北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校(102206) 秦虹柳

2016年,我國提出了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為教育的根本出發(fā)點(diǎn)和最終歸宿.深度學(xué)習(xí)是我國全面深化課程改革、落實(shí)核心素養(yǎng)的重要路徑.深度學(xué)習(xí)的一個(gè)特征是“本質(zhì)與變式”,既對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行深度加工,學(xué)生能夠抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性,全面把握知識的內(nèi)在聯(lián)系,并能由本質(zhì)推出若干變式.

在初中數(shù)學(xué)中,函數(shù)部分的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說困難很大,這與函數(shù)知識本身難度較大有關(guān),也與教師的教學(xué)有關(guān),有些教師在教學(xué)中并沒有抓住問題的本質(zhì),過渡關(guān)注表淺的問題和方法,忽略了對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).本文結(jié)合實(shí)例,對基于函數(shù)本質(zhì)的教學(xué)進(jìn)行深度思考,以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

1 提出問題

1.1 2020年北京中考數(shù)學(xué)第24 題第(1)問

原題小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個(gè)函數(shù)y=|x|(x2-x+1)(x≥-2).

下面是小云對其探究的過程,請補(bǔ)充完整:

(1)當(dāng)-2≤x＜0 時(shí),對于函數(shù)y1=|x|,即y1=-x,當(dāng)-2≤x＜0 時(shí),y1隨x的增大而____,且y1＞0; 對于函數(shù)y2=x2-x+1,當(dāng)-2≤x＜0 時(shí),y2隨x的增大而____,且y2＞0;

結(jié)合上述分析,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),對于函數(shù)y,當(dāng)-2≤x＜0 時(shí),y隨x的增大而____.

分析本題答案是＜,＜,＜.前兩空用一次函數(shù)和二次函數(shù)的知識可以解決,第三空需要分析函數(shù)表達(dá)式的特征,結(jié)合前兩空的分析結(jié)果以及y1＞0,y2＞0,從而分析出結(jié)論.本題難度不算大,但是根據(jù)調(diào)研,學(xué)生普遍感到困難,沒有解題思路,尤其是第3 空根本無從下手.學(xué)生之所以對本題感到困難,一個(gè)重要原因是題目“新”,其中,函數(shù)表達(dá)式新、問法新、解決辦法新,尤其是第3 空,雖然題目已經(jīng)進(jìn)行了難度拆分,但是學(xué)生依然對這個(gè)函數(shù)表達(dá)式感到很陌生.學(xué)生感到困難的第二個(gè)原因是缺乏分析函數(shù)表達(dá)式的意識和能力,很多學(xué)生習(xí)慣了借助函數(shù)圖象解決問題,習(xí)慣了根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫圖象,雖然這個(gè)習(xí)慣很好,但是,反復(fù)進(jìn)行“列表、描點(diǎn)、連線”畫圖象,很多學(xué)生卻忽略了對函數(shù)表達(dá)式的分析,忽視了從“數(shù)”的角度分析函數(shù)關(guān)系,忽視了“數(shù)”和“形”之間的對應(yīng)關(guān)系.就本題而言,畫函數(shù)圖象顯然比較困難,但是,如果將問題拆分,結(jié)合函數(shù)y1=-x和y2=x2-x+1 的圖象,對函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行分析就比較容易得出結(jié)論.函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間存在對應(yīng)關(guān)系,函數(shù)表達(dá)式中的自變量與因變量之間的關(guān)系是函數(shù)的核心,在教學(xué)中,不能忽視對函數(shù)表達(dá)式的關(guān)注,也不能表淺地認(rèn)識函數(shù)圖象,應(yīng)該抓住問題本質(zhì),在此基礎(chǔ)上靈活變通,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

1.2 2020年西城區(qū)初三年級期末考試數(shù)學(xué)試題第25 題(1)—(3)問

原題下面給出六個(gè)函數(shù)解析式:y=2x2-3|x|-1,y=-x2+2|x|+1,y=-3x2-|x|-4.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),分析了上面這些函數(shù)解析式的特點(diǎn),研究了它們的圖象和性質(zhì).下面是小明的分析和研究過程,請補(bǔ)充完整:

(1)觀察上面這些函數(shù)解析式,它們都具有共同的特點(diǎn),可以表示為形如y=____,其中x為自變量;

(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫出了函數(shù)y=-x2+2|x|+1 的部分圖象,用描點(diǎn)法將這個(gè)函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整;

(3)對于上面這些函數(shù),下列四個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

②有些函數(shù)既有最大值,同時(shí)也有最小值

③存在某個(gè)函數(shù),當(dāng)x＞m(m為正數(shù))時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x＜-m時(shí),y隨x的增大而減小

④函數(shù)圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)只可能是0 個(gè)或2 個(gè)或4 個(gè).所有正確結(jié)論的序號是____;

分析本題答案: (1)①y=ax2+b|x|+c(a,b,c是常數(shù),a≠0).(2)圖象如圖1所示.(3)①③.

