王靈勇 姜瀅

［摘 ?要］ 文章以2020年筆者和江山市教研室共同主持的省級教研課題“單元整體視角下小學(xué)數(shù)學(xué)研訓(xùn)的實(shí)踐思考”為背景，分析了整體教學(xué)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)“大單元”教學(xué)的意義，從深度教材、依托學(xué)情、改進(jìn)過程、優(yōu)化評價(jià)四個(gè)方面闡述了小學(xué)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的路徑，以整體促進(jìn)學(xué)生“大概念”認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長。

［關(guān)鍵詞］ 整體教學(xué)；大單元教學(xué)；大概念

“大單元教學(xué)”是將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)類似的內(nèi)容分模塊組合解讀，相對于自然單元更加體現(xiàn)整體性、系統(tǒng)化的大教學(xué)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)知識序列化的遷移和生長；根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，適當(dāng)調(diào)整、增減、拓展延伸相應(yīng)的內(nèi)容，體現(xiàn)合理性和實(shí)效性；課堂教學(xué)以多元表征整體推進(jìn)，課堂生成更具有序列性、系統(tǒng)性；精準(zhǔn)評價(jià)，確保單元整體教學(xué)教評一致，達(dá)成預(yù)期成效［１］。大概念既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)單元領(lǐng)域中最關(guān)鍵、最核心的教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想，又能表現(xiàn)出較強(qiáng)的單元知識整體關(guān)聯(lián)性。建立大單元教學(xué)的思想，踐行“大概念”教學(xué)理念，有利于幫助學(xué)生編織起結(jié)構(gòu)狀的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)思維；有利于教師用系統(tǒng)的思維整體規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容、把握教學(xué)目標(biāo)，使課堂實(shí)現(xiàn)“1+X”精彩生成。

一、深研教材，尋找大單元教學(xué)的源頭

解讀教材時(shí)，梳理出核心數(shù)學(xué)概念，圍繞核心概念一級指標(biāo)建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架。根據(jù)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，將新知識細(xì)分為二級指標(biāo)、三級指標(biāo)等，融合到知識結(jié)構(gòu)框架中，不斷細(xì)化、完善知識結(jié)構(gòu)，形成網(wǎng)狀生長性知識域。在教學(xué)中可以有以下三種關(guān)聯(lián)。

1. 形式上的類比性關(guān)聯(lián)

小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形“面積計(jì)算”系列課在教學(xué)結(jié)構(gòu)上很相似，需要根據(jù)知識形式化關(guān)聯(lián)建立大單元教學(xué)結(jié)構(gòu)，從面積的意義出發(fā)，按長正方形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積、圓面積順序安排教材。圖形面積計(jì)算教學(xué)，都基于“面積”意義的理解上升到數(shù)量的表征，都滲透了“轉(zhuǎn)化”“類比推理”的核心數(shù)學(xué)思想，都以猜想→推導(dǎo)→驗(yàn)證→概括為教學(xué)主線，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維。放眼其他教學(xué)內(nèi)容，用大單元教學(xué)的形式推而廣之，小學(xué)階段很多規(guī)律型的課都可以進(jìn)行遷移運(yùn)用，如體積的計(jì)算、積的變化規(guī)律、商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的性質(zhì)等。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納的全過程，獲得關(guān)于歸納推理的基本經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對規(guī)律性知識探究的結(jié)構(gòu)化遷移。

像這樣，形式上結(jié)構(gòu)化類比關(guān)聯(lián)，以“類”聚合的內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中還有很多。低年級學(xué)習(xí)的“長度計(jì)量單位”，中高年級學(xué)習(xí)的“面積計(jì)量單位”“體積計(jì)量單位”，都體現(xiàn)了“度量”大概念核心教學(xué)思想，教學(xué)形式上都是基于“長度計(jì)量單位”教學(xué)模式作類比遷移。每一個(gè)內(nèi)容都體現(xiàn)了以下結(jié)構(gòu)模式：立標(biāo)準(zhǔn)，定單位→造單位，記個(gè)數(shù)→簡便數(shù)，構(gòu)模型。教學(xué)時(shí)，教師要在長度計(jì)量單位的探究上精耕細(xì)作，繼而推廣到面積計(jì)量單位、體積計(jì)量單位教學(xué)。類似的教學(xué)模式結(jié)構(gòu)是明線，以大概念統(tǒng)整，基于學(xué)生思維邏輯為依據(jù)架構(gòu)共性教學(xué)路徑是核心主線。

