廣東省廣州市第六十五中學(xué)(510450) 肖寶霞

自2019年7月實(shí)施第一版新教材以來(lái),廣大教師都接觸了新教材,感受到新教材的巨大變化,也感受新教材變化所帶來(lái)的不適應(yīng).所以作為一線(xiàn)的教師要積極思考“新教材改變了些什么?”,“新教材為何要如此改變?”這樣一些問(wèn)題,以促進(jìn)對(duì)新教材的理解,適應(yīng)新教材并對(duì)實(shí)際教學(xué)作出相應(yīng)調(diào)整.

1 教材編排的對(duì)比

1.1 內(nèi)容編排順序的比較

從表1可以看出,舊教材數(shù)量積共安排兩個(gè)課時(shí),第一課時(shí)是向量數(shù)量積的物理背景和含義,第二課時(shí)是向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.而新教材向量的數(shù)量積相關(guān)概念就安排了兩個(gè)課時(shí),數(shù)量積的坐標(biāo)表示安排一個(gè)課時(shí),共三個(gè)課時(shí).在內(nèi)容編排順序上,新舊教材在平面向量這章都大致遵循向量概念→向量運(yùn)算→向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量應(yīng)用的順序進(jìn)行編排,但向量數(shù)量積在新舊教材中的編排發(fā)生較大的變化.在舊教材中,考慮平面向量基本定理與線(xiàn)性運(yùn)算的聯(lián)系比較密切,所以線(xiàn)性運(yùn)算后面安排了平面向量基本定理,而數(shù)量積則被安排在坐標(biāo)表示之后,且單獨(dú)成一節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí);而新教材將向量的數(shù)量積歸到平面向量的運(yùn)算中,學(xué)生在學(xué)習(xí)完向量的加減數(shù)乘運(yùn)算后,自然會(huì)想向量和向量能否相乘,所以數(shù)量積是平面向量的一種運(yùn)算,這樣的安排更合理,符合學(xué)生的認(rèn)知.

表1 新舊教材向量知識(shí)點(diǎn)比較[1]

1.2 知識(shí)范圍的比較

從表2可以看出,新舊教材有共同的6 個(gè)知識(shí)點(diǎn),約占總知識(shí)點(diǎn)的75%,但共有的“兩向量夾角的概念”、“向量數(shù)量積的性質(zhì)”也存在不同.

表2 新舊教材數(shù)量積教學(xué)內(nèi)容比較[2]

表3 新舊教材兩向量夾角比較

表4 新舊教材數(shù)量積投影比較

表5 新舊教材數(shù)量積性質(zhì)比較

表6 新舊教材數(shù)量積例習(xí)題量比較

(1)在數(shù)量積相關(guān)概念的教學(xué)中,舊教材按“功→數(shù)量積→投影→數(shù)量積性質(zhì)→數(shù)量積幾何意義→數(shù)量積運(yùn)算律”的順序進(jìn)行講解,而新教材對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整,按“功→兩向量夾角→數(shù)量積→投影向量→數(shù)量積性質(zhì)→數(shù)量積運(yùn)算律”的順序進(jìn)行講解,新教材的安排更合理,知識(shí)點(diǎn)之間一環(huán)扣一環(huán),環(huán)環(huán)相扣,緊密聯(lián)系.

(2)對(duì)于“兩向量夾角的概念”舊教材僅提了一句“其中θ是a與b的夾角”,在以往教學(xué)中我們常常要補(bǔ)充夾角的范圍等內(nèi)容.而新教材在介紹向量數(shù)量積概念前,著重給出了兩向量夾角的定義,對(duì)向量夾角的范圍(0≤θ≤π),符號(hào)表示＜a,b＞,θ=0,,π等特殊夾角下兩向量的位置關(guān)系都一一做了明確的規(guī)定.兩向量的夾角問(wèn)題是數(shù)量積概念的關(guān)鍵,也是學(xué)生做題過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn),新教材的改進(jìn)體現(xiàn)對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)的重視以及從根本概念上去突破它.

(3)對(duì)于“投影”新舊教材都有提到,但是有很大的區(qū)別.舊教材里定義|a|cosθ(|b|cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)的投影.“投影”應(yīng)該指的是圖形投到一條線(xiàn)或一個(gè)面上的影子,但這里的投影卻是個(gè)可正可負(fù)的數(shù)量,容易引起學(xué)生理解障礙.而舊教材定義“投影”的目的是為帶出向量數(shù)量積的“幾何意義”: 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上投影|b|cosθ的乘積.這個(gè)幾何意義就更奇怪了,和“幾何”沒(méi)什么關(guān)系,就是兩個(gè)實(shí)數(shù)在相乘[4].所以新教材刪除數(shù)量積的幾何意義,用較大篇幅來(lái)介紹向量的投影和投影向量,定義了一個(gè)向量向另一個(gè)向量投影是一種“變換”.“變換”即非空集合A到自身的一個(gè)映射f:A→A,也就是說(shuō)一個(gè)向量到另一個(gè)向量的投影還是一個(gè)向量,所以投影結(jié)果稱(chēng)為投影向量.而且新教材還利用幾何直觀幫助學(xué)生理解投影向量的意義.投影向量這個(gè)概念是新教材新增加的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),更合理科學(xué)地解釋了向量投影的相關(guān)問(wèn)題,為后面數(shù)量積的運(yùn)算律證明做準(zhǔn)備.

