☉劉 杰

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，同時(shí)又是一門實(shí)用領(lǐng)域廣闊的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)理解的基礎(chǔ)上，要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生形成解決問題的能力。由于數(shù)學(xué)學(xué)科中概念定律多，大多數(shù)知識(shí)都是通過數(shù)字、圖形和文字共同表述的，學(xué)生理解起來相對(duì)難度加大了，在解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)。如果不及時(shí)對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正，學(xué)生可能還會(huì)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤不斷持續(xù)，勢(shì)必會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，泯滅對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，以至于逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力，最終對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭煩心理。因此，必須讓學(xué)生掌握解決問題的正確方法，通過解決數(shù)學(xué)問題樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)而提升解決問題的能力。

解答數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須面對(duì)的一大板塊。數(shù)學(xué)學(xué)科包羅了許多數(shù)學(xué)知識(shí)，這些知識(shí)都跟學(xué)生的生活密切相關(guān)。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一定要聯(lián)系生活實(shí)際，尤其要聯(lián)系生活中遇到的具體問題。一邊學(xué)習(xí)，一邊實(shí)踐。當(dāng)學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，一定要幫助學(xué)生找到出現(xiàn)差錯(cuò)的原因，然后對(duì)癥下藥，及時(shí)幫助學(xué)生找到正確的應(yīng)對(duì)策略，科學(xué)解答數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是多方面的，因此，教師要有多種應(yīng)對(duì)的策略，幫助學(xué)生及時(shí)糾正錯(cuò)誤。本文著重對(duì)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題時(shí)出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析，幫助學(xué)生掌握解決問題的科學(xué)方法，樹立解答疑難問題的信心，以使學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中少犯錯(cuò)誤，準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，科學(xué)解答數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題，會(huì)出現(xiàn)多種多樣的錯(cuò)誤，這里選擇幾種具有普遍性的問題試診幾例。

一、邏輯推理不準(zhǔn)確

【病癥】學(xué)生面對(duì)問題不能正確梳理出相互之間的關(guān)系，未能按照內(nèi)在的邏輯關(guān)系進(jìn)行推理，僅憑直觀形成判斷，推理過程中條理不清晰，邏輯混亂，致使結(jié)果錯(cuò)誤。

例1：一輛客車上有父子3人，母子3 人，兄妹3 人?？蛙嚿献钌儆袔讉€(gè)人？

學(xué)生面對(duì)這道題，看到“父子3 人，母子3 人，兄妹3 人”，有三個(gè)“3 人”，覺得客車上的人就應(yīng)該是這三個(gè)“3”的和，馬上就寫出結(jié)果。

3 ＋3 ＋3 ＝9（人）（×）

我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：父子3 人＝父親＋兒子＋兒子；母子3 人＝母親＋兒子＋兒子。從這里可以看出有兩個(gè)兒子，那么兄妹3 人＝兩兄弟＋妹妹，綜合起來，客車上的人員應(yīng)該是父親＋母親＋兒子＋兒子＋女兒＝5人，所以客車上至少有5人。

通過這樣的分析，我們可以明顯看出，學(xué)生一開始給出的客車上有9 人的答案是錯(cuò)誤的。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？關(guān)鍵是學(xué)生剛剛看到這個(gè)問題時(shí)，只是看了一下題目中告訴的數(shù)字，共有3個(gè)“3人”，沒有考慮“至少”到底有什么隱射意義，沒有探究數(shù)字之間的邏輯關(guān)系，只把3 個(gè)3 加起來就得出結(jié)果。

例2：公共汽車到站下來了8人，又上來了4 人，現(xiàn)在車上有16人。問公共汽車上原來有多少人？

看到題目，學(xué)生進(jìn)行了這樣的分析，現(xiàn)在公共汽車上的人數(shù)，加上到站后上來的人數(shù)，再減去到站后下去的人數(shù)，就是公共汽車上原來的人數(shù)，所以，計(jì)算式為：16 ＋4－8 ＝12（人）即公共汽車上原來有12 人。到底學(xué)生的這種推理是否合理，我們畫一個(gè)線段圖來看一下。

到站后下來的8 人，加上公共汽車上現(xiàn)在的16 人，正好是公共汽車上原來的人數(shù)，加上到站后上來的4 人。那么，公共汽車上原有的人數(shù)就是到站后下來的8人，加上公共汽車上現(xiàn)在的人數(shù)，減去到站后上來的4 人，列式計(jì)算應(yīng)該是：8 ＋16－4 ＝20（人）。

顯然，原來的計(jì)算是錯(cuò)誤的。在學(xué)生看來，應(yīng)該把到站后下車的8 人減去，把到站后上來的人數(shù)加上。學(xué)生搞錯(cuò)了邏輯關(guān)系，因此，學(xué)生的推理是錯(cuò)誤的，才導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

