顏魯曉

［摘? ? ? ? ? ?要］? 隨著教育理念不斷更新，教學(xué)改革不斷推進(jìn)，一流課程、一流課堂逐漸興起。在教學(xué)中，教學(xué)與育人并重。學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，教師作為引導(dǎo)者，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究以及解決問題的能力尤為重要。通過幾個案例，介紹幾何畫板積件的制作過程，通過幾何畫板突破傳統(tǒng)教學(xué)方法演示旋轉(zhuǎn)曲面如何旋轉(zhuǎn)、微元法中分割和極限思想，化抽象為直觀形象，將靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)，將數(shù)學(xué)思維可視化，以提高課堂教學(xué)效果。

［關(guān)? ? 鍵? ?詞］? 高等數(shù)學(xué)；幾何畫板；課程思政；可視化

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文章編號］? 2096-0603（2023）02-0025-04

2022年1月，全國教育工作會議在北京圓滿召開。會議強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)代教育應(yīng)該全面貫徹新發(fā)展理念，服務(wù)建構(gòu)新發(fā)展格局，堅持和加強(qiáng)黨對教育工作的全面領(lǐng)導(dǎo)，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù)，著力轉(zhuǎn)變觀念、守正創(chuàng)新、攻堅克難、守住底線，加快教育高質(zhì)量發(fā)展，推動教育現(xiàn)代化，建設(shè)教育強(qiáng)國，辦好人民滿意的教育，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。[1]這對我們現(xiàn)在的教育提出了更高的要求。在日常教學(xué)中，教書與育人并重，目標(biāo)的設(shè)計要具備高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度，滿足“兩性一度”的要求。教學(xué)應(yīng)該由簡單的知識灌輸式傳授，轉(zhuǎn)變?yōu)橹R、能力、素質(zhì)相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的綜合能力、高級思維以及引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的情感價值觀的教育模式。同時，課程內(nèi)容要具有學(xué)科前沿性和時代性，教師的教學(xué)模式與方法應(yīng)體現(xiàn)先進(jìn)性和互動性，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程應(yīng)具備自主性、探究性和個性化，課堂要有留白，內(nèi)容要有一定高度，留給學(xué)生思考的時間。

數(shù)學(xué)基于其本身的抽象性、邏輯性，教師在教學(xué)過程中一般以教定學(xué)、以本為本、教路單一、學(xué)法單一、目標(biāo)單一、問題單一、評價單一，傳統(tǒng)的教學(xué)方法在一定程度上不能很好地展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識所特有的動態(tài)性和抽象性，這就需要教師開發(fā)研究適合數(shù)學(xué)特點的可視化教學(xué)工具[2]?，F(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，給我們提供了更加方便的教學(xué)與學(xué)習(xí)技術(shù)，同時使教與學(xué)不再受時空限制。現(xiàn)階段，就高等數(shù)學(xué)而言，學(xué)生難學(xué)、教師難教這一問題比較顯著，已經(jīng)成為師生共同關(guān)注的話題之一。要想確保學(xué)生學(xué)習(xí)效率穩(wěn)步提升，達(dá)到“兩性一度”的教學(xué)目標(biāo)，就要加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件的應(yīng)用。為了將數(shù)學(xué)問題充分描述出來，在教學(xué)過程中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，對當(dāng)前教學(xué)過程中存在的問題進(jìn)行簡化，可充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性，而且數(shù)學(xué)軟件的直觀性和針對性比較強(qiáng)，可以促進(jìn)學(xué)生對知識的理解?？傊诟叩葦?shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，可以將學(xué)生的主觀能動性充分激發(fā)出來，為取得良好的教學(xué)成果奠定堅實的基礎(chǔ)。

