廣東省惠州市惠城區(qū)教師發(fā)展中心(516001) 郭小斌

題目(2019·廣西北部灣)如圖1,ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB為⊙O直徑,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.

圖1

(1)求證: ∠2=∠3;

(2)若∠AEB=125°,求弧BD的長(結(jié)果保留π).

1 題意分析

“理解題意”是解題首要環(huán)節(jié).從題目的背景,考查的內(nèi)容、涉及的方法和思想對(duì)題目進(jìn)行分析,能更好地把握題目的立意,從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從題意中梳理已知條件和隱含條件,進(jìn)而找到問題的突破口.

圓的性質(zhì)及其應(yīng)用是中考的熱門考點(diǎn),選擇題、填空題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)它的蹤影.從考查內(nèi)容上看,本題主要以圓為背景知識(shí),考查三角形的外接圓、圓周角定理、弧長的計(jì)算,以及三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).從考查解題方法上看,本題主要通過圓內(nèi)特殊角的等量代換,尋找“橋梁”,連接已有條件與目標(biāo)角度、弧度,從而解決問題.從考查思想方法上看,本題主要考查轉(zhuǎn)化和化歸思想.從考查內(nèi)容和難度上看,這是一道基礎(chǔ)題型.

2 解題思路與解答分析

在解題教學(xué)中不能僅僅是為了解答而解題,而是要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng),重視觀察學(xué)生在解題時(shí)的思維活動(dòng),多問學(xué)生幾個(gè)“是什么”“怎么做”“為什么”,啟發(fā)學(xué)生搜索相關(guān)的知識(shí)點(diǎn),提取相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu),運(yùn)用已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).突出體現(xiàn)解題的思維過程,使學(xué)生在解題過程中既知其然亦知其所以然,進(jìn)而習(xí)得解決問題的方法.

第(1)問是證明兩角相等,常用的方法有: 利用余角、補(bǔ)角、外角的性質(zhì); 利用相似三角形的性質(zhì); 利用“同弧(或等弧)所對(duì)的圓心角(或圓周角)相等”的性質(zhì);利用全等三角形的性質(zhì);利用等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì).根據(jù)條件可以運(yùn)用圓周角性質(zhì)和等量代換來解決問題.第二問則要根據(jù)條件求出相應(yīng)的圓心角利用弧長公式求解.

電子探針對(duì)磷灰石分析結(jié)果：w(P2O5)41.94%，w(CaO)53.94%，其他雜質(zhì)元素含量甚微，幾乎不含Ce和Y。磷灰石單礦物化學(xué)分析結(jié)果：w(F)0.31%，w(C)10.16%[7]。

解答(1)∵AD平分∠ABC(已知),∴∠1=∠2(角平分線的性質(zhì)).又∵∠1=∠3(同弧所對(duì)的圓周角相等),∴∠2=∠3.

(2)∵AB是⊙O的一條直徑(已知),∴∠ACB=∠ADB=90°(圓周角的性質(zhì)).又∵∠AEB=∠1+∠ACB=125°(外角的性質(zhì)),∴∠1=∠AEB-∠ACB=125°-90°=35°.∵AD平分∠BAC(已知),∴∠1=∠2=35°(角平分線的性質(zhì)),∴∠BOD=2∠2=70°(同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半).又∵直徑AB=6(已知)∴弧BD長=

3 變式引申

解題教學(xué)中,不管是基礎(chǔ)題型還是綜合題型的教學(xué),都應(yīng)注重變式引申歸納總結(jié),由一題通一類.變式教學(xué)首先要精選例題和習(xí)題,要將相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)、題型和方法聯(lián)系在一起,這能提高課堂教學(xué)的針對(duì)性,避免了“題海訓(xùn)練”,能幫助學(xué)生鞏固已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),積累解題經(jīng)驗(yàn).其次在變式教學(xué)中,教師可通過一般化、特殊化或類比等思想,改變題目的條件或結(jié)論,對(duì)題目進(jìn)行拓展、延伸,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度、多方向、多層次的思考,加強(qiáng)對(duì)相應(yīng)知識(shí)與方法的理解和掌握,進(jìn)而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的發(fā)散與聚合思維能力.

變式1交換題目的條件與結(jié)論培養(yǎng)逆向思考能力

如圖2,ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB為⊙O直徑,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.若弧BD長求∠AEB的大小.

圖2

分析此題是已知弧長求相應(yīng)的角,所用的知識(shí)點(diǎn)仍然是圓周角的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和弧長公式.難度與原題相當(dāng),但解答體現(xiàn)了逆向思考的過程,有助于培養(yǎng)學(xué)生正向思維與逆向思維互相轉(zhuǎn)換的能力.

