lái)再平均分,每份4根,所以最終結(jié)果是2+10+4=16(根)。通過(guò)上述分小棒的過(guò)程,我們發(fā)現(xiàn),從“根”開始分比從“捆”開始分的過(guò)程更復(fù)雜。結(jié)合實(shí)際,在平均分的時(shí)候,人們更愿意從大單位開始分,這與列豎式計(jì)算除法時(shí)從高位算起相對(duì)應(yīng)。

        從計(jì)算過(guò)程來(lái)看:除法豎式的計(jì)算和其他運(yùn)算一樣,也是一位一位地算,如果被除數(shù)每一位上的數(shù)都正好被除數(shù)整除,那么從高位算起與從低位算起幾乎無(wú)差別。實(shí)際上,一般情況下各數(shù)位上的數(shù)平均分后會(huì)出現(xiàn)“盈”“虧”情況,在這種情況下,從高位算起就占優(yōu)勢(shì)。比如:計(jì)算41÷2,從個(gè)位算起,個(gè)位上的1除以2不夠除,要從十位“借一當(dāng)十”,再和個(gè)位上的1合起來(lái)除以2,11÷2=5……1,接著十位上剩余的3和個(gè)位上的余數(shù)1合起來(lái)是31再除以2,這時(shí)又遇到個(gè)位上的1不夠除的情況,需要再?gòu)氖簧稀敖枰划?dāng)十”……一直這樣操作下去,最后還要把若干次“過(guò)程商”加起來(lái)。被除數(shù)越大,從低位算起時(shí)需要向較高位“借一當(dāng)十”的步驟越多,過(guò)程越煩瑣。

        從除法豎式的書寫形式來(lái)看:在二年級(jí)第一次接觸“有余數(shù)的除法”時(shí),除法豎式完整記錄了每一步的計(jì)算過(guò)程。為了保證知識(shí)的系統(tǒng)性和連續(xù)性,在“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的豎式計(jì)算中,也要從高位算起,這樣才能和“有余數(shù)的除法”一樣,完整展現(xiàn)每一步的思考與計(jì)算過(guò)程。如果從低位算起,計(jì)算過(guò)程中有時(shí)會(huì)因?yàn)椴粔虺蜉^高位“借一當(dāng)十”,而且余數(shù)也經(jīng)常會(huì)出來(lái)“調(diào)皮搗蛋”,過(guò)程顯得“混亂”,一道豎式無(wú)法展示思維的全過(guò)程。

        通過(guò)以上分析可知,除法豎式計(jì)算從低位算起也可以,只是從高位算起更合理。對(duì)比加減法和乘法,它們本質(zhì)一樣。加、減法和乘法在列豎式計(jì)算時(shí)從高位算起也是可以的,只是遇到進(jìn)位或退位時(shí)不方便罷了。所以,四則運(yùn)算中不管哪種運(yùn)算,強(qiáng)調(diào)從低位算起和高位算起的本質(zhì)都是相同的,都是為凸顯計(jì)算程序的優(yōu)化、簡(jiǎn)便。

        結(jié)合本文開始那個(gè)學(xué)生產(chǎn)生的疑問(wèn)及以上分析,筆者在設(shè)計(jì)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的教學(xué)時(shí),把除法豎式的“歷史”作為知識(shí)背景,整合教材內(nèi)容,將教材例題3和4放在一節(jié)課中嘗試教學(xué),力求讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”除法豎式的歷程。

        層次一:出示例題情境圖讓學(xué)生讀懂題目,嘗試列式并組內(nèi)交流。分小棒,可以先分“捆”,再分“根”;也可以先分“根”,再分“捆”。

        40÷2=20 ? 6÷2=3

        6÷2=3 ? ? ?40÷2=20

        20+3=23 ? ?3+20=23

        設(shè)計(jì)意圖:分的過(guò)程可以從兩個(gè)不同的角度去思考,為之后嘗試列豎式筆算除法提供思維方向。

        層次二:嘗試列豎式計(jì)算46÷2,討論到底從高位算起,還是從低位算起。

        設(shè)計(jì)意圖:除法豎式書寫過(guò)程和“現(xiàn)實(shí)分”的過(guò)程是一致的。教師引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)從高位算起和從低位算起都可以。

