赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院(024000) 郭浩然 李書海

濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(250001) 李麗

1 引言

1980年,繼“New Math(新數(shù)運(yùn)動)”和“Back to Basics(返回基礎(chǔ)教育運(yùn)動)”之后,美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會提交了一份《關(guān)于行動的議程——關(guān)于80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的建議》的綱領(lǐng)性報(bào)告,報(bào)告確定了“問題解決是20 世紀(jì)80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”[1].自此,“問題解決”成為了國內(nèi)外數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的重要主題,同時我國第八次基礎(chǔ)教育課程改革也將培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力作為主要目標(biāo)之一[2],《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中同樣強(qiáng)調(diào)要將問題解決作為主要內(nèi)容貫穿于課堂以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)[3].

John Dewey(杜威)從實(shí)用主義角度出發(fā),將問題解決分為五個階段: 問題的情境創(chuàng)設(shè)、問題的設(shè)定、問題的假設(shè)與形成、問題的推理與解答、問題的假設(shè)與檢驗(yàn)[4];從人的認(rèn)知層次出發(fā),美國心理學(xué)家 D.P.Ausubel(奧蘇泊爾)將問題解決模式分為四個階段: 呈現(xiàn)問題情境、明確問題目標(biāo)、填補(bǔ)問題空隙、解答與檢驗(yàn)[5]; 國內(nèi)學(xué)者喻平提出問題解決應(yīng)是一個動態(tài)的過程,體現(xiàn)問題的多樣化與功能性,并由此提出了問題解決的認(rèn)知模式[6].教材是學(xué)科知識的重要載體,不同國家、版本的教材在教材編寫方面存在諸多差異.“他山之石,可以攻玉”.由此,本文立足于問題解決視角,選擇“弧度制與三角函數(shù)的概念”內(nèi)容對中美高中教材進(jìn)行比較分析,以期為我國高中教材的修訂及培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力提供建議.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對象

教材不僅是知識文化的載體,也是教師在實(shí)踐教育工作中的重要依據(jù)[7].因此,本文選取國內(nèi)使用較廣的、比較典型的、現(xiàn)行使用的人民教育出版社(以下簡稱人教A 版)[8]、北京師范大學(xué)出版社(以下簡稱北師大版)[9]、上海教育出版社(以下簡稱滬教版)[10]出版的高中數(shù)學(xué)教材以及Glencoe/Mc Graw Hill 公司2009年出版的《Core-Plus Mathematics》(以下簡稱CPM 版)[11]四版教材進(jìn)行比較研究.

三角函數(shù)是高中函數(shù)內(nèi)容的一條分支,更是高中數(shù)學(xué)知識的一大主題[12].本章內(nèi)容之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容,對函數(shù)的主題、內(nèi)容、方法等有了一定基礎(chǔ),且三角函數(shù)同時隸屬于幾何、代數(shù)兩大知識領(lǐng)域,知識范圍極其廣泛,其研究價值相當(dāng)可觀.

2.2 分析比較的維度

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)、評價的依據(jù),比較不同國家教材的前提是要深刻把握各國的課程標(biāo)準(zhǔn)[13].本次分析選擇以中華人民共和國教育部2020年出版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》與美國2010年由“National Governors Association(全美洲長協(xié)會)”推出的《Common Core State Standards for Mathematics》(《美國洲際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)[14]為依據(jù).中國課標(biāo)將問題解決作為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)的重要因素之一,強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)問題解決的意識,積累問題解決活動的經(jīng)驗(yàn).美國課標(biāo)也要求學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、理解問題的同時要堅(jiān)持不懈地解決問題,將問題解決作為數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)的首要因素.綜上所述,從問題解決的視角出發(fā),對中美高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較分析是可行的.