目前，在高校的高等數(shù)學(xué)教材中配備且教師比較熟練掌握運(yùn)用的數(shù)學(xué)軟件有Mathmatica、Matlab、Maple等，這些軟件偏重于編程計算，想要實現(xiàn)某個計算，需要應(yīng)用者首先完成編程，操作性不強(qiáng)，直觀性較差，教學(xué)中使用起來有一定的困難，尤其是對于沒有編程基礎(chǔ)的學(xué)生來說更復(fù)雜[3]。而幾何畫板軟件就像一個電子工具收納盒，其對系統(tǒng)的硬件環(huán)境要求低，制作的積件體積小，且便于重組，不需要編程，界面上擁有工具欄和菜單欄，通過工具欄、自定義工具可以快速完成簡單基本圖形的繪制，還可以通過編輯、顯示、構(gòu)造、變換、繪圖等菜單欄按鈕，繪制復(fù)雜絢麗動態(tài)的目標(biāo)圖形，完成“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，實現(xiàn)教學(xué)過程中圖形和數(shù)據(jù)方面的直觀表達(dá)，將抽象的數(shù)學(xué)論述可視化，形象、直觀、動態(tài)地展示數(shù)學(xué)知識。工具欄下有一個腳本功能可以記錄整個積件的制作過程，并用復(fù)原和恢復(fù)進(jìn)行瀏覽，便于后續(xù)的使用和修改。幾何畫板軟件的主要功能有繪制函數(shù)、幾何圖形度量計算、動畫、迭代等，尤其是在動畫過程中，能保持和突出幾何關(guān)系，這是數(shù)學(xué)的精髓。[4]因此，利用幾何畫板制作演示圖非常便捷，一方面適合教師修改、重組成新的課堂教學(xué)課件，進(jìn)行動態(tài)演示講解；另一方面適合學(xué)生利用積件進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的自主學(xué)習(xí)和探究。這一過程不但將數(shù)學(xué)知識的原理、數(shù)學(xué)的精髓展示出來，也在潤物無聲中完成思政育人目標(biāo)。下面以高等數(shù)學(xué)中的幾個案例說明幾何畫板積件的制作過程。

一、旋轉(zhuǎn)曲面

曲面在解析幾何以及高等數(shù)學(xué)中占有一定比例，而對于曲面的研究一般有兩個基本問題。一是已知一個曲面作為點的幾何軌跡時，如何建立曲面方程；二是已知x，y和z間的一個方程關(guān)系式時，研究這個方程所表示的曲面形狀。前者已知圖形，找到圖形特點，設(shè)出x，y，z建立函數(shù)關(guān)系式即可。后者需要通過抽象的表達(dá)式畫出圖形，這就比較復(fù)雜、困難了，因此，教師需要借助數(shù)學(xué)軟件工具將其可視化，展示給學(xué)生。

在學(xué)習(xí)曲面時，高等數(shù)學(xué)教材中羅列了大量的曲面，比如橢圓錐面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面以及馬鞍面等各種旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面。學(xué)生不僅要了解旋轉(zhuǎn)曲面是如何形成以及所對應(yīng)的方程，還要了解圖形的幾何構(gòu)造，這對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用而言有著重要作用。在學(xué)習(xí)曲面這一章節(jié)時，不同曲線圍繞不同直線旋轉(zhuǎn)得到不同的圖形，因此演示整個圖形的形成過程，能夠讓學(xué)生清晰認(rèn)識不同曲面的差別。下面以雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)為例，介紹幾何畫板繪制單葉雙曲線的制作過程。

（1）將yoz平面上的雙曲線，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系。利用圓工具，繪制以原點為圓心的單位圓。在圓上任取一點A，過A點做x′軸的垂線i，交x′軸于點B。以B點為標(biāo)記中心，將A點旋轉(zhuǎn)-45°得到點A′，再將A′點以B為中心縮放為原來的得到點A″。隱藏點A″，依次選中A′，A″點擊<變換—創(chuàng)建自定義變換—斜二測—確定>。依次選中A′，A″，構(gòu)造軌跡，得到橢圓。選擇A″與原點構(gòu)造直線j，改名為x，得到三維直角坐標(biāo)系的x軸。選中原點與x′軸，構(gòu)造垂線，得到z軸。隱藏點B和直線i。將點A以原點為中心旋轉(zhuǎn)90°得到點A′，<變換—斜二測—確定>得到點A″，用直線連接原點A″與得到軸y。再將其將z軸與圓的交點名稱設(shè)置為1，表示單位長度。