        層次三:改編例題,將46個(gè)羽毛球改成36個(gè)?,F(xiàn)在你還能嘗試列豎式計(jì)算嗎?學(xué)生獨(dú)立計(jì)算,交流體會(huì)。

        設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生充分討論,體會(huì)“從高位算起和從低位算起都行,但從高位算起更簡(jiǎn)便”。

        層次四:綜合運(yùn)用(略)。

        三、實(shí)踐效果及反思

        心理學(xué)研究表明,計(jì)算教學(xué)要借助充分的感性材料,讓學(xué)生通過(guò)操作感知并形成相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),在此基礎(chǔ)上建立起清晰的表象,再抽象、概括出計(jì)算方法,并通過(guò)概括實(shí)現(xiàn)具體化,即進(jìn)一步理解、鞏固具體問(wèn)題的解決。筆者認(rèn)為HPM視域下計(jì)算教學(xué)的樣態(tài)應(yīng)該如下:

        (一)讓計(jì)算教學(xué)具有生命力

        有意義的計(jì)算教學(xué)才有生命力。有意義的計(jì)算教學(xué)需具備兩點(diǎn):一是對(duì)于計(jì)算本身而言的,在計(jì)算教學(xué)中,算理必須厘清;一是計(jì)算教學(xué)必須揭示算法最本質(zhì)、最原始的內(nèi)涵。計(jì)算方法在經(jīng)過(guò)動(dòng)態(tài)演化形成靜態(tài)的結(jié)構(gòu)后,從某種程度上來(lái)說(shuō)掩蓋了其深層次、最本質(zhì)的東西。除法算式雖是程序性規(guī)則的教學(xué),忌直接告知,要讓學(xué)生看看數(shù)學(xué)規(guī)律背后的故事,學(xué)生一定有這樣的期待。

        (二)讓學(xué)生真正經(jīng)歷過(guò)程

        讓學(xué)生真正經(jīng)歷過(guò)程,這里的過(guò)程,一是指已經(jīng)形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)過(guò)程,二是指知識(shí)的歷史形成過(guò)程。讓學(xué)生充分感受、重演數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史,盡管他們的發(fā)現(xiàn)可能是零碎的、初步的,甚至是錯(cuò)誤的,但恰恰是這樣的過(guò)程讓學(xué)生與數(shù)學(xué)家感同身受,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味和內(nèi)在美。同時(shí),為了讓學(xué)生能真正經(jīng)歷過(guò)程,教師要為他們創(chuàng)設(shè)良好的探究環(huán)境,激發(fā)學(xué)生探求數(shù)學(xué)真知的興趣和動(dòng)力。另外,教師要為學(xué)生“經(jīng)歷計(jì)算”創(chuàng)造良好的、適切的條件,從而幫助學(xué)生建立起現(xiàn)實(shí)知識(shí)與歷史文化之間的聯(lián)系。

        (三)讓計(jì)算教學(xué)充滿文化味

        純粹為了訓(xùn)練計(jì)算技能而學(xué)習(xí),通過(guò)不停地機(jī)械訓(xùn)練,學(xué)生算得“又對(duì)又快”,計(jì)算能力也能逐漸提高,但他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情會(huì)逐漸降低,甚至產(chǎn)生厭惡感。所以,讓計(jì)算教學(xué)充滿文化味顯得尤為重要,教師要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過(guò)程中通過(guò)不斷探索、相互交流來(lái)理解和感悟其歷史文化的積淀。

        或許,學(xué)生在這樣的環(huán)境中學(xué)習(xí),計(jì)算速度不及普通課堂,從表面來(lái)看效率甚至?xí)档?,但事?shí)上,我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是讓學(xué)生擁有知識(shí)層面的東西,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生“具有能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”從這個(gè)意義上講,HPM視域下的教學(xué)方式是最有效、最長(zhǎng)效、最智慧的,符合新課標(biāo)的基本要求,體現(xiàn)了新課標(biāo)的課程理念

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022 .

        [2]劉超,代瑞香,陸書環(huán),等.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2013.

        [3]鄭瑋,鄭毓信.HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的“再創(chuàng)造”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2013(3).

        [4]趙偉,李小強(qiáng).除法緣何要從高位算起[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2017(12).

        [5]高敏.規(guī)范,都曾經(jīng)不規(guī)范——淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的豎式計(jì)算教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(小學(xué)版),2016(6).

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