3 研究內(nèi)容

3.1 情境創(chuàng)設(shè)的比較

情景引入是課堂教學(xué)的開端,優(yōu)秀的情境創(chuàng)設(shè)可以迅速將學(xué)生代入到教學(xué)主題之中,起到引人入勝的作用.依據(jù)學(xué)者汪曉勤、彭思維[15]對三角學(xué)概念情景引入的分類框架,將四版教材中“弧度制與三角函數(shù)的概念”概念情景引入方式分為以下三種: 數(shù)學(xué)情境、生活情境、科學(xué)情境.數(shù)學(xué)情境一般指學(xué)生已經(jīng)掌握的純數(shù)學(xué)情境,或者學(xué)生平時學(xué)習(xí)、考試接觸到的試題情境;生活情境一般是指學(xué)生實(shí)際生活中能接觸到的這種與學(xué)生關(guān)系較為親密,可以激活學(xué)生現(xiàn)實(shí)記憶的情境,比如生活趣事、游戲比賽、自然現(xiàn)象、生產(chǎn)情境等等;科學(xué)情境一般指除數(shù)學(xué)之外的其他科學(xué)領(lǐng)域的知識情境,其引入嚴(yán)謹(jǐn)性更高,對學(xué)生的而言較為陌生,要求也更高,有較強(qiáng)的抽象性.依據(jù)情境分類標(biāo)準(zhǔn),對四版教材進(jìn)行整理、統(tǒng)計(jì)、分類,具體內(nèi)容如表1所示.

人教A 版教材在概念引入時創(chuàng)設(shè)最多的是“數(shù)學(xué)情境”,在“任意角與弧度制”一節(jié)中,先是利用圓周運(yùn)動引入角的變化,隨后利用生活中的滾輪問題對問題進(jìn)一步強(qiáng)化,注重?cái)?shù)學(xué)邏輯.而在三角函數(shù)概念引入時則弱化了學(xué)生與具體生活情境的互動,以學(xué)生所學(xué)的舊知識為生長點(diǎn),通過教師引導(dǎo)將舊知識遷移到新的數(shù)學(xué)概念中.例如在三角函數(shù)概念課之前,直接將“任意角與弧度制”一節(jié)中的問題引入到教學(xué)情境中:“在弧度制下,我們已經(jīng)將角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù),下面借助這些知識研究上一節(jié)開頭的問題,單位圓上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時針方向旋轉(zhuǎn),建立一個數(shù)學(xué)模型,刻畫點(diǎn)P的位置變化情況.”讓學(xué)生可以將上節(jié)課的知識直接遷移到本節(jié)新課中.但值得注意的是,人教A 版教材雖然利用單位圓刻畫出了三角函數(shù),但并未給出正余弦的定義.

北師大版教材則更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系,在“任意角”一節(jié)中直接引入“扳手?jǐn)Q螺絲”的生活情境,利用扳手的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造角的變化,隨后引導(dǎo)學(xué)生脫離數(shù)學(xué)情境剝離出其中的數(shù)學(xué)模型.在三角函數(shù)的概念引入時同樣選擇了數(shù)學(xué)情境,更加強(qiáng)調(diào)新舊知識的聯(lián)系與知識體系的構(gòu)建,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

不同于前者,滬教版教材在“任意角與弧度制”一節(jié)中選擇利用小學(xué)、初中所學(xué)的角的定義“角是具有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形”來構(gòu)造任意角,隨后利用射線的旋轉(zhuǎn)來描述角的變化.在三角函數(shù)的概念引入時,滬教版教材以銳角三角函數(shù)出發(fā),隨后將其擴(kuò)展到任意角,隨后將其放在平面直角坐標(biāo)系中,用坐標(biāo)表示出正余弦與正余切.由于采用坐標(biāo)來定義三角函數(shù),對于角的終邊沒有限制,滬教版教材選擇利用注釋來進(jìn)行說明,并在注釋旁留下一個思考,以供學(xué)生去理解和證明,給予了學(xué)生較大的自主權(quán).

