楊慶璽 唐軍強(qiáng)

（焦作大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 焦作 454000）

自然數(shù)的方冪和是一個(gè)古老的問(wèn)題，許多數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)對(duì)其做過(guò)研究，如阿基米德，雅各布·伯努利，歐拉，日本的關(guān)孝和和松永良弼，中國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭和夏鸞祥[1]。華羅庚先生和陳景潤(rùn)先生在這方面也做過(guò)深入的研究工作[2-3]。至今，仍有很多數(shù)學(xué)工作者在這個(gè)方面做著細(xì)致的工作[4-9]，原因在于該問(wèn)題牽涉極廣，與伯努利數(shù)、斯特林?jǐn)?shù)、第二類歐拉數(shù)等都有關(guān)聯(lián)，這就給了人們極大的興趣和動(dòng)力來(lái)討論它。

本文將關(guān)于冪和的遞推關(guān)系寫成矩陣方程的形式,它的逆矩陣并不難獲得，并且發(fā)現(xiàn)逆矩陣的元素與伯努利數(shù)之間存在關(guān)聯(lián)，可以用伯努利數(shù)很好地解釋，進(jìn)而得到用伯努利數(shù)和伯努利多項(xiàng)式形式表示的冪和公式，然后證明了這樣得到的結(jié)果與雅各布·伯努利的公式是一致的。

人們自然希望能夠找到一個(gè)統(tǒng)一的公式，使得對(duì)所有的自然數(shù)都成立。瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利在他的《猜度術(shù)》一書中給出了這樣一個(gè)公式

這里，右端的級(jí)數(shù)加至n的最后一個(gè)正冪。也(1就)是說(shuō)，如果k是奇數(shù)，則最后一項(xiàng)是n2；如果k是偶數(shù)，則最后一項(xiàng)是n。B n是伯努利數(shù)，有

并且存在遞推關(guān)系

1.公式的推導(dǎo)

定理1 設(shè) 代表前n個(gè)自然數(shù)的k次冪和，則下面各式等價(jià)

結(jié)合(3)式，容易看到，(4)與(5) 式等價(jià)，(6)與(7)式等價(jià)，而(6)式正是雅各布·伯努利給出的公式。這里先給出(4)式的推導(dǎo)過(guò)程：基于二項(xiàng)式定理展開，推導(dǎo)各階冪和滿足的遞推公式

然后將上面各式左右兩端分別相加，得到

由此可以得到

至此，關(guān)鍵問(wèn)題就在于如何去描述逆矩陣中的這些元素。事實(shí)上，它們與伯努利數(shù)和組合數(shù)相關(guān)，可以描述為

將（7）式代入（6）中，就可以得到

上面推導(dǎo)過(guò)程中用到了（2）式。

2.與雅各布·伯努利公式的一致性

證 將（4）式中的項(xiàng)做二項(xiàng)式定理展開:

展開后的常數(shù)項(xiàng)為

而展開后的系數(shù)為

從(12)式可以看到，當(dāng)m=k+1時(shí)，其系數(shù)為1/(k+1)；當(dāng)m=k時(shí)，其系數(shù)為1/2。也就是說(shuō)，無(wú)論k為奇數(shù)或偶數(shù)，這兩項(xiàng)都是存在的。除此之外，若k為奇數(shù)，則展開式中只有n的偶數(shù)次冪；若k為偶數(shù)，則展開式中只有n的奇數(shù)次冪。由此可得

這樣就得到了 (6) 式。該形式簡(jiǎn)潔而統(tǒng)一，無(wú)需區(qū)分n的奇數(shù)次和偶數(shù)次項(xiàng)，伯努利數(shù)自然會(huì)達(dá)到這種效果。

3.結(jié)論

對(duì)于包含某個(gè)在整數(shù)范圍內(nèi)變化的角標(biāo)的恒等式和遞推關(guān)系，通常都可以寫成一個(gè)無(wú)窮矩陣方程的形式，所要求的對(duì)象所構(gòu)成的向量即為該矩陣方程的解。對(duì)無(wú)窮矩陣求逆，如果逆矩陣的元素存在某種規(guī)律性，那么就可以獲得所求對(duì)象的一種表達(dá)式，這相當(dāng)于是對(duì)遞推關(guān)系的一種反解。但是，這不能算是一種證明，因?yàn)榫仃囀菬o(wú)窮的，而計(jì)算則是有限的。所獲得的公式是否準(zhǔn)確，仍然需要有其他的手段來(lái)驗(yàn)證或給出證明。不過(guò)，這確實(shí)為發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提供了一種新視角，當(dāng)人們糾結(jié)于某個(gè)恒等式，為復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程而煩惱的時(shí)候，逆矩陣提供了一種全新的視野，而對(duì)于規(guī)律性的尋找則要求對(duì)于各種常數(shù)有敏感和熟練的認(rèn)知。