2. 內(nèi)容上的本質(zhì)性關(guān)聯(lián)

以小學(xué)階段數(shù)的概念教學(xué)為例，學(xué)生掌握數(shù)的概念的本質(zhì)，包含了三個(gè)層面：不僅指向教學(xué)內(nèi)容，明確“是什么”，單純教學(xué)定義，停留在模仿、記憶層次；還要指向知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出本質(zhì)關(guān)聯(lián)，思考“為什么”，理解關(guān)系；還有后續(xù)生長的過程“怎么樣”，建構(gòu)概念域。

小學(xué)階段數(shù)的概念的教學(xué)主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。在體會數(shù)（shù）源起于數(shù)（shǔ）的共性中凸顯以計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)的思想，理解數(shù)的產(chǎn)生是因需要不斷擴(kuò)展而來，從而類比遷移序列化內(nèi)容教學(xué)的共同之處。例如小數(shù)意義的教學(xué)，以分?jǐn)?shù)和整數(shù)為核心建立廣泛的聯(lián)結(jié)，利用數(shù)軸充分溝通分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。數(shù)軸上猜數(shù)5，將“10”平均分成10份，每份是1，5個(gè)1就是5；數(shù)軸上猜數(shù)0.5，將“1”平均分成10份，每份是0.1，5個(gè)0.1就是0.5。為什么都是平均分成10份，得到的5份卻是不同的數(shù)呢？因?yàn)橛?jì)數(shù)單位不同。在這個(gè)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟，小數(shù)計(jì)數(shù)單位是按照十進(jìn)制不斷均分得到的。用0.1為計(jì)數(shù)單位進(jìn)行數(shù)數(shù)時(shí)，出現(xiàn)0.5和0.6之間無法用一位小數(shù)精確表示的小數(shù)，能激發(fā)學(xué)生探究比0.1更小的計(jì)數(shù)單位，從而產(chǎn)生用兩位小數(shù)進(jìn)行精確度量的需求，理解并結(jié)構(gòu)遷移到三位、四位、五位小數(shù)等?；仡櫿麛?shù)計(jì)數(shù)的“一而十，十而百，百而千，千而萬”，對比小數(shù)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，可利用十進(jìn)制遷移小數(shù)數(shù)系與自然數(shù)數(shù)系的關(guān)系。在建構(gòu)小數(shù)數(shù)系的同時(shí)，將其自然納入以十進(jìn)制為核心概念的數(shù)系知識結(jié)構(gòu)體系中，與自然數(shù)系共同形成更大的具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的知識整體結(jié)構(gòu)（圖1）。

3. 認(rèn)知上的遞進(jìn)性關(guān)聯(lián)

無論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)教學(xué)，用計(jì)數(shù)單位進(jìn)行疊加計(jì)數(shù)，都是數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn)。整數(shù)概念教學(xué)分四個(gè)階段呈遞進(jìn)性關(guān)聯(lián)，如圖2。

20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，重在一一數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)，用小棒、動物、植物、圖形等具體、形象的物品作為重要的學(xué)習(xí)材料；認(rèn)識百以內(nèi)的數(shù)時(shí)，借用具體、半形象的材料數(shù)數(shù)，如帶文字?jǐn)⑹鼋Y(jié)構(gòu)化的立體圖形、小棒、蘋果、小動物，但不再只是可視化的直觀具體材料，抽象水平有所提升；教學(xué)萬以內(nèi)更大數(shù)的認(rèn)識時(shí)，已經(jīng)使用了數(shù)軸、計(jì)數(shù)器、數(shù)位順序表、文字表示等模型、半抽象的結(jié)構(gòu)化材料來讀數(shù)、數(shù)數(shù)；在教學(xué)億以內(nèi)的大數(shù)時(shí)，已完全抽象為用文字描述、數(shù)位順序表、抽象符號（數(shù)字）進(jìn)行數(shù)的讀寫。