與人教A 版、北師大版教材相似,美國CPM 課程教材也是選擇利用生活情境引入“任意角”概念.而在三角函數(shù)進(jìn)行定義時,CPM 課程教材利用了終邊定義法,并在其中穿插生活情境,強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的周期現(xiàn)象,同時,CPM 課程教材中的三角函數(shù)的定義,幾乎每個都是通過設(shè)置學(xué)生的探究活動由學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)的,更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性,相較于中版教材,也更加注重知識產(chǎn)生的合理性.

3.2 素材處理的比較

素材是數(shù)學(xué)文化的載體,優(yōu)秀的素材處理有利于學(xué)生的問題解決[16].學(xué)者沈春輝將常用的數(shù)學(xué)知識素材分為四類:現(xiàn)實(shí)生活素材,主要指數(shù)學(xué)與生活有實(shí)際聯(lián)系的素材,包括生產(chǎn)、常識等內(nèi)容;科學(xué)技術(shù)素材,主要指數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的素材,包括生物、地理、物理、化學(xué)、天文學(xué)等知識;人文藝術(shù)素材,指數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)人文、藝術(shù)聯(lián)系的素材,包括宗教、繪畫、哲學(xué)等學(xué)科知識;其他,不屬于上述三類分類的素材均稱為其他素材[17].人教A 版教材、北師大版教材、滬教版教材和CPM 課程教材中素材來源廣泛,注重知識與生活的聯(lián)系.依據(jù)素材分類標(biāo)準(zhǔn),將四版教材進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)如表2.

表3 四版教材“弧度制與三角函數(shù)的概念”習(xí)題數(shù)量分布統(tǒng)計(jì)表

從素材來源所占比重來看,四版教材在“弧度制與三角函數(shù)的概念”內(nèi)容中使用最多的是現(xiàn)實(shí)生活素材,可能是由于此類素材更能與學(xué)生產(chǎn)生共鳴,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,亦或許由于現(xiàn)實(shí)生活素材與學(xué)生生活息息相關(guān),更能貼近學(xué)生的實(shí)際生活.比如在中版教材中大量使用了常見的齒輪旋轉(zhuǎn)、扳手的旋轉(zhuǎn)、潮汐、旋轉(zhuǎn)木馬等素材,美版CPM 課程教材同樣使用了熟悉的千斤頂、摩天輪等素材.若將現(xiàn)實(shí)生活素材和科學(xué)技術(shù)素材歸為一類,將人文藝術(shù)素材歸為一類,前者的素材總量高達(dá)147 個,占比93.6%,而后者的占比則不足10%.由此可見,四版教材更傾向于選擇具有現(xiàn)實(shí)性、科學(xué)性以及應(yīng)用性的素材,而忽視了具有人文價值的素材,當(dāng)然這與人文藝術(shù)素材融入時更有難度也不無關(guān)系.總體而言,四版教材在素材來源上的選擇是“畸輕畸重”的.

從素材總量來看,美版CPM 課程教材中的素材總數(shù)為51 個,是人教A 版教材素材總數(shù)的1.5 倍,是北師大版教材素材總數(shù)的1.2 倍,是滬教版教材素材總數(shù)的1.7 倍.所以美版CPM 課程教材教科書中素材傳遞的信息量最大,而滬教版教科書素材傳遞的信息量最少.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),美版CPM 課程教材對于三角函數(shù)的概念一節(jié)所用篇幅更多,對于知識點(diǎn)的挖掘相較于其他三版教材也更深,這對于擴(kuò)展學(xué)生的知識面、培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力有重要意義.當(dāng)然,教科書中的素材數(shù)量并非是衡量一版教材優(yōu)劣的條件,教材中的素材數(shù)量并非越多越好,更非越少越好,只有所選素材能夠?qū)崿F(xiàn)教學(xué)目標(biāo),根據(jù)地區(qū)數(shù)學(xué)教學(xué)情況和學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況選擇適量的素材即可.

