伍 鳴

(金陵科技學(xué)院公共基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 211169)

伯努利數(shù)是18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利引入的一類數(shù),它在理論上和實際中都具有重要意義。1713年,雅各布的巨著《猜度術(shù)》出版,是組合數(shù)學(xué)及概率論史的一件大事,書中給出的伯努利數(shù)有很多應(yīng)用。組合數(shù)學(xué)中,伯努利數(shù)與數(shù)列和的計算有著緊密聯(lián)系,一直被數(shù)學(xué)研究者廣泛研究。不僅如此,伯努利數(shù)在數(shù)論中地位也很重要,它曾被用于費馬大定理的論證中。

近年來,有關(guān)伯努利數(shù)與伯努利多項式卷積表達(dá)式的相關(guān)研究[1-3]越來越受人們關(guān)注,其中包含等冪和的伯努利數(shù)與伯努利多項式表達(dá)成為了一個新的亮點。

1 伯努利數(shù)的基本對稱等式

伯努利數(shù)Bn由指數(shù)生成函數(shù)

(1)

與此同時,伯努利多項式Bn(x)也由指數(shù)生成函數(shù)

(2)

對任意整數(shù)k≥0,Sk(n)=0k+1k+…+nk被稱為等冪和多項式,Sk(n)與伯努利數(shù)Bn有著如下重要關(guān)系[4]:

(3)

(4)

Deeba、Rodriguez[5]和Gessel[6]分別證明了對一切正整數(shù)n和a,下述等式成立:

(5)

Tuenter[7]發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)于伯努利數(shù)與等冪和多項式的對稱關(guān)系式,同時指出等式(5)恰好是這個對稱關(guān)系式的特例。這個對稱關(guān)系式如下:

引理1對任意正整數(shù)a,b以及n≥0,

(6)

Yang[8]證明了一個高階伯努利多項式與等冪和多項式的對稱關(guān)系式如下:

引理2對任意正整數(shù)a,b,m以及n≥0,

(7)

2 含冪和多項式的伯努利多項式對稱式

定理1對任意正整數(shù)a,b,c,m,以及n≥0,

類似于上述方法,同樣有

以及

通過對比這些展開式中tn/n!的系數(shù),容易得出結(jié)果。 證畢。

推論1對任意正整數(shù)a,b,c,以及n≥0,

證明在定理1中,讓m=1,z=0,即得。 證畢。

很明顯,等式(6)和(7)恰好是推論1與定理1的特殊情況。

推論2對任意正整數(shù)a,b,c,m以及n≥0,

證明在定理1中,讓x=y=z=0,即得。 證畢。

定理2對任意正整數(shù)a,b,c,m以及n≥0,有

同樣可得

以及

比較最后幾個方程右端中tn/n!的系數(shù),容易得出結(jié)果。 證畢。

3 結(jié) 語

本文在Tuenter和Yang工作的基礎(chǔ)上,推廣了一個關(guān)于伯努利數(shù)與等冪和多項式的對稱關(guān)系式,獲得了關(guān)于三個高階伯努利多項式與等冪和多項式的對稱等式,它將已有的結(jié)果都包含在這一等式中,并且得到了伯努利多項式乘法定理的推廣形式。

[1] Dilcher K. Sums of Products of Bernoulli numbers[J]. Journal of Number Theory,1996,60:23-41

[2] Satoh J. Sums of Products of Two q-Bernoulli Numbers[J]. Journal of Number Theory,1999,74:173-180

[3] Wu M, Pan H. Sums of Products of Bernoulli Numbers of the Second Kind[J].The Fibonacci Quarterly, 2007,45:146-150

[4] Comtet L.Advanced Combinatories[M].Reidel:Dordrecht,1974

[5] Deeba E, Rodriguez D. Stirling’s Series and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly,1991,98:423-426

[6] Gessel I. Solution to Problem E3237[J].The American Mathematical Monthly,1989,96:364

[7] Tuenter H J H.A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly, 2001,108:258-261

[8] Yang S L. An Identity of Symmetry for the Bernoulli Polynomials[J].Discrete Mathematics,2008,308:550-554