圖1

本題更加關(guān)注學(xué)生對函數(shù)表達(dá)式的分析和理解,第(1)問引導(dǎo)學(xué)生觀察一組函數(shù)表達(dá)式的共同特征,抽象出函數(shù)表達(dá)式的一般形式,考察學(xué)生的總結(jié)、歸納能力和數(shù)學(xué)抽象能力.學(xué)生普遍作答情況很不好,這也體現(xiàn)了教師在日常教學(xué)中欠缺對知識生成過程的關(guān)注,在教學(xué)中,教師應(yīng)該注重對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng),尤其要抓住問題的本質(zhì).第(2)問是補(bǔ)全函數(shù)圖象的問題,對學(xué)生而言難在取點(diǎn),學(xué)生習(xí)慣了題目中給出部分點(diǎn)的坐標(biāo)直接進(jìn)行描點(diǎn),由于本題并沒有給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),學(xué)生便想到自己取若干x值,根據(jù)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算確定點(diǎn)的坐標(biāo),但顯然運(yùn)算時(shí)間較長.作答中出現(xiàn)了很不規(guī)范的圖象,甚至是看似“荒唐”的圖象,主要是學(xué)生在計(jì)算中出錯(cuò),完全依賴描點(diǎn)、連線來畫函數(shù)圖象.如果學(xué)生能夠關(guān)注函數(shù)表達(dá)式的特征,容易分析出函數(shù)是關(guān)于y軸對稱的軸對稱圖形,補(bǔ)全圖象并不難,卻被很多學(xué)生忽視.第(3)問需要綜合根據(jù)函數(shù)表達(dá)式和函數(shù)圖象解決問題,顯然,通過畫出所有函數(shù)圖象來解決問題的困難較大.解決本題的關(guān)鍵是分析函數(shù)表達(dá)式,抓住函數(shù)中變量間的本質(zhì)關(guān)系,進(jìn)而分析函數(shù)的對稱性、最值、增減性和圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況.

2 問題解決

綜上分析,學(xué)生缺乏對函數(shù)表達(dá)式的重視,過度依賴函數(shù)圖象解決問題,認(rèn)為函數(shù)表達(dá)式的作用只是用來計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo).由于缺乏對函數(shù)表達(dá)式的分析,對函數(shù)圖象與表達(dá)式間的對應(yīng)關(guān)系理解不透徹,導(dǎo)致學(xué)生過渡依賴于“形”而忽視了“數(shù)”的本質(zhì).下面以正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的教學(xué)為例淺談關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué).

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中極其重要,在進(jìn)行一次函數(shù)教學(xué)時(shí),老師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過列表、描點(diǎn)、連線來畫出函數(shù)圖象.通過觀察,可以發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的直線;當(dāng)k＞0 時(shí),圖象“左低右高”;當(dāng)k＜0 時(shí),圖象“左高右低”.通過觀察函數(shù)圖象,學(xué)生容易得出一次函數(shù)的增減性、最值、經(jīng)過象限等性質(zhì),但是,這樣的教學(xué)顯然不夠深入,函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想中“數(shù)”的作用不應(yīng)該僅僅是由函數(shù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖象.

教師在教學(xué)中可以追問“為什么函數(shù)的圖象是一條直線? 為什么k取不同數(shù)值時(shí),函數(shù)圖象有差別? 正比例函數(shù)與小學(xué)學(xué)的正比例關(guān)系有聯(lián)系嗎?”通過對函數(shù)表達(dá)式的分析可知,當(dāng)k＞0 時(shí),對于x取任意值,y都與x同號;當(dāng)k＜0 時(shí),對于x取任意值,y都與x異號.當(dāng)|k|發(fā)生變化時(shí),對于x取相同的數(shù)值,y的值會(huì)增大或者減小,因此,圖象會(huì)變“陡峭”或者平緩.正比例函數(shù)的圖象之所以過原點(diǎn),是因?yàn)閷τ谌我獾膋(k≠0)值,函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0).在此過程中,學(xué)生能夠感受到函數(shù)圖象及性質(zhì)與函數(shù)表達(dá)式之間存在密不可分的對應(yīng)關(guān)系.在反比例函數(shù)和二次函數(shù)的教學(xué)中,教師同樣應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)表達(dá)式的特征,將函數(shù)圖象與表達(dá)式建立緊密聯(lián)系,如果僅關(guān)注函數(shù)圖象,而忽略了函數(shù)表達(dá)式,就失去了對函數(shù)本質(zhì)的關(guān)注.

