廣東省恩平市年樂夫人學(xué)校(529400) 馮春威

1 命題的一般標(biāo)準(zhǔn)

命題直譯便是出題目或命制題目,質(zhì)量監(jiān)測命題便是命制在監(jiān)測中要求解答的問題.命制一份好的試卷標(biāo)準(zhǔn)是: 一是信度好,即考試設(shè)計符合考生整體水平;二是效度高,即考試內(nèi)容適合檢驗考生整體水平;三是難易度適中.

好的試卷需要好的題目支撐,《江門市2022年初中學(xué)業(yè)水平考試模擬試題命題比賽》數(shù)學(xué)科的要求是在七個專題,①數(shù)與式,②方程(組)與不等式(組),③函數(shù),④三角形,⑤四邊形,⑥圓,⑦統(tǒng)計與概率中選一個專題,命制1 道選擇題、1 道填空題和1 道解答題,共3 道試題,要求原創(chuàng)或改編.筆者參加了命題比賽的評審工作,總結(jié)出這次命題比賽好題目的標(biāo)準(zhǔn)是: 一是原創(chuàng)或改編70%以上,三道題屬于同一專題,三道題的知識點基本不同,難易度0.55-0.65;二是條件足以推導(dǎo)出題目的結(jié)論,每一個條件都不是多余的,條件之間,條件與結(jié)論之間不存在矛盾;三是知識點的考查方法,與以往有所不同,但又不超標(biāo);四是選擇題與填空題以2～3個考點綜合即可,大題以6～10 個考點為宜,涉及的數(shù)學(xué)思想方法以2～4 個為宜,涉及的能力意識以2～3 個為宜.

例如,廣東省2021年中考第7題: 如圖1,AB是⊙O的直徑,點C為圓上一點,AC=3,∠ABC的平分線交AC于點D,CD=1,則⊙O的直徑為( )

圖1

點評考查圓、特殊角三角函數(shù)、角平分線性質(zhì)等3 個知識點;3 個條件都不是多余的;而且滲透數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想;命題方針基本正確,就是一道好題.

2 命題的常用方法

命題主要有兩個來源: 一是采用他人的現(xiàn)成試題;二是自己編寫新試題,自己編寫的新試題通常有改編和原創(chuàng)兩種方式.改編是指在已有試題的基礎(chǔ)上,保持原題優(yōu)點的基礎(chǔ)上,通過分解與重組,考點的增加、刪減、組合,命題的變更等手段,對其立意、情境及設(shè)問進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與改造,從而命制出適合試卷要求的試題.原創(chuàng)是根據(jù)需要考查的知識點創(chuàng)設(shè)一個新的問題,要求情境新、材料新、設(shè)問新等.事實上真正的原創(chuàng)很難,所謂的原創(chuàng)大都是改編,改編到一定深度我們默認(rèn)為原創(chuàng),因此改編是命題中最重要的技術(shù).改編試題的方法有很多,包括改變設(shè)問角度、改變命題結(jié)論的形式、置換題設(shè)與結(jié)論、強化或弱化條件、采用運動圖形、置換題目背景、一般與特殊之間互化、轉(zhuǎn)換題型、題目重組等.而教材是獲取命題材料的非常好的渠道,教材中的許多例題、習(xí)題的背景都非常新穎、非常貼近現(xiàn)實生活,是很好的命題素材.

2.1 變形法

簡化變形將一些著名的數(shù)學(xué)試題作特殊化、具體化、局部化、低維化、簡單化處理,可以得到背景深刻的試題.如高考中的數(shù)學(xué)問題取其特例,加以簡化,改頭換面,可以變成一道中考數(shù)學(xué)試題.

例如,命題比賽鶴山這位老師命的這道選擇題: 對于任意的未知數(shù)x都滿足(a2+1)x2+2(a+2)x+1≥0,其中a為常數(shù),則a的取值范圍為( )

A.a≤B.a≥

C.a≤D.a≥

點評一元二次不等式是高中的內(nèi)容,但他將二次項系數(shù)通過a2+1 是一個正數(shù)而特殊化,根據(jù)二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,a2+1 確定開口向上,只要函數(shù)與x軸沒有交點就可以保證含參數(shù)a的二次多項式的值大于等于0.這樣的改編科學(xué)有效的銜接高中,是一道好題.