【治療】解答數(shù)學(xué)問題必須杜絕望文生義，一定要理順已知條件之間的相互關(guān)系，要按照一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行推理。分析問題要細(xì)致，推理過程要嚴(yán)密，邏輯關(guān)系要清晰。只有這樣，才能在解決問題時(shí)得到正確的答案。［1］

二、知識(shí)和實(shí)踐脫鉤

【病癥】學(xué)生未能將學(xué)習(xí)知識(shí)和實(shí)踐應(yīng)用融為一體，學(xué)習(xí)的知識(shí)與解決實(shí)際問題脫鉤，不能根據(jù)具體的問題形成準(zhǔn)確的判斷。

例1：小明到商店去幫奶奶買大米，一袋大米的價(jià)格是75 元。

（1）如果小明帶的錢全是面值10 元的人民幣。小明買一袋大米至少要付幾張面值10 元人民幣？

（2）如果小明帶的錢正好夠買一袋大米，那么他最多帶幾張面值是10 元的人民幣？

在解答第一個(gè)問題時(shí)，當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)題目的時(shí)候，會(huì)馬上想 到75 是 由7 個(gè)10 和5 個(gè)1 組成的，那么學(xué)生就會(huì)得出最少要付7 張面值是10 元的人民幣。其實(shí)，學(xué)生的這種想法是不正確的，他們忽略了“如果小明帶的錢全是面值10 元的人民幣”這句話。因?yàn)樾∶鳑]有面值更小的人民幣，所以他不能付給營(yíng)業(yè)員5 元的零錢，只有給面值10 元的人民幣讓營(yíng)業(yè)員去找。付給7 張面值10 元人民幣，肯定不夠。因此，這道題的正確答案應(yīng)該是小明至少要付8 張面值10 元的人民幣。

在解答第二個(gè)問題時(shí)，學(xué)生又會(huì)這樣想，75 看作整十?dāng)?shù)時(shí)，就約等于80。那么，小明最多有8 張面值10 元人民幣。學(xué)生的這種判斷又出現(xiàn)了錯(cuò)誤。問題的關(guān)鍵在于學(xué)生未能仔細(xì)揣摩，忽視了題目中說的“如果小明帶的錢正好夠買一袋大米”這句話，“正好”二字說明小明帶的錢是75元，不多也不少。而在75 元中，最多有面值是10 元的人民幣7 張。所以，他最多帶7 張面值是10 元的人民幣。

例2：一個(gè)置物架，進(jìn)價(jià)是63 元，售價(jià)是78 元，老板在出售時(shí)收了一張100 元假幣。問：老板虧了多少元？

學(xué)生在解答這道數(shù)學(xué)問題時(shí)產(chǎn)生了兩種想法。

學(xué)生甲：置物架的進(jìn)價(jià)是63元，售價(jià)是78 元，賣出后老板應(yīng)該獲得的利潤(rùn)是78 － 63 ＝15（元），現(xiàn)在收了假幣，老板的利潤(rùn)沒有了，所以老板虧了15 元。

學(xué)生乙：置物架的售價(jià)是78元，老板收到100 元假幣，應(yīng)該找 出100 － 78 ＝22（元），所以老板虧了22 元。

其實(shí)，學(xué)生甲和學(xué)生乙的思考過程都不正確。學(xué)生甲忽略了置物架的成本以及收回100 元假幣后老板找出的錢，他計(jì)算的是老板應(yīng)該獲得的利潤(rùn)。而學(xué)生乙卻忽略了置物架的成本。正確的思考過程應(yīng)該是老板收回了100 元假幣，相當(dāng)于老板一分錢也沒有收回。老板收到假幣后，商品的售價(jià)是78 元，所以他要找回100－78 ＝22（元），這22 元是老板一分錢也沒有收回的情況下多找出的。所以，老板虧損的錢數(shù)應(yīng)該有兩部分，一部分是商品的進(jìn)價(jià)，這是老板必須支付的；一部分是老板找出的錢。

即為：63 ＋（100－78）

＝63 ＋22

＝85（元）

因此，老板總共虧損了85元。

【治療】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)一定要做到活學(xué)活用，要掌握應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的辦法，提高解決實(shí)際問題的能力。在解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)要針對(duì)具體問題進(jìn)行判斷，挖掘隱藏的條件，進(jìn)行合理的推理和務(wù)實(shí)的判斷。切忌顧此失彼，丟三落四，最終造成錯(cuò)誤判斷，在解決問題的過程中出現(xiàn)差錯(cuò)。［2］

三、未能準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念

【病癥】在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)由于概念模糊，不能形成準(zhǔn)確判斷，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象。甚至由于概念不清鬧出笑話。

例：某村要修一條鄉(xiāng)村公路，調(diào)來一臺(tái)壓路機(jī)。這臺(tái)壓路機(jī)的滾動(dòng)輪寬2 米，滾動(dòng)輪的直徑是1．5 米。這臺(tái)壓路機(jī)一分鐘滾動(dòng)9周。這臺(tái)壓輪機(jī)一分鐘前進(jìn)了多少米？一分鐘壓路多少平方米？