（3）利用菜單欄<計算—新建參數(shù)>，建立參數(shù)a，b分別作為雙曲線的實軸和虛軸的長度。

（4）為了便于觀察，繪制一定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象。選取定義域，在y軸上任取兩點M，N，選取M，N兩點構(gòu)造直線，直線覆蓋的點即為構(gòu)成的定義區(qū)間。在區(qū)間上任取點F，作為動點，順次選擇原點、y軸正方向上的單位點和F點，度量比值，將標(biāo)簽改為yF。利用<數(shù)據(jù)—計算yF>所對應(yīng)的函數(shù)值zF=和-zF=

（5）選中zF，變換標(biāo)記為比值，雙擊原點標(biāo)記為中心，選擇原點、z軸正方向的單位點，按照zF比例縮放，得到點p。順次選擇原點與p點，<變換—標(biāo)記向量>，選擇點f按照標(biāo)記向量op進(jìn)行平移，得到點F′。同樣，將-zF標(biāo)記為比例，將單位點以圓心為中心縮放得到點p′，依次選擇原點和點p′標(biāo)記向量，再將點F以向量op′位移得到點F″。

（6）選擇點F′和點F，構(gòu)造軌跡；同樣，選擇點F″和點F，構(gòu)造軌跡，就可以得到分別以a，b為實軸和虛軸，位于yoz平面的雙曲線方程。

（7）選擇軌跡，<顯示—追蹤軌跡>，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)時，就得到單葉雙曲面，如下圖1所示。

二、定積分定義

定積分在高等數(shù)學(xué)中所占比例較大，其在整個數(shù)學(xué)史上都占有重要地位。定積分的內(nèi)容十分豐富，其應(yīng)用也十分廣泛。這種“和的極限”的思想對物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程技術(shù)和其他知識領(lǐng)域以及人們的生產(chǎn)生活都產(chǎn)生了深刻的影響。定積分概念學(xué)習(xí)困難的原因之一是概念復(fù)雜冗長，思維方法以及理論體系高度抽象，對于初學(xué)者而言，這與他們的認(rèn)知水平發(fā)展不符，無法達(dá)到“跳一跳”就能夠到的水平。根據(jù)建構(gòu)主義教學(xué)觀，學(xué)習(xí)者是在一定的情境下，借助他人的幫助，利用一定的學(xué)習(xí)資源，通過意義建構(gòu)的方法學(xué)習(xí)新知識。[5]教師要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)技術(shù)、方法和手段，與學(xué)生恰當(dāng)?shù)膫€人學(xué)習(xí)風(fēng)格相適應(yīng)，然后將合適的技能在適合的時間傳遞給學(xué)生。因此利用先進(jìn)的技術(shù)，將微積分概念中涉及的數(shù)學(xué)問題、思維方法的整個思考過程用數(shù)學(xué)軟件描繪出，以形象、直觀的動態(tài)圖演示出來，是契合學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平，也是向?qū)W習(xí)者提供優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)資源，更是開展探究式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維的重要途徑之一。[5]教師用傳統(tǒng)教材中劉徽“割圓術(shù)”做鋪墊，雖能增強(qiáng)民族自豪感和文化自信，但是缺少貼合學(xué)生實際的背景，教師若借助信息技術(shù)演示割圓術(shù)的過程和定積分“和的極限”思想，學(xué)習(xí)者便可以通過觀察整個演示過程，獲取相關(guān)的視覺資料，更加全面深刻地理解。還可以利用交互技術(shù)，從不同的角度，多次重復(fù)觀察探索，幫助學(xué)生積累更多的實操認(rèn)知，借助自然語言，反復(fù)推敲理解數(shù)學(xué)語言、思想方法。

借助幾何畫板來演示定積分定義的形成過程。

（1）利用繪圖定義坐標(biāo)系，繪制函數(shù)圖象f（x）=x2，選擇原點A與單位1處點B構(gòu)造直線AB，度量A，B橫坐標(biāo)，選中點A、B，<度量—橫坐標(biāo)>，得到橫坐標(biāo)xA，xB計算A，B所對應(yīng)的縱坐標(biāo)并畫出所對應(yīng)的函數(shù)值點，<數(shù)據(jù)—計算—f（x）=x2—xA>得到點A橫坐標(biāo)所對應(yīng)的函數(shù)值yA。順次選中xA，yA，<繪圖—繪制點（x，y）>，繪制點A所對應(yīng)的函數(shù)值點C，同樣的操作過程，繪制點B所對應(yīng)的函數(shù)值點D。

