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        地球隧道中的42分鐘

        2023-05-30 23:10:06歐陽(yáng)志輝陳海秀
        物理教學(xué)探討 2023年3期
        關(guān)鍵詞:萬(wàn)有引力周期

        歐陽(yáng)志輝 陳海秀

        摘? ?要:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的一種最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng),也是高中物理教學(xué)的重要知識(shí)。利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)基本理論,討論了假想的地球隧道中石頭的運(yùn)動(dòng)情況及運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

        關(guān)鍵詞:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);萬(wàn)有引力;周期

        中圖分類(lèi)號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? 文章編號(hào):1003-6148(2023)3-0063-2

        如果沿著地球直徑或其他地方打一條隧道,從隧道的一端釋放一塊石頭,石頭掉下去要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)另一端?如果忽略阻力、溫度變化、地球自轉(zhuǎn)等影響,假設(shè)地球質(zhì)量分布均勻,答案是42分鐘。關(guān)于為什么是42分鐘,下面運(yùn)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)分析。

        1? ? 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

        如圖1所示,小球套在光滑的桿上,彈簧的質(zhì)量遠(yuǎn)小于小球的質(zhì)量,這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為彈簧振子。如果把小球拉向一方后放手,小球在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦(余弦)函數(shù)的規(guī)律,即x=Asin(ωt+φ0)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)同時(shí)也滿(mǎn)足F=-kx或F=-mω2x。

        由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng),討論起來(lái)極不方便。為此,可引入一個(gè)連續(xù)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),因?yàn)樗谌我恢睆缴系姆诌\(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以平衡位置O為圓心,以振幅A為半徑作圓,這種圓就稱(chēng)為參考圓。如圖2所示,設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在參考圓上以角速度ω沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng),它在開(kāi)始時(shí)與O的連線(xiàn)跟x軸夾角為φ0,那么在時(shí)刻t,參考圓上的質(zhì)點(diǎn)與O的連線(xiàn)跟x軸的夾角就為φ=ωt+φ0,它在x軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)x=Acos(ωt+φ0)。

        3? ? 近地衛(wèi)星

        因此,石頭在隧道中的運(yùn)行時(shí)間為近地衛(wèi)星周期的一半,那就是42分鐘。

        4? ? 其他隧道

        如果在地球其他位置打通這樣的隧道(圖6),忽略空氣阻力、溫度變化、地球自轉(zhuǎn)等因素,認(rèn)為地球質(zhì)量分布均勻、隧道是光滑的,在隧道的一端放下一個(gè)物體,物體從這端到達(dá)另一端的時(shí)間是多少呢?答案還是42分鐘。這個(gè)結(jié)果也可用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)解釋。

        由此可知,物體在x軸上的運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),而且它的圓頻率和直徑隧道的圓頻率是一樣的。因而,物體從一端到另一端的時(shí)間也是42分鐘。

        (欄目編輯? ? 蔣小平)

        收稿日期:2022-10-30

        作者簡(jiǎn)介:歐陽(yáng)志輝(1980-),男,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事高中物理教學(xué)工作。

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