(4)“向量數(shù)量積的性質(zhì)”在新舊教材里都以探究的形式引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)非零向量在平行或垂直時(shí)的數(shù)量積特殊性,但新教材里多了向量a與b方向上單位向量的數(shù)量積,還多了旁白思考如果a·b=0,是否有a=0 或b=0 的追問(wèn).

1.3 例、習(xí)題的比較

(1)例題比較: 新舊教材在例題上的安排大致相同,數(shù)量比舊教材多增加兩道.新教材在第一道例題處將舊教材的120°改為需要學(xué)生對(duì)弧度與角度靈活轉(zhuǎn)化,并熟練求解特殊角的余弦值,學(xué)生易將錯(cuò)算成新教材將舊教材的習(xí)題2.4A 組第6 題設(shè)置為例10,鞏固對(duì)向量數(shù)量積公式的逆運(yùn)用,引導(dǎo)學(xué)生掌握可利用數(shù)量積來(lái)求夾角問(wèn)題,并規(guī)范求解過(guò)程,要注意兩向量夾角的范圍為[0,π];在數(shù)量積的坐標(biāo)表示這節(jié)內(nèi)容中,增加了例題12 補(bǔ)充利用向量證明兩角差的余弦公式.

(2)習(xí)題比較: 舊教材在2.4.1,2.4.2 分別設(shè)有3 個(gè)小題的練習(xí),后面再統(tǒng)一在2.4 的習(xí)題中分別設(shè)A 組11 題,B 組5 題的練習(xí).而新教材將6.2.4 分成2 個(gè)課時(shí),所以每個(gè)課時(shí)各安排3 道練習(xí)題,再在6.2 中安排了相應(yīng)的數(shù)量積習(xí)題.由于新教材將數(shù)量積歸入向量的運(yùn)算,數(shù)量積坐標(biāo)表示歸入向量的坐標(biāo)表示中,所以數(shù)量積在課后的習(xí)題比較分散,但題目?jī)?nèi)容和舊教材大致相同.新教材將2.4.1 的第3 小題的求投影改為6.2.4.1 的第3 小題求投影向量.舊教材對(duì)例3 運(yùn)算律的應(yīng)用,例4 已知垂直求參數(shù)沒(méi)有相應(yīng)的練習(xí).而新教材由于將6.2.4 分為2 個(gè)課時(shí),多出3 道針對(duì)運(yùn)算律,向量垂直問(wèn)題,數(shù)量積無(wú)結(jié)合律等內(nèi)容的習(xí)題.

1.4 內(nèi)容呈現(xiàn)方式的比較

新教材的概念引入更顯自然.比如在數(shù)量積概念引入時(shí),新舊教材都是利用物理背景“功”引入,但舊教材給出功的計(jì)算公式后,直接就給出數(shù)量積的計(jì)算公式,這樣的引入略顯突兀.而新教材的引入就比較自然,由已學(xué)的加、減運(yùn)算引入,提問(wèn)向量能否相乘? 同樣由“功”的概念來(lái)引出“數(shù)量積”,且具體分析到功的計(jì)算公式涉及到力和位移的夾角,所以先定義向量夾角的概念,然后再引出數(shù)量積的計(jì)算公式,這樣的引入更加自然.

新教材的探究要求更明確.比如數(shù)量積性質(zhì)的探究,雖然新舊教材都以探究的形式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,但舊教材直接給出“由向量數(shù)量積的定義,你能否得出下面的結(jié)論? ”這樣的結(jié)論是教材直接給出的,要求學(xué)生進(jìn)行證明而已,這樣的引導(dǎo)略顯僵硬,怎么就是這幾個(gè)性質(zhì),為什么要證明這幾個(gè)性質(zhì),證明這幾個(gè)性質(zhì)有什么用.而新教材很自然,言簡(jiǎn)意賅地寫(xiě)明探究的目的,“兩個(gè)非零向量相互平行或垂直時(shí),向量a在向量b上的投影是有特殊性的,它們的數(shù)量積又有什么特殊性”,這樣的問(wèn)法更具導(dǎo)向性.

2 教學(xué)編排的思考和建議

以上通過(guò)對(duì)新舊教材內(nèi)容編排順序、知識(shí)范圍、例習(xí)題、內(nèi)容呈現(xiàn)方式等方面進(jìn)行細(xì)致的比較,筆者對(duì)數(shù)量積的教學(xué)提出如下思考與建議.

