侯田華 左效平

【摘要】數(shù)學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會服務.要對數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識，數(shù)學建模是數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑，學會用數(shù)學符號建立函數(shù)表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義.數(shù)學建模已在當前的數(shù)學教育教學中占有重要地位，有助于培養(yǎng)學生理論與實踐相結合的能力、綜合學習能力、綜合運用能力.

【關鍵詞】數(shù)學模型；數(shù)學建模；函數(shù)

數(shù)學模型就是以一個特定的對象為一個特定的目標，根據(jù)特有的內在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到一個數(shù)學結構.數(shù)學模型是一種數(shù)學的思維方法，建立數(shù)學模型的目的是為了能更好、更高效、更有質量地解決問題.

數(shù)學建模能力是數(shù)學關鍵能力的重要組成部分，是學生必備的數(shù)學關鍵能力之一[1]，更是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內涵之一.數(shù)學建模思想是幫助學生將抽象問題、復雜問題，具象化、簡單化的重要手段，學生依托這一思想可以深入地進行數(shù)學學習[2].培養(yǎng)學生的建模能力，是數(shù)學創(chuàng)新性學習的需要.

1特例構建二次函數(shù)模型

如圖1，設點A是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上的一點，過點A作AB⊥x軸，交直線y=kx+b（k≠0）于點B，且點A在點B的下方，設A（m，am2+bm+c），則B（m，km+b），故AB=km+b－am2－bm－c=－am2+（k－b）m+b－c，當m=－b2a=k－b2a時，線段AB有最大值.

應用模型解題時，要印證已知條件，滿足模型的基本要求，符合模型的基本架構，才能建模解題.

2模型的應用

2.1探求線段的最值和動點的坐標

例1如圖2，對稱軸為x=－1的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（－3，0），C為拋物線與y軸的交點．

（1）求拋物線的解析式；（2）設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，請直接寫出線段QD長度的最大值和對應的點Q的坐標．

解析（1）易得拋物線的解析式為y=x2+2x－3．

（2）設直線AC的解析式為y=kx-3，把（-3，0）代入解析式，得-3k-3=0，解得k=-1，所以直線AC的解析式為y=-x-3，設Q的坐標為（n，-n-3），則D的坐標為（n，n2+2n－3），所以QD=yQ－yD=-n-3-（n2+2n－3）=－n2－3n，所以當n=－－32×（－1）=－32時，QD有最大值，且最大值為－（－32）2－3×（－32）=94，此時y=-x-3=－32，故點Q的坐標為（－32，－32）．

點評這是模型的遷移版，與模型完全一致，只要熟練掌握基本模型，解答自然順利.

2.2探求帶系數(shù)線段和的最值和動點的坐標

例2如圖3，在平面直角坐標系中，拋物線y=－12x2+bx+c與x軸交于A，B（－4，0）兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；（2）如圖3，連接BC，點P為直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動點，過點P作PF∥y軸交x軸于點F，交BC于點E，過點P作PD⊥BC，垂足為點D，求5PD+2PF的最大值及此時點P的坐標.

解析（1）易得拋物線的解析式為y=－12x2－32x+2．

（2）連接AC，因為y=－12x2－32x+2的對稱軸為直線x=－32，B（－4，0），C（0，2）.

所以點A（1，0），AB2=［1－（－4）］2=25，BC2=22+42=20，AC2=22+12=5，所以△ABC是直角三角形，因為PD⊥BC，∠PED=∠BEF，PF∥y軸，所以∠DPE=∠FBE，所以cos∠DPE=cos∠FBE，所以PDPE=BCBA=255=25，所以5PD=2PE，所以5PD+2PF=2（PE+PF），設直線BC的解析式為y=kx+b，所以0=－4k+b，

b=2，解得k=12，

b=2，所以直線BC的解析式為y=12x+2.