二、依托學(xué)情，把握大單元教學(xué)的契機(jī)

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?。早期的運(yùn)算需要強(qiáng)化成直覺記憶，如20以內(nèi)進(jìn)位加和退位減、表內(nèi)乘除法、乘加口算等。從理解算理、算法選擇入手，最終達(dá)到熟練化和自動化，從文本記憶走向工具運(yùn)用。教師基于大單元教學(xué)理念，遵循學(xué)生的認(rèn)知水平，精練學(xué)習(xí)內(nèi)容，彌補(bǔ)認(rèn)知不足，讓教學(xué)更高效。

1. 以少勝多，對應(yīng)難點(diǎn)作精簡剔除

如20以內(nèi)退位減法，共36題，是后續(xù)學(xué)習(xí)其他加減法的基本技能之一。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)進(jìn)行精心剔除，可以實(shí)現(xiàn)教學(xué)事半功倍。利用減數(shù)和差位置交換的先剔除16題，精簡到20題；再剔除有特點(diǎn)的熟悉的1□-9，精簡到12題；減數(shù)等于差（如16-8=8）比較特殊，對于學(xué)生來說也相對簡單，如果進(jìn)一步進(jìn)行精簡剔除，最后重點(diǎn)剩9題（圖3）。通過精練提高口算效率，提升運(yùn)算技能，可以減輕師生負(fù)擔(dān)。

作為高水平的教師，應(yīng)針對學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難節(jié)點(diǎn)做好提前防護(hù)，防患于未然。在學(xué)習(xí)了多位數(shù)筆算乘（除）法后，教師就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然掌握了算理算法，但錯(cuò)誤率卻居高不下。其實(shí)，任何筆算的計(jì)算過程都可以分解成乘加口算。例如計(jì)算359×37，其中就有5×7+6的進(jìn)位心算過程，口算“□×□+□”是筆算乘除法的基礎(chǔ)。但不能等到教了筆算乘除法了再練口算，要提前在二年級教完乘加后，再開始針對難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)訓(xùn)練乘加口算。以“5×7+□”為例，共有9個(gè)算式，但因?yàn)槌藬?shù)是7，后一位最大乘9也只有進(jìn)6，所以多位數(shù)乘法涉及的乘加算式就只有6種可能。在這6種可能中，可以分成兩類：第一類不進(jìn)位（5×7+1，5×7+2，5×7+3，5×7+4）；第二類進(jìn)位（5×7+5，5×7+6）。顯而易見，“5×7+□”的乘加口算根據(jù)后續(xù)學(xué)習(xí)的是否常用，以及是否進(jìn)位的難易度從9題精簡到2題。推而廣之，“□×7+□”包含的81題可以精簡到需要重點(diǎn)練習(xí)的21題，所有的“□×□+□”乘加口算都可以按此方法進(jìn)行精簡剔除，然后進(jìn)行對應(yīng)的強(qiáng)化訓(xùn)練。

基于數(shù)學(xué)教學(xué)的序列性，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的需求，教師適時(shí)補(bǔ)充相應(yīng)的練習(xí)，幫助學(xué)生精簡剔除，可以讓教學(xué)更精準(zhǔn)發(fā)力、更高效生成。

2. 由高往低，對應(yīng)缺陷作漸進(jìn)式彌補(bǔ)

學(xué)生學(xué)習(xí)越到高年級，數(shù)學(xué)知識技能缺陷越難以彌補(bǔ)。這些基礎(chǔ)知識的困難在低年級就已漸露弊端：有些缺陷是因?yàn)榻滩木幣沤Y(jié)構(gòu)造成的認(rèn)知困難；有些是因?yàn)榧寄艿挠?xùn)練沒有針對性。教學(xué)中，教師及時(shí)進(jìn)行漸進(jìn)式的彌補(bǔ)非常重要。