（2）設(shè)置參數(shù)n，建立參數(shù)動畫，計算n-1，。

（3）利用迭代對區(qū)間進(jìn)行等分。將點A標(biāo)記為中心，雙擊A或者選中A<變換—標(biāo)記中心>，以標(biāo)記比為縮放比例，<選中—變換—標(biāo)記比例>，順次選中A，B，<變換—縮放—固定比例—確定>，將點B進(jìn)行縮放的到點B′。

（4）選中點B′，<度量—橫坐標(biāo)>求出點B′的橫坐標(biāo)xB′，選中xB′橫坐標(biāo)，<數(shù)據(jù)—計算—f（x）=x2—橫坐標(biāo)xB′得到點xB′所對應(yīng)的函數(shù)值的縱坐標(biāo)yB′>。順次選中橫坐標(biāo)xB′，yB′，<繪圖—繪制點（A，B）>，繪制點B′所對應(yīng)的函數(shù)值點E，繪制出曲線上的點E，連接點B′、E作直線B′E。

（5）過點C做B′E的垂線j，直線j與直線B′E交于點F。隱藏直線j和直線B′E。

（6）順次選中點B′，F(xiàn)，C，A<構(gòu)造—四邊形內(nèi)部>。選中內(nèi)部，選中點A的橫坐標(biāo)，<顯示—顏色—參數(shù)—0至1—確定>。

（7）順次選中點A，B，n-1，n，按住shift鍵，<變換—深度迭代—初像A對應(yīng)B′，B對應(yīng)B，n對應(yīng)n-1>。

當(dāng)改變參數(shù)n的值的時候，我們就可以看到所有的小矩形累積向曲邊梯形無限接近[6]，如圖2所示。

故在教學(xué)中，教師嘗試?yán)脭?shù)學(xué)軟件，將整個過程細(xì)化，模擬“分割、近似、求和、取極限”四個過程，利用軟件仿真作出動態(tài)的效果圖，隨著效果圖演示分割的無限細(xì)化，無論如何進(jìn)行分割，也不管如何取近似，所有小長方形的面積之和都會無限地逼近曲線與坐標(biāo)軸和區(qū)間端點直線所圍成的曲邊梯形的面積，這就是微元法。

微元法思想在日常的生活學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛，很多大問題、復(fù)雜問題都是由若干個簡單問題組合起來的，當(dāng)我們碰到問題、遇到難題時，可以大膽地將復(fù)雜的問題先進(jìn)行細(xì)化，“大事化小”，轉(zhuǎn)化成若干個小問題，分步驟將這些小問題逐個擊破，最終再整合，其實也就解決了復(fù)雜的問題，這需要我們在問題面前沉著冷靜，面對困難有堅持不懈的毅力，不斷地探究、思考，利用所學(xué)知識合理科學(xué)地去分解、解決問題。

三、旋轉(zhuǎn)體體積

定積分的應(yīng)用十分廣泛，在數(shù)學(xué)中最主要的部分為幾何應(yīng)用，主要是應(yīng)用定積分求曲邊平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積以及平面曲線的弧長。分析解決幾何問題，其目的不僅是建立計算這些幾何量的公式，更重要的在于介紹將一個量利用元素法表達(dá)成定積分的思想與分析方法。在導(dǎo)入時，教師可以通過簡單介紹射電望遠(yuǎn)鏡的工作原理以及作用價值，抽象其模型進(jìn)行導(dǎo)入。射電望遠(yuǎn)鏡外形可以抽象看成是由曲線圍繞軸旋轉(zhuǎn)而成，以增強(qiáng)民族自信，提升民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。講解時，教師僅單純利用教材上的幾何圖形來講述定積分求旋轉(zhuǎn)體體積較為抽象和枯燥。[7]因此可以根據(jù)實例，借助幾何畫板繪制、演示這種元素法思想。

利用幾何畫板繪制曲線z=x2圍繞z軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體。

（1）首先如旋轉(zhuǎn)曲面步驟，建立空間直角坐標(biāo)系，選擇x′軸上的單位點、圓以及點A′，<編輯—操作類按鈕—隱藏顯示>，制作按鈕。隱藏坐標(biāo)軸x′oy′。