3.3 習(xí)題的比較

習(xí)題是對課堂知識的補(bǔ)充,數(shù)學(xué)習(xí)題可以鞏固所學(xué)知識,加深對知識的理解程度,形成并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力[18].習(xí)題的設(shè)置必須具有代表性、知識性、合理性、基礎(chǔ)性,同時還需要有梯度,合理設(shè)置習(xí)題的難易,讓學(xué)生能夠理解題目的同時還要具有一定的挑戰(zhàn)性.對四版教材從習(xí)題數(shù)量、難度兩方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,具體內(nèi)容如下:

3.3.1 習(xí)題數(shù)量比較

習(xí)題有大題小題之分,不同題目所占分量不同,綜合難度亦有差距.因此,本文選擇國家社科基金項(xiàng)目《高中數(shù)學(xué)教材難易程度的國際比較研究》中的標(biāo)準(zhǔn)對四版教材中的習(xí)題數(shù)量、難度進(jìn)行劃分,以便統(tǒng)一習(xí)題單位: 對于包含多道小題的習(xí)題,五道題算作一道題,習(xí)題量記為1.比如,若是一道題目中只包含三道小題,其習(xí)題量記做0.6,若包含九道小題,其習(xí)題量記做1.8.

根據(jù)以上分析,可以發(fā)現(xiàn):

(1)中美四版教材的習(xí)題數(shù)量為: 人教A 版31.2 個、北師大版29.0 個,滬教版22.8 個,CPM 版23.6 個,分別占比29.2%、27.1%、21.3%、22.1%.人教A 版教材設(shè)置習(xí)題數(shù)量最多,北師大版次之,滬教版則最少.其原因是人教A 版教材和北師大版教材對本節(jié)內(nèi)容設(shè)置的篇幅較多且在章節(jié)末設(shè)置了本章復(fù)習(xí)參考題,雖然滬教版教材也在章節(jié)末設(shè)置了本章復(fù)習(xí)參考題,但是滬教版更加注重對后續(xù)三角恒等變換等知識的練習(xí),對于概念性的知識點(diǎn)習(xí)題設(shè)置偏少,且滬教版教材對于本節(jié)內(nèi)容篇幅也不多,從而導(dǎo)致本節(jié)習(xí)題數(shù)量偏少.

(2)綜合來看,中版三版教材較于美版教材的習(xí)題密度較大,說明中版教材更加注重對學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng),強(qiáng)調(diào)知識的應(yīng)用與積累,提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力.

3.3.2 習(xí)題難度比較

《高中數(shù)學(xué)教材難易程度的國際比較研究》中對習(xí)題的難度進(jìn)行了劃分: 習(xí)題難度由習(xí)題的性質(zhì)、背景、知識點(diǎn)含量三方面決定,其中,習(xí)題性質(zhì)分為模仿型習(xí)題、遷移型習(xí)題以及探究型習(xí)題三個級別;習(xí)題背景分為無背景類習(xí)題、生活背景類習(xí)題和科學(xué)背景類習(xí)題;知識點(diǎn)含量分為1 個、2-3個、4 個及以上三個級別.基于此標(biāo)準(zhǔn)對“弧度制與三角函數(shù)的概念”內(nèi)容習(xí)題難度分類統(tǒng)計(jì)如表4.

表4 四版教材“弧度制與三角函數(shù)的概念”習(xí)題難度分布統(tǒng)計(jì)表

由上表可以看出,在習(xí)題的性質(zhì)方面,中版教材中模仿型和探究型習(xí)題所占比重最大,而探究類習(xí)題所占比重最少,人教A 版教材中探究類習(xí)題占比不足17%,美版CPM 課程教材這是呈現(xiàn)出模仿遷移類習(xí)題數(shù)量少、探究型習(xí)題多的特點(diǎn),探究型習(xí)題不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用知識的能力,更能培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力,因此,中版教材應(yīng)加適量增加些探究型習(xí)題,讓學(xué)生真正能夠“動”起來,而并非啃書中的“死”知識,真正為學(xué)生提供一個探索研究的平臺.