如學(xué)生在學(xué)習(xí)“用7～9乘法口訣求商”前，已經(jīng)能用2～6的乘法口訣求商，但在分析“用7～9乘法口訣求商”的45道前測題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了三類錯(cuò)誤：①用同一句口訣求商的過程中，除數(shù)比商小的除法算式錯(cuò)誤率較高，如16÷2=8比16÷8=2更容易出錯(cuò)；②關(guān)于8的乘法口訣求商，錯(cuò)誤率比7和9的要高等。這些錯(cuò)誤會讓教師反思學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。首先，乘法口訣按“小九九”的方式編排，積比較大的口訣都跟7、8、9這些乘數(shù)比較大的正相關(guān)，如“二八十六”這句口訣是在8的乘法口訣中學(xué)習(xí)的，積16跟8的關(guān)聯(lián)自然要比跟2的關(guān)聯(lián)更大一些。其次，7的口訣是單元教學(xué)修正一段時(shí)間后再學(xué)的，9的口訣是乘法口訣學(xué)習(xí)的最后一個(gè)內(nèi)容，對于學(xué)生的認(rèn)知而言，8的口訣相對不熟練。因此，出現(xiàn)對8的口訣求商最薄弱，是符合學(xué)生的認(rèn)知心理的。對應(yīng)這些缺陷，要提前到乘法口訣教學(xué)時(shí)就做出相應(yīng)的調(diào)整，比如學(xué)習(xí)完了所有的“小九九”編排的乘法口訣后，按大九九乘法表復(fù)習(xí)整理，強(qiáng)化積與兩個(gè)因數(shù)之間的關(guān)聯(lián)；或放緩對8的乘法口訣學(xué)習(xí)進(jìn)程，加強(qiáng)8的乘法口訣練習(xí)等。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中結(jié)構(gòu)知識上的缺陷需要及時(shí)進(jìn)行彌補(bǔ)，或拓展強(qiáng)化。如學(xué)生學(xué)習(xí)了“面積”以后，在計(jì)算圖形的周長與面積時(shí)總是出現(xiàn)混淆，這種缺陷在不同層次的學(xué)生中都普遍存在，縱觀各版本教材，周長和面積一課的教學(xué)，時(shí)間跨度大，學(xué)生認(rèn)知上容易出現(xiàn)斷層，因此常常出現(xiàn)“周長”與“面積”相混淆，而教材并沒有安排“周長”與“面積”整合的辨析課?！爸荛L”與“面積”辨析問題要不要教，什么時(shí)候教，怎么教？對此，在三下認(rèn)識了面積之后教師設(shè)計(jì)了“周長與面積關(guān)系”一課。

課始，教師出示一個(gè)長方形與一個(gè)正方形，讓學(xué)生用藍(lán)筆涂一涂面積，用紅筆描一描周長，然后分別算一算周長和面積。這樣，能讓學(xué)生明確“面積”和“周長”的不同。接著，教師把一個(gè)長方形框架逐漸“擠壓”成平行四邊形，讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“周長相等的圖形面積不相等”，強(qiáng)化對周長和面積意義的理解。隨后，教師設(shè)計(jì)了“在邊長為10厘米的正方形中減去一個(gè)長5厘米、寬4厘米的長方形”，讓學(xué)生自主提問并解答。例如，（1）這個(gè)正方形中有多少個(gè)小長方形？（2）剪去的長方形面積和周長各是多少？（3）剩下的圖形周長和面積各是多少？教師通過開放性問題，讓學(xué)生基于不同的認(rèn)知水平積極投入思考，參與交流，激發(fā)創(chuàng)新思維。接著，教師讓學(xué)生解決第4題（圖4）：（1）下圖中哪個(gè)圖形面積最大？為什么？（2）第一個(gè)和第三個(gè)圖形有什么發(fā)現(xiàn)？問題（1），讓學(xué)生進(jìn)一步理解面積含義；問題（2），讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長不相等面積相等”，與課始的“周長相等面積不相等”形成完整的認(rèn)知，強(qiáng)化對比辨析理解。緊接著，教師趁熱打鐵引入蘇教版教材“解決問題策略”（圖5），引導(dǎo)學(xué)生用列舉法解決問題。