（2）數(shù)據(jù)新建函數(shù)f（x）=x2，在x軸任取兩點構(gòu)造直線m，在直線m上任取一點F。順次選擇x軸上的原點、單位點、F點，度量比值，標(biāo)簽改為xF，計算f（xF）=，更改標(biāo)簽為zxF。

（3）將zxF標(biāo)記比值，以原點為中心，順次選中原點、z軸單位點，變換縮放。比例為zxF，z軸單位點經(jīng)過縮放的到點E，順次選中原點，E點，變換標(biāo)記向量。

（4）選擇點F，變換平移，平移方向為標(biāo)記向量OE方向得到點F′。

（5）順次選擇點F′、F，構(gòu)造軌跡，就可得到xoz平面上的曲線z=x2，將軌跡顏色設(shè)置為淺灰色，在軌跡端點處選擇點m、n，構(gòu)造線段mn，設(shè)置為黑色。

（6）選擇點A，編輯操作類按鈕動畫，點A圍繞圓旋轉(zhuǎn)。選中軌跡，和線段mn顯示菜單欄點擊追蹤軌跡。當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)時，得到立體圖形。

（7）在軌跡上任選兩點P、Q，選擇P、Q和x軸，構(gòu)造平行線，交z軸于點P′、Q′，依次選擇四點構(gòu)造內(nèi)部線段。將線段PQ設(shè)置為黑色。選擇線段PP′、QQ′、PQ、P′Q′追蹤軌跡。當(dāng)A旋轉(zhuǎn)時得到截段的軌跡圖像。如圖3所示。

通過幾何畫板的動態(tài)演示，學(xué)生可直觀地觀察旋轉(zhuǎn)體是如何生成的，計算其體積時進(jìn)行切割、近似。這個效果是傳統(tǒng)教學(xué)模式無法達(dá)到的，使學(xué)生不僅能夠通過形象的演示理解此題目的求解過程，也可以通過這種視覺化的方式，理解元素法思想，進(jìn)行遷移式學(xué)習(xí)，從而達(dá)到觸類旁通、知一解百的目的[8]。

四、結(jié)語

幾何畫板的應(yīng)用十分廣泛，在高等數(shù)學(xué)極限定義、微分方程、二重積分以及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等方面有著重要作用。教師掌握幾何畫板這一數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，并將幾何畫板應(yīng)用到日常高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，可使抽象數(shù)學(xué)語言可視化。這改變了過去純理論知識的灌輸式、“填鴨式”教學(xué)方式，突破和改善了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，為學(xué)生提供了多樣的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)了學(xué)生主動探索、細(xì)致觀察、發(fā)現(xiàn)問題、拆解問題，并堅持研究，不斷突破，最終解決問題的能力，同時對高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革和發(fā)展也會產(chǎn)生積極的推動作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.加快教育高質(zhì)量發(fā)展［EB/OL］.（2022-01-17）［2022-10-25］.http：//www.moe.gov.cn/jyb_xwfb/gzdt_gzdt/moe_1485/202201/t20220117_ 594937.html.

［2］劉勝利.幾何畫板課件制作教程［M］.北京：科學(xué)出版社，2015.

［3］袁振國．當(dāng)代教育學(xué)［M］．北京：教育科學(xué)出版社，2004：187

［4］葉德華，朱溦，周芳芹.微積分中若干概念的可視化教學(xué)［J］.產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2017，16（3）：160-161.

［5］王波，楊耘，張文.幾何畫板軟件在兩個重要極限教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.電子測試，2013（23）：215-216.

［6］鄭鳳林，周慧琴.幾何畫板迭代功能在高等數(shù)學(xué)中的教學(xué)探討［J］.教育現(xiàn)代化，2020（3）：136-138.

［7］施永新.例析用幾何畫板的深度迭代功能制作數(shù)學(xué)課件［J］.中國信息技術(shù)教育，2014（5）：85-87.

［8］陳彬斐.《幾何畫板》在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用［J］.科技信息，2011（11）：179-180.

◎編輯 馬花萍