在習(xí)題背景方面,中美四版教材大致呈現(xiàn)“均衡發(fā)展”的特點(diǎn),無背景類習(xí)題設(shè)置數(shù)量最多,其次是生活背景類,最后是科學(xué)背景類.本節(jié)內(nèi)容為三角函數(shù)概念課,抽象且不易結(jié)合生活實(shí)例和科學(xué)背景也是導(dǎo)致出現(xiàn)此類特點(diǎn)的原因之一.

在習(xí)題知識點(diǎn)含量方面,中美兩國教材所占比重較大的是包含2-3 個知識點(diǎn)的習(xí)題,考察一個知識點(diǎn)的次之,考察四個及以上知識點(diǎn)的最少.相對而言,中國三版教材考察綜合知識點(diǎn)的習(xí)題比重略低于美國,但單個知識點(diǎn)考察的習(xí)題則高于美國.

4 建議

基于上文對中美四版教材的比較研究,對我國高中教材的修訂提出以下建議:

統(tǒng)籌兼顧,注重情境結(jié)構(gòu)的合理性.中美四版教材在概念引入時創(chuàng)設(shè)最多的是現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境,創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境的目的是為了學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)與實(shí)際生活相聯(lián)系,以便更好的去發(fā)現(xiàn)并解決問題[19],實(shí)際生活中的問題一般都是條件模糊的、結(jié)果開放的并非完美的結(jié)構(gòu)不良型問題,而教材中所使用的現(xiàn)實(shí)情境基本都是條件完整、問題明確、目標(biāo)清晰的結(jié)構(gòu)優(yōu)良型問題,這不免會使學(xué)生走入誤區(qū),無法達(dá)到“事半功倍”的理想效果,而會顯得有些“本末倒置”.因此,建議在情境設(shè)計(jì)時能夠統(tǒng)籌兼顧,適當(dāng)增加結(jié)構(gòu)不良型問題[20],給學(xué)生呈現(xiàn)一種更加真實(shí)的生活情境.

錦上添花,豐富教材內(nèi)容.教材是教師授課,學(xué)生上課的重要依據(jù),教材內(nèi)容的豐富程度不僅可以影響教材的優(yōu)劣,還可以影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在素材選擇方面,中版教材大量引用了現(xiàn)實(shí)生活素材和科學(xué)技術(shù)素材,而人文藝術(shù)素材則涉及寥寥.因此,中版教材可以借鑒美版CPM 課程教材,適當(dāng)增添些人文藝術(shù)類素材,其形式可以是一些藝術(shù)圖片,或者有關(guān)人文藝術(shù)的課堂活動,亦或者選擇一些經(jīng)典小故事放在“閱讀材料”板塊.誠然,教材內(nèi)容的豐富會給教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)帶來一定的難度,但只要對此類內(nèi)容不做過多硬性要求,就可以平衡拓展學(xué)生知識面和增添課業(yè)負(fù)擔(dān)之間的矛盾,其結(jié)果一定是利大于弊.

百花齊放,注重習(xí)題的多樣性.P.R.Halmos 說過:“問題是數(shù)學(xué)的心臟”[21].在習(xí)題的設(shè)置方面,中美四版教材都對問題進(jìn)行了細(xì)化分層,但深入研究發(fā)現(xiàn),受應(yīng)試教育思想的影響,我國教材對于習(xí)題的關(guān)注點(diǎn)仍在對數(shù)學(xué)概念、公式的使用上,不少習(xí)題的設(shè)計(jì)也是略顯生硬,一些探究題更是不重探究,只看形式.因此,我國教材應(yīng)該將視角放在學(xué)生對知識的理解與應(yīng)用上,適當(dāng)減少些概念應(yīng)用類例題、模仿型和無背景類習(xí)題,增添些真正具有實(shí)際意義的探究類習(xí)題.此外,在習(xí)題的背景創(chuàng)設(shè)時,應(yīng)建立在學(xué)生感興趣的基礎(chǔ)上,選取一些培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識的實(shí)例,而非“空中樓閣”類的題目,使習(xí)題真正發(fā)揮讓學(xué)生“溫故”的同時還要有“知新”的作用.