2.1 注重類(lèi)比學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生遷移推理能力

向量的概念是類(lèi)比于數(shù)的概念來(lái)學(xué)習(xí)的,向量的運(yùn)算則類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí).數(shù)可以進(jìn)行加減乘除等運(yùn)算,前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加減數(shù)乘運(yùn)算,自然會(huì)思考向量與向量是否可以相乘,如何定義向量的相乘,相乘的結(jié)果會(huì)是什么等相關(guān)問(wèn)題.物理中功的概念涉及到力與位移兩個(gè)矢量的運(yùn)算,給向量的相乘一定的啟示,向量與向量可以相乘.向量的相乘不能僅僅是兩向量的模相乘,這樣不能體現(xiàn)向量是既有長(zhǎng)度又有方向的量這一特殊性.向量相乘應(yīng)與向量的長(zhǎng)度和方向都有關(guān),所以先定義了兩向量的夾角來(lái)刻畫(huà)向量的方向,再類(lèi)比功的計(jì)算公式得到向量與向量相乘的計(jì)算公式.而向量相乘的結(jié)果是一個(gè)數(shù)量,所以將這種運(yùn)算稱(chēng)之為數(shù)量積.因此在數(shù)量積教學(xué)過(guò)程中要重點(diǎn)抓住類(lèi)比這一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生遷移推理能力,為后續(xù)空間向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)墊底基礎(chǔ)[5].

2.2 注重?cái)?shù)形結(jié)合,提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想,本節(jié)的“兩向量夾角”、“投影向量”、“數(shù)量積分配律的證明”等內(nèi)容充滿(mǎn)幾何元素,在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合,可利用幾何畫(huà)板或GGB 等可視化軟件輔助教學(xué),提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).兩向量的夾角教學(xué)過(guò)程中,要讓學(xué)生抓住“共起點(diǎn)”這一關(guān)鍵,可利用軟件展示平面中任意兩向量通過(guò)平移使得共起點(diǎn)的夾角形成過(guò)程,并動(dòng)態(tài)展示兩向量夾角0°,銳角,90°,鈍角,180°五種不同情況.在講解投影向量的概念時(shí),也可利用軟件展示其變換過(guò)程,學(xué)生就能非常自然地根據(jù)前面兩向量夾角的五種不同情況對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論,并歸納總結(jié)出投影向量的計(jì)算公式.在證明數(shù)量積的分配律時(shí),利用到向量投影的方法來(lái)進(jìn)行證明,也要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用幾何直觀,幫助學(xué)生理解,提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

2.3 注重應(yīng)用向量方法解決問(wèn)題,增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力

用向量方法解決問(wèn)題是本章的主線(xiàn),在講解數(shù)量積的過(guò)程中,應(yīng)充分分析數(shù)量積公式的作用,可計(jì)算,可求模長(zhǎng)、夾角等.而數(shù)量積的性質(zhì),可以判斷兩向量的位置關(guān)系,垂直或共線(xiàn)等.在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)這些作用,在后面解決相關(guān)問(wèn)題時(shí),學(xué)生自然能聯(lián)系所學(xué)解決問(wèn)題.比如新教材將證明兩角差余弦公式放到講完數(shù)量積的坐標(biāo)表示后,就是有意引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)孟蛄糠椒ń鉀Q之前所學(xué)的問(wèn)題,突出利用向量方法解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)所在.

2.4 注重例習(xí)題教學(xué),強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)算核心素養(yǎng)

新教材的例9 除了對(duì)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,將120°改成也考察學(xué)生的運(yùn)算能力.本節(jié)數(shù)量積是一種運(yùn)算,并且學(xué)習(xí)了其運(yùn)算律,自然要考察學(xué)生的運(yùn)算能力,所以教師在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)注意例習(xí)題的選擇,變式教學(xué),有意增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算核心素養(yǎng).

2.5 注重讓學(xué)生從物理、代數(shù)、幾何三個(gè)角度去理解向量

從物理的角度,向量與向量相乘是類(lèi)比力與位移相乘,數(shù)量積的計(jì)算公式是類(lèi)比功的計(jì)算公式;從代數(shù)的角度,向量與向量相乘是類(lèi)比數(shù)與數(shù)相乘,數(shù)量積的運(yùn)算律是類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算律;從幾何的角度,數(shù)量積的概念類(lèi)比功的概念,可以作圖幫助學(xué)生理解;另外夾角的概念,投影向量的概念注意數(shù)形結(jié)合;數(shù)量積可以解決有關(guān)模長(zhǎng)、角度等幾何問(wèn)題.

3 結(jié)束語(yǔ)

平面向量數(shù)量積的教學(xué)中,舊教材的設(shè)計(jì)有其特點(diǎn),但存在不嚴(yán)謹(jǐn)、不合理等缺陷.新教材針對(duì)舊教材出現(xiàn)的問(wèn)題,增加“兩向量夾角”、“投影向量”等概念,優(yōu)化“數(shù)量積分配律的證明”,邏輯更清晰.引入自然,探究要求明確,且新教材每年都會(huì)針對(duì)一線(xiàn)教師提出的意見(jiàn)建議,對(duì)教材繼續(xù)進(jìn)行修改,體現(xiàn)新教材的科學(xué)性.作為一線(xiàn)教師的我們,要盡快適應(yīng)新教材,不斷揣摩教材的設(shè)計(jì)意圖,抓住知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系,理解新教材,才能在教學(xué)過(guò)程滲透教材所要求培養(yǎng)的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),立德樹(shù)人.