因為點P為直線BC上方拋物線y=－12x2－32x+2上，設P（m，－12m2－32m+2），則E（m，12m+2），F(xiàn)（m，0），所以PE=－12m2－32m+2－（12m+2）=－12m2－2m，PF=－12m2－32m+2，所以5PD+2PF=2（PE+PF）=2（－12m2－2m－12m2－32m+2）=－2（m+74）2+818，所以當m=－74時，5PD+2PF的最大值為818，此時－12m2－32m+2=－12×（－74）2－32×（－74）+2=9932，所以P（－74，9932）．

點評這是模型的縱深型應用，利用三角函數(shù)得到5PD=2PE，化5PD+2PF=2（PE+PF），為構建模型解決問題奠定基礎．

2.3探求帶系數(shù)線段差的最值和動點的坐標

例3如圖4，點P是拋物線y=－34x2+94x+3第一象限上的一動點，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，則PQ-35AM取最大值時，點P的橫坐標為.

解析因為y=－34x2+94x+3，令y=0，得－34x2+94x+3=0，解得x1=－1，x2=4，所以A（4，0），B（0，3），AB=32+42=5，所以sin∠OAB=OBAB=35=MQAM，所以MQ=35AM，所以PQ-35AM=PQ-MQ=PM.設直線AB的解析式為y=kx+3，把（4，0）代入解析式，得4k+3=0，解得k=－34，所以直線AB的解析式為y=－34x+3，設P的坐標為（n，－34n2+94n+3），則M的坐標為（n，－34n+3），所以PM=yP－yM=－34n2+94n+3+34n－3=－34n2+3n，所以當n=－32×（－34）=2時，PM有最大值，即PQ-35AM有最大值時，故點P的橫坐標為2．

點評解答時，巧妙運用三角函數(shù)的正弦函數(shù)化35AM為線段MQ，從而實現(xiàn)化陌生為熟悉，實現(xiàn)解題目標.這是數(shù)學化歸思想的靈活運用，要熟練掌握.其次，要熟練駕馭模型線段的計算方法，做到靈活、準確、高效入模、析模、解模，從而提高解題效率，助你克服畏難情緒，增強解題信心，感受解題樂趣.

2.4探求四邊形面積的最值和動點的坐標

例4如圖5，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x交于點E，B（點B在點E的右側）．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？求出最大面積.

分析根據(jù)拋物線的解析式，確定點B，點E，點C的坐標，確定直線AB的解析式為y=－x+5，設P（m，－m2+4m+5），則D（m，－m+5），根據(jù)S四邊形ADCP=12PD·AC構造二次函數(shù)模型計算．

解（1）易得拋物線的解析式為y=－（x－2）2+9=－x2+4x+5．

（2）因為拋物線的解析式為y=－x2+4x+5，所以－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5，所以B（5，0），E（－1，0），設直線AB的解析式為y=kx+b，所以5k+b=0，

b=5，解得k=－1，

b=5，所以直線AB的解析式為y=－x+5.

設P（m，－m2+4m+5），則D（m，－m+5），因為PD平行于y軸交AB于點D，所以PD=－m2+4m+5－（－m+5）=－m2+5m；因為AC平行于x軸，交拋物線于點C，A（0，5），C（xC，5），所以A，C是對稱點，xC+02=2，解得xC=4，所以AC=xC－xA=4，所以S四邊形APCD=12PD·AC=12×4×（－m2+5m）=－2（m－52）2+252，所以當m=52時，四邊形APCD面積最大，最大面積為252，當m=52時，－m2+4m+5=－（52）2+4×52+5=354，所以P（52，354）．

點評先構建模型，后借助模型中的動線段，運用分割法表示四邊形的面積，構建起面積的二次函數(shù)模型，求最值即可.

2.5探求四邊形周長的最值和動點的坐標

例5如圖6，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過A（－1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線y=kx+3經(jīng)過點A，點P為該直線上的一個動點，且位于x軸的上方．點Q為拋物線上的一個動點，當PQ⊥x軸時，作QM⊥PQ，交拋物線于點M（點M在點Q的右側），以PQ，QM為鄰邊作矩形PQMN，求該矩形周長的最小值．

分析用待定系數(shù)法確定直線y=kx+3的解析式，設P（t，3t+3），則Q（t，－12t2+32t+2），根據(jù)函數(shù)對稱性，確定PQ，QM的長度，計算2（PQ+QM），構造以t為自變量的二次函數(shù)，根據(jù)最值確定法判斷計算即可．