解答∵AB=6,利用弧長公式l=有∴圓心角n=80°,即∠BOD=80°.∴∠2=∠BOD=40°(同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半).∵AD平分∠BAC(已知),∴∠1=∠2=40°(角平分線的性質(zhì)).∵AB是⊙O的一條直徑(已知),∴∠ACB=90°(圓周角的性質(zhì)),∴∠AEB=∠1+∠ACB=130°.

變式2弱化條件培養(yǎng)歸納推理能力

如圖3,ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,⊙O直徑為6,A、B為⊙O上的任意兩點(diǎn)且A、B、O三點(diǎn)不共線,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.

圖3

(1)求證: ∠BAD=∠CBD;(2)若BD=3,求∠CAB.

分析此變式將條件“直徑AB”改為“任意一條弦”,并對(duì)問題2 進(jìn)行了改動(dòng).所用的知識(shí)點(diǎn)為圓周角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì),解題思路基本相同,難度也未增大.主要目的是加深學(xué)生對(duì)同類問題的理解.解答過程略.

變式3引申條件深化結(jié)論提升綜合解決問題的能力

如圖4,ΔABC、ΔABD是⊙O的內(nèi)接三角形,已知AB為不經(jīng)過圓心O的一條弦,⊙O的直徑為6,∠BAC的平分線AD經(jīng)過圓心O,AB=

圖4

(1)求弧BD的長;

(2)求四邊形ABDC的面積.

分析此變式是在變式2 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行拓展引申,綜合性較強(qiáng)難度增加.需用到勾股定理、直角三角形中30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半、圓周角的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形面積公式和弧長公式.

解答(1)∵AD是⊙O的直徑且等于6,∴∠ABD=90°.又∵AB=在RtΔABD中,根據(jù)勾股定理有BD==3.∴∠2=30°(直角三角形中,30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半),∴∠BOD=2∠2=60°(同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半),∴弧BD長=

(2)∵AD是⊙O的一條直徑(已知),∴∠ACD=∠ABD=90°(圓周角的性質(zhì)).∵在RtΔABD中,AB=BD=3,∴SΔABD=(三角形的面積公式).∵AD平分∠BAC(已知),∴∠1=∠2(角平分線的性質(zhì)).又∵∠ACD=∠ABD=90°,AD=AD,∴ΔACD∽=ΔABD(全等三角形的判定AAS).∴SΔACD=SΔABD=(全等的兩個(gè)三角形面積相等),∴S四邊形ABDC=SΔACD+SΔABD=2SΔABD=

4 題后回顧與反思

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,有助于鞏固學(xué)生對(duì)概念與原理的理解與應(yīng)用,提升運(yùn)用知識(shí)綜合解決問題的能力進(jìn)而促進(jìn)良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成.而好的解題教學(xué)并不是要過分強(qiáng)調(diào)多做多練,而是要通過對(duì)適量的典型題目進(jìn)行變式引申,注重學(xué)生思維訓(xùn)練,運(yùn)用一題多解、多題一解、由一題通一類,幫助學(xué)生形成靈活知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法體系.解題教學(xué)要運(yùn)用“基于教材而高于教材”的原則,對(duì)教材例題與課后習(xí)題進(jìn)行變式拓展,挖掘教材的引導(dǎo)作用.針對(duì)解題教學(xué),應(yīng)重視對(duì)基礎(chǔ)題型和綜合題型相結(jié)合的變式教學(xué),在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)提高綜合解決問題的能力.強(qiáng)化解題教學(xué),可從以下幾個(gè)方面入手[2-5]:

一是精選例題、習(xí)題,題目可選自教材例題、習(xí)題和中考題,題目要有較強(qiáng)的代表性,能對(duì)某個(gè)知識(shí)框架進(jìn)行完美的演繹.二是深挖內(nèi)涵,對(duì)例、習(xí)題進(jìn)行詳細(xì)分析,把握問題的考查對(duì)象和重難點(diǎn),從不同角度系統(tǒng)地梳理解題思路,做到一題多解,并從中感受數(shù)學(xué)思想價(jià)值,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)解題的靈活性、多樣性和趣味性.三是注重細(xì)節(jié),無論是題目信息的解讀或是解題過程的書寫規(guī)范,都需要從細(xì)節(jié)抓起,讓學(xué)生在日常的訓(xùn)練中養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣,提升學(xué)生的洞察力.四是強(qiáng)調(diào)變式提升,變式教學(xué)作為訓(xùn)練學(xué)生解題思維的有效方法,教師應(yīng)熟練運(yùn)用一題多變、多題歸一、題組訓(xùn)練等方法,深化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),積累解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)學(xué)生思維的變通性、選擇性和創(chuàng)造性,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的舉一反三和觸類旁通,進(jìn)一步提升學(xué)生的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、推理、探究等一系列必備能力.