易位變形將陳題中條件部分所含有的事項與結(jié)論部分中所含有的事項互易位置,從而得到新題,易位又分為全易位和部分易位.母題為人教版八年級上冊第112 頁第7 題:已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值.

知識定位: 完全平方公式.

命題立意: 考查對完全平方公式的理解水平、應(yīng)用能力,以及學(xué)生的運算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng).

思路分析: 借助完全平方公式變形進(jìn)行求解或從方程的角度進(jìn)行求解.

方法一從完全平方公式結(jié)構(gòu)特征角度求解.

解根據(jù)完全平方公式(a+b)2=a2+b2+2ab,把a+b=5,ab=3 代入可得: 52=a2+b2+2 × 3,∴a2+b2=19.

方法二從方程角度求解.

解由a+b=5,ab=3,可把a,b看成方程x2-5x+3=0 的兩根.a2-5a+3=0,b2-5b+3=0,兩式相加,得a2+b2-5(a+b)+6=0.∴a2+b2=5(a+b)-6=19.

規(guī)律總結(jié)完全平方公式——(a±b)2=a2±2ab+b2可以分解成(a±b)2,a2+b2,ab幾個“零部件”,這幾個“零部件”能夠通過不同的運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例如: (a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),a2+b2=(a+b)2?2ab,而這些“零部件”運算轉(zhuǎn)化是解決此類問題的基本思路.

改編母題: 依據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,交換部分條件與結(jié)論或修改“零部件”的呈現(xiàn)形式,使“零部件”的內(nèi)涵更豐富.

改編1已知a+b=5,a2+b2=19,求ab的值.

點評交換其中一個條件與結(jié)論.借助完全平方公式變形進(jìn)行求解.

改編2已知a+b=5,ab=3,求a-b的值.

點評直接改變結(jié)論.借助兩個完全平方公式變形進(jìn)行求解.利用零部件(a+b)2-(a-b)2=4ab,再整體代入.

改編3改編為廣東省2021年中考第15 題: 若且0＜x＜1,則x2-=____.

點評利用母題中“a”與“b”互為倒數(shù)的特征,隱含地呈現(xiàn)了“ab”的值,考查了學(xué)生對數(shù)式特征的觀察能力.

改編4已知ab=3,求a2+b2的最小值.

點評借助完全平方公式的變換及平方式的非負(fù)性,進(jìn)行求解.該改編弱化了母題中的條件,增加了思維的難度,由相等關(guān)系過渡到最值的探究,但依據(jù)題中條件、所求式子及完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征即可找到解答的思路,這樣改編對學(xué)生的運算素養(yǎng)、直觀想象能力進(jìn)行了較好的考查.

2.2 情境法

母題: 人教版九年級上冊第82 頁例2,背景是趙州橋的主橋拱問題,考查垂徑定理及其運用,方程思想.

改編為: 如圖2,北京冬奧冰壺比賽中,凌智在中軸線上A點投出一個冰壺,范蘇圓通過擦冰讓冰壺的運行軌跡為圓弧,如圖.對方在中軸上B點有一障礙壺,AB=16 米,且冰壺偏離中軸線的最大距離為4 米,如果要把對方冰壺撞開,則圓弧的半徑為_____米.

圖2

點評命題比賽中,江門一位老師命制的這道題目以冬奧冰壺比賽為背景,保留原結(jié)構(gòu),問題以新情境襯托,呈現(xiàn)出不同面貌.并結(jié)合時事熱點,比較好的一道題.

2.3 組合法

由某些概念、性質(zhì)或簡單的基本問題出發(fā)(它們多數(shù)來源于教材),將它們與初步確定的考查要求聯(lián)系起來,進(jìn)行分析和思考,將有關(guān)的知識點和基本的方法,進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合,逐步形成綜合模式的解答題.如圖形的疊加: 從基本圖形出發(fā),在此基礎(chǔ)上,改變點的位置,添加適當(dāng)?shù)木€段,從中找出有價值的結(jié)論,進(jìn)行編題等.

母題是人教版九年級上冊第101 頁第6 題: 如圖3,PA,PB是⊙O的切線,A,B為切點,AC是⊙O的直徑,∠BAC=25°,求∠P的度數(shù).

圖3

改編1在母題的基礎(chǔ)上,改變點C的位置,連接BC,探究角與角之間的數(shù)量關(guān)系.如圖4,PA,PB分別切⊙O于點A,B,C是⊙O上一點,∠C=50°,求∠P的大小.