解（1）該拋物線的解析式為y=－12x2+32x+2．

（2）因為直線y=kx+3經(jīng)過點A，所以－k+3=0．解得k=3．所以直線的解析式為y=3x+3．設P（t，3t+3），則Q（t，－12t2+32t+2）．由y=－12x2+32x+2=－12（x－32）2+258，得拋物線的對稱軸為直線x=32．如圖6，根據(jù)題意，點Q和M關于對稱軸對稱，所以QM=2（32－t）=3－2t．

因為PQ=3t+3－（－12t2+32t+2）=12t2+32t+1．所以2（PQ+QM）=t2－t+8=（t－12）2+314，所以當t=12時，2（PQ+QM）的值最小．

所以該矩形周長的最小值為314．

點評通過構建模型，以四邊形的周長為函數(shù)建立二次函數(shù)模型，從而化周長的最小值為二次函數(shù)的最小值，巧妙實現(xiàn)解題目標.

3教學思考

建模思想是數(shù)學核心素養(yǎng)內容之一，是培養(yǎng)學生用數(shù)學分析問題、解決問題能力的重要活動載體之一，為此在教學中要扎實落實如下幾點.

3.1建模教學要落實教師意識先行原則

教師作為知識的傳播者，首先自己對數(shù)學建模要高度重視，有積極向上的建模意識，全面縝密的建模思維，敢于建模的思考習慣，確實把建模教學作為教師個人業(yè)務提升、教學風格形成的重要體現(xiàn)，同時，也要把建模教學作為培養(yǎng)學生創(chuàng)新學習、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的切入點和突破口，科學選擇模型背景，大膽嘗試探索，讓建模教學扎根自己的課堂，植根學生的心田，相信師生假以時日歷練，定能探索出一條建模教學的成功之路.

3.2建模教學要落實理論聯(lián)系實際原則

數(shù)學建模的過程，是實踐—理論—再實踐的過程，是理論與實踐的有機融合，共同引領學生積極主動思考數(shù)學、應用數(shù)學和探索數(shù)學的過程.教師不斷強化數(shù)學建模的教學，不僅能讓學生更好地掌握數(shù)學基礎知識，學會數(shù)學的思想、方法、語言，也能讓學生樹立正確的數(shù)學觀，增強應用數(shù)學的意識，全面認識數(shù)學與科學、技術、社會的關系，提高分析問題和解決問題的能力.

3.3建模教學要遵循循序漸進原則

數(shù)學建模教學不是一朝一夕就能實現(xiàn)和完成的，需要數(shù)學教師有強烈的耐心和穩(wěn)定的心態(tài)，建模教學急不得，它必須建立在學生的數(shù)學知識基礎之上，符合學生的認知規(guī)律和特點，是學生基礎知識的再認識、再提升、再錘煉的產(chǎn)物，是數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想共同孕育的數(shù)學智慧的結晶，就像一個剛出生的嬰兒，需要嚴格按照成長階段來生長，建模教學也是如此，這就需要教師要夯實學生的數(shù)學根基，織密學生的思維智網(wǎng)，啟明學生的數(shù)學思想燈塔，開啟學生的建模思維之門，在老師的“輔佐”下，漸入佳境，錘煉自我，提升能力和素養(yǎng).

參考文獻

[1]孫凱.初中生數(shù)學建模能力評價框架的構建[J].內蒙古師范大學學報，2023（01）：83-88.

[2]嚴蘇娟.以數(shù)學建模思想培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學實踐[J].考試周刊，2018（11）：71-72.

作者簡介侯田華（1966—），男，山東沂源人，中學一級教師;縣優(yōu)秀班主任，教學工作先進個人;主要研究解題方法的探究和學法指導.

左效平（1967—），男，山東沂源人，中學高級教師;全國數(shù)理化能力競賽優(yōu)秀輔導教師，市教師教育工作先進個人，縣優(yōu)秀班主任，縣優(yōu)秀德育工作者;主要研究解題方法的探究和學法指導;發(fā)表論文近100篇.