除此之外,教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平,關(guān)注學(xué)生的元認(rèn)知能力.元認(rèn)知能力的實(shí)質(zhì)是對認(rèn)知的認(rèn)知,是個(gè)體對自己的認(rèn)知加工過程的自我覺察、自我反省、自我評價(jià)與自我調(diào)節(jié).它包括元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控三個(gè)成分.元認(rèn)知的發(fā)展水平直接制約著個(gè)體智力的發(fā)展,對學(xué)生的學(xué)習(xí)有著重要影響,因此,教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知開發(fā)并提高學(xué)生的元認(rèn)知發(fā)展水平對于教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展無疑具有重要作用.在函數(shù)教學(xué)中,教師應(yīng)對學(xué)生進(jìn)行充分調(diào)研,通過教學(xué)設(shè)計(jì),幫助學(xué)生自覺地把已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)納入到新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,在知識轉(zhuǎn)化的過程中加深對原有認(rèn)知的認(rèn)識,也就是對原有認(rèn)知的認(rèn)知.經(jīng)歷這樣的過程,學(xué)生能夠不斷建構(gòu)知識體系,逐步實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

以正比例函數(shù)為例,學(xué)生清楚函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線,但是是否清楚其中的奧秘呢? 對于正比例學(xué)生并不陌生,小學(xué)階段就學(xué)習(xí)過相關(guān)知識,兩種相關(guān)聯(lián)的變量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對應(yīng)的比值一定,那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系就叫做正比例關(guān)系,顯然,若y與x成正比例,則=k(k為常量),反之亦然.在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生理解正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的本質(zhì)是兩個(gè)變量y與x成正比例關(guān)系,只是因?yàn)楹瘮?shù)研究的是隨著一個(gè)變量的變化,另一個(gè)變量也隨之變化的對應(yīng)關(guān)系,因此正比例函數(shù)表示為y=kx(k≠0)的形式.在此認(rèn)知基礎(chǔ)上,學(xué)生很容易理解正比例函數(shù)的圖象特征.當(dāng)k＞0 時(shí),的比例是一個(gè)固定的正數(shù),當(dāng)k＜0時(shí),的比例是一個(gè)固定的負(fù)數(shù),這樣,函數(shù)圖象的形狀、經(jīng)過的象限、增減性等便容易理解.

相比之下,反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象稍難理解,為什么是兩條雙曲線? 為什么圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)? 增減性為何與直線情況不同? 學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過反比例關(guān)系.反比例,指的是兩種相關(guān)聯(lián)的變量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定,那么他們就叫做成反比例的量,他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系,用xy=k(k≠0)來表示.因?yàn)楹瘮?shù)研究的是隨著一個(gè)變量的變化,另一個(gè)變量也隨之變化的對應(yīng)關(guān)系,因此,反比例函數(shù)表示為y=(k≠0)的形式.抓住反比例函數(shù)中xy=k(k≠0)的本質(zhì),反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)便容易理解.

二次函數(shù)的對稱性是二次函數(shù)很重要的性質(zhì),在教學(xué)中,教師一般引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖象,通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)其對稱性,顯然這是從“形”的角度理解二次函數(shù)的對稱性,但是,為什么二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱呢? 顯然教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生抓住問題本質(zhì),從“數(shù)”的角度進(jìn)行分析,將函數(shù)圖象與表達(dá)式建立聯(lián)系.以二次函數(shù)y=ax2(a≠0)為例,因?yàn)閤取相反數(shù)時(shí),y的結(jié)果相同,因此圖象是關(guān)于y軸對稱的軸對稱圖形;因?yàn)閤2≥0,所以a＞0 時(shí),函數(shù)值都是非負(fù)數(shù);根據(jù)x2的特點(diǎn),底數(shù)的絕對值越大,函數(shù)值隨之增加的幅度越大,底數(shù)的絕對值越小,函數(shù)值隨之增加的幅度越小(不再贅述a＜0 的情況).通過上述分析,學(xué)生能更深刻地理解拋物線的圖象特征和相關(guān)性質(zhì),只有深入分析表達(dá)式y(tǒng)=ax2(a≠0)的特點(diǎn),關(guān)注函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象之間的對應(yīng)關(guān)系,學(xué)生才會(huì)對函數(shù)的本質(zhì)有更深認(rèn)識.

在教學(xué)中,既要關(guān)注對函數(shù)表達(dá)式的分析,又要關(guān)注函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系,真正將“數(shù)”與“形”相結(jié)合.

總體來說,函數(shù)不管是在初中還是高中,亦或者更高等的學(xué)府之中,都是非常困難、復(fù)雜的知識,因此,在初中階段教師應(yīng)該給學(xué)生打下良好基礎(chǔ),在教學(xué)過程中,教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的元認(rèn)知能力,關(guān)注問題本質(zhì),滲透數(shù)學(xué)思想,堅(jiān)持科學(xué)的教學(xué)原則,引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)加以關(guān)注,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看世界,用數(shù)學(xué)的思維分析問題,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題,通過這樣的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),全面提升學(xué)生綜合素養(yǎng).