圖4

思路分析: 如圖5,連接OA,OB,利用切線的性質(zhì)、圓周角定理與四邊形的內(nèi)角和來解答.

圖5

改編2在母題的基礎(chǔ)上,連接BC,變?yōu)橐阎磺芯€證另一切線的推理問題.如圖6,⊙O是RtΔABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA切⊙O于點A,且PA=PB.

圖6

求證:PB是∠ABC=90°的切線.

思路分析: 如圖7,連接OB,欲證PB是⊙O的切線,只要證明OB⊥PB即可.

圖7

改編3在改編2 的基礎(chǔ)上,改變已知條件,將其改編為線段計算問題.

如圖8,⊙O是RtΔABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點,已知PA=3,BC=1,求⊙O的半徑.

圖8

思路分析: 通過連接OP,交AB于點D,先通過證明ΔAPO∽ΔDPA或ΔPAO∽ΔABC求得相關(guān)線段的長,然后在RtΔOAP中利用勾股定理求解.

試題評析: 由于切線長定理與切線的性質(zhì)、垂徑定理、垂直平分線等知識相聯(lián)系,故圖形中極易出現(xiàn)直角,進(jìn)而為利用勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形求線段長做好準(zhǔn)備.2018年廣東中考第24 題,其實也是這個基本圖形添加2 條線段及改變部分條件而成的.

如圖9,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C,連接AC,OD交于點E.

圖9

(1)證明:OD//BC;

(2)若tan ∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;

(3)在(2)條件下,連接BD交于⊙O于點F,連接EF,若BC=1,求EF的長.

改編4在改編3 的基礎(chǔ)上,延長直徑,與一條切線相交于圓外一點,為設(shè)置新的問題創(chuàng)設(shè)新的情境.

如圖10,在ΔABC中,點D是AC邊上一點,AB=以AD為直徑的⊙O與邊AB,BC分別切于點A,E.過點D作DF//BC交⊙O于點F,求DF的長.

圖10

試題評析: 隨著試題綜合性的加強,難度也在加大.從這一復(fù)雜圖形中分解出切線長定理、平行線分線段成比例、勾股定理等知識所對應(yīng)的基本圖形是解題的關(guān)鍵所在,因此,對基本圖形的深刻研究和認(rèn)識是改編幾何題的關(guān)鍵,它是靈活應(yīng)用知識的基礎(chǔ).

改編5在改編4 的基礎(chǔ)上,將圓移至三角形的內(nèi)部,編制與內(nèi)切圓相關(guān)的問題.如圖11,在ΔABC中,AB=5,AC=7,BC=8,⊙O是ΔABC的內(nèi)切圓,與ΔABC的三邊相切于D,E,F.

圖11(2)

圖11(1)

(1)求⊙O的半徑;(2)如圖,連接CD,DE,求tan ∠CDE的值.

思路分析: (1)如圖12,過點A作AH⊥BC于點H,根據(jù)勾股定理得到AH的長,進(jìn)而求得SΔABC.連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,設(shè)⊙O的半徑為r,得到OD=OB=OF=r,根據(jù)SΔABC=SΔABO+SΔBOC+SΔAOC即可得到答案;(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ABC=60°,求得BD=BE==3,CE=5,推出ΔBDE是等邊三角形,作CG⊥DE于點G,解直角三角形即可得到答案.

圖12(1)

圖12(2)

試題評析: 知識之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系,幾何定理所對應(yīng)的基本圖形也存在聯(lián)系.此題所涉及的三角形的內(nèi)切圓圖形,可以理解為由三個切線長定理的基本圖形組合而成,自然,切線長定理在解題中便能發(fā)揮重要作用.

3 命題的教學(xué)導(dǎo)向

立足教材改編原題,通過保持原題基本條件不變,改編設(shè)問內(nèi)容,以學(xué)生熟悉的問題為背景,突出考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和意識,有利于充分發(fā)揮試題的教育價值,引導(dǎo)課堂教學(xué)方向.教師平時要認(rèn)真研討課標(biāo)教材,分析編者意圖,用好教材中的例題和習(xí)題,包括改編變式、聯(lián)系拓廣等,充分發(fā)揮教材例題、習(xí)題的教育價值,倡導(dǎo)學(xué)生多些走進(jìn)生活、多些參加一些社會實踐活動,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).