三、跟進(jìn)課堂，探索大單元教學(xué)的方式

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解決生活實(shí)際問題的能力在很大程度上需要依賴自身心理表征的抽象性和結(jié)構(gòu)性，而多元表征能幫助學(xué)生更好地記錄、理解數(shù)學(xué)知識，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)［２］。

1. 以一至多形象理解

同樣的一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生可以用具體實(shí)物、圖形表征、抽象的語言、文字符號等表述，在多元表征中理解相關(guān)的內(nèi)容（表1、圖6）。如“小數(shù)的意義”教學(xué)中，教師讓學(xué)生利用多元表征進(jìn)行學(xué)習(xí)，在循序漸進(jìn)中促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知由淺入深地轉(zhuǎn)化，對“1.76”進(jìn)行的不同理解（如圖7）。

實(shí)物情境： 1元和7個(gè)1角和6個(gè)1分組成1.76元，共176個(gè)1分。

教具模型： 用皮尺直觀演示其中的1.76米。

圖形圖表：

語言：我爸爸的身高是1.76米，1表示1米，再把1米平均分成10份，先涂出7份，再把第8份平均分成10份，涂出其中的6份，就表示0.76，合在一起就是1.76。1.76在1.75和1.77之間。

書寫符號：1+0.7+0.06=1.76（米）

通過多元表征對數(shù)學(xué)概念的意義進(jìn)行深化理解，鞏固提升，類比遷移，并通過多元化學(xué)習(xí)、多樣化交流互動，學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)得以完善和提煉，形成從低層次到高層次的深度理解。

2. 以多至一抽象表征

學(xué)生認(rèn)知表征分動作表征、圖像表征、符號表征三個(gè)不同階段遞進(jìn)上升。前兩個(gè)階段是為了最后的符號表征，抽象理解。

計(jì)算教學(xué)中不僅要關(guān)注順向思維，還要關(guān)注逆向思維，算理與算法之間要進(jìn)行多向聯(lián)系，促進(jìn)圖式與口算的聯(lián)系、圖式與筆算的聯(lián)系、口算與筆算的聯(lián)系等，使學(xué)生真正理解算理。如教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，可以很好地借助直觀手段幫助學(xué)生理解筆算豎式的算理，掌握算法。學(xué)生已經(jīng)會兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算和筆算，他們都有拆一個(gè)兩位數(shù)分開乘這樣的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生面對14×12時(shí)，一般會出現(xiàn)以下兩種作品（圖8）。

教師可以結(jié)合學(xué)生作品進(jìn)行算理解釋和算法溝通，引導(dǎo)學(xué)生在點(diǎn)子圖中圈出自己算式的每一步，一邊圈一邊說（圖9、圖10）。學(xué)生在圈畫中明白拆兩個(gè)因數(shù)，兩兩相乘只是其中的兩個(gè)部分積，還少了兩個(gè)部分積，補(bǔ)齊后發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是：先算10×10=100，4×2=8，10×4=40，10×2=20，再相加。而圖8中的作品1只需要拆一個(gè)因數(shù)，只有兩個(gè)部分積，計(jì)算方便。通過正確與錯(cuò)誤作品的對比，使學(xué)生不斷溝通點(diǎn)子圖與口算的聯(lián)系，明晰正確的拆分方法，再逐步形成正確的算法，最后延伸到筆算?！巴庠诒碚鳌獌?nèi)在表征——認(rèn)知結(jié)構(gòu)——數(shù)學(xué)對象”構(gòu)成的是一個(gè)學(xué)習(xí)循環(huán)的過程，運(yùn)算技能的形成離不開這樣的學(xué)習(xí)循環(huán)抽象過程。