學(xué)生面對(duì)這道數(shù)學(xué)問題，是這樣進(jìn)行分析的。他覺得壓路機(jī)的直徑是1．5 米，滾動(dòng)輪一分鐘轉(zhuǎn)到9 周，那么壓路機(jī)一分鐘前進(jìn)的米數(shù)就是直徑乘9，即為：1．5×9 ＝13．5（米）。

壓路機(jī)一分鐘壓路就是：

1．5×9×2

＝13．5×2

＝27（平方米）

還有個(gè)別同學(xué)把壓路多少看成是求滾動(dòng)輪的體積。最后牽強(qiáng)附會(huì)把單位寫成平方米。

學(xué)生的這種分析，實(shí)際上是把滾動(dòng)輪前進(jìn)1 周的距離看成了滾動(dòng)輪的直徑，顯然這樣的判斷是錯(cuò)誤的。之所以出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)圓柱體的相關(guān)概念比較模糊，再加上題目設(shè)計(jì)比較含蓄，面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的思維更加混亂，只能憑著個(gè)人的感覺牽強(qiáng)附會(huì)去解答，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

正確的分析應(yīng)該是滾動(dòng)輪每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，前進(jìn)的路程是滾動(dòng)輪的周長(zhǎng)，也就是直徑乘圓周率。即為1．5×3．14 ＝4．71（米），因?yàn)橐环昼娹D(zhuǎn)動(dòng)了9 周，所以前進(jìn)的距離是4．71×9 ＝42．39（米）。

綜合算式為：

1．5×3．14×9

＝4．71×9

＝42．39（米）

壓路的面積應(yīng)該是前進(jìn)的距離乘滾動(dòng)輪的寬，即為42．39×2＝84．78（平方米）。

綜合算式為：

1．5×3．14×9×2

＝4．71×9×2

＝42．39×2

＝84．78（平方米）

【治療】在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要求學(xué)生準(zhǔn)確掌握知識(shí)，尤其是數(shù)學(xué)當(dāng)中的概念，要形成準(zhǔn)確清晰的認(rèn)識(shí)，不得馬虎。對(duì)于那些容易產(chǎn)生混淆的概念，一定要采用比較法去弄清概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，學(xué)習(xí)知識(shí)絕不能馬馬虎虎，要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

四、分析問題表面化

【病癥】面對(duì)一道數(shù)學(xué)題目，學(xué)生不認(rèn)真讀題，未能理解問題和已知條件之間的邏輯關(guān)系，片面理解，靠定勢(shì)思維去解決問題，不能梳理出內(nèi)在的聯(lián)系。

例：一項(xiàng)工程，計(jì)劃5 天完成，實(shí)際4 天完成了，工作效率比原計(jì)劃提高了多少？

學(xué)生面對(duì)這道數(shù)學(xué)問題會(huì)這樣進(jìn)行思考推理：先算出原計(jì)劃完成工程的工作效率，再算出實(shí)際完成工程的工作效率，然后從實(shí)際完成的工作效率中減去計(jì)劃完成的工作效率，就是實(shí)際比計(jì)劃完成工程提高的。

即：1÷5 ＝20%

1÷4 ＝25%

25%－20%＝5%

所以，工作效率比原計(jì)劃提高了5%。學(xué)生的這種思考方法是錯(cuò)誤的。

正確的做法是先算出原計(jì)劃完成工程的工作效率，再算出實(shí)際完成工程的工作效率，從實(shí)際完成的工作效率中減去計(jì)劃完成的工作效率，就是實(shí)際比計(jì)劃完成工程提高的。學(xué)生的這些思考沒有問題，題目要求我們求的是提高的工作效率是原計(jì)劃的百分之幾，所以還要進(jìn)行計(jì)算實(shí)際比原計(jì)劃完成工程提高的工作效率，除以原計(jì)劃完成的工作效率，再乘以100%，才是工作效率比原計(jì)劃提高的。

即：5%÷20%

＝0．25

＝25%

【治療】數(shù)學(xué)問題的分析解答，需要學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)深入到理性認(rèn)識(shí)，對(duì)問題中描述的各種現(xiàn)象進(jìn)行細(xì)致的分析。發(fā)揮抽象思維，通過不同層面的嚴(yán)密推理得出科學(xué)的結(jié)論。

總之，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)由于對(duì)概念把握不夠精準(zhǔn)，對(duì)問題分析不夠透徹，邏輯推理過程不夠嚴(yán)密，而在解決問題的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，特別要透徹理解問題描述中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，找到導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因，找到正確解決問題的路徑和辦法，幫助學(xué)生建立正確的思維觀，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，并不斷提升學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，最終達(dá)到學(xué)以致用。