3. 以小悟大拓展思維

以小悟大，即通過題組引導(dǎo)學(xué)生的解題思路，使學(xué)生能夠?qū)⒁呀?jīng)學(xué)過的知識運(yùn)用到解題過程中，并掌握一定的思維技巧，找到題組與知識體系間的最佳聯(lián)合點(diǎn)。

例如在復(fù)習(xí)“小數(shù)的整理與復(fù)習(xí)”一課時(shí)，教師在黑板上寫下“103.2560”，以此引導(dǎo)學(xué)生的拓展思維，并讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)問題如下。

生1：這個(gè)小數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分分別是？以什么為界劃分？

生2：怎樣讀出這個(gè)小數(shù)？

生3：這個(gè)小數(shù)能夠表示生活中的哪些量？

生4：1在（ ?）位，表示1個(gè)（ ?）；2在（ ?）位，表示（ ?）個(gè)（ ?）；6在（ ?）位，表示（ ?）個(gè)（ ?）。

生5：103.2560是由（ ?）個(gè)1和（ ?）個(gè)0.0001組成的。

生6：103.2560中去掉哪些零，能夠保持?jǐn)?shù)量不變？為什么？

生7：如果在小數(shù)后增加單位“米”，則103.2560米表示103（ ?）256（ ?）；其中2表示2（ ?），5表示5（ ?），6表示6（ ?）。

由學(xué)生提出問題，然后解決問題，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也讓學(xué)生理清了知識的來龍去脈，同樣能達(dá)到復(fù)習(xí)單元知識的教學(xué)目的。這種開放問題引發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有的知識、方法去思考，從而形成題組以小悟大，使學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究能力進(jìn)一步增強(qiáng)，并為后續(xù)知識建構(gòu)及拓展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

4. 以點(diǎn)結(jié)塊建構(gòu)體系

教學(xué)中教師應(yīng)立足單元視角將知識結(jié)構(gòu)中以“點(diǎn)狀”形式存在的知識連成“線”，結(jié)成“塊”，使學(xué)生對知識的理解掌握形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，對于面積單位的整理，不僅要讓學(xué)生明白所學(xué)面積單位適用于什么地方，更重要的是厘清面積單位之間的關(guān)系及換算。計(jì)量單位的呈現(xiàn)順序是從小到大逐步累加而來的，相應(yīng)的面積單位對應(yīng)著所學(xué)的長度單位。

師：對于學(xué)過的面積單位，你有什么疑問嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)已經(jīng)學(xué)過的相鄰面積單位之間的進(jìn)率是100，只有平方米與公頃之間的進(jìn)率是10000——很特殊。在換算的時(shí)候容易弄錯(cuò)。

生：平方米與公頃之間是否還存在著另一個(gè)面積單位呢？如果有，把它加進(jìn)來就好記了。

師：有一個(gè)怎樣的面積單位呢？我們可以研究一下。

生：對照面積單位與長度單位的關(guān)系，我發(fā)現(xiàn)：邊長1分米的正方形面積是1平方分米，邊長1米的正方形面積是1平方米，邊長100米的正方形面積是1公頃。以此類推，在平方米與公頃間應(yīng)該有邊長10米的正方形面積的面積單位。

師：有道理，那應(yīng)該叫什么呢？（呈現(xiàn)圖片）邊長10米的正方形面積是100平方米，我們把它叫作公畝。1公頃等于多少公畝呢？

生：100公畝。因?yàn)?公頃等于10000平方米，1公畝等于100平方米，10000里面有100個(gè)100，所以1公頃等于100公畝。

師：公畝是介于平方米與公頃之間的一個(gè)面積單位。只是公畝現(xiàn)在不常用了，如果把公畝放進(jìn)來，我們就發(fā)現(xiàn)：每相鄰的兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率都是100。

教師針對學(xué)生提出的疑問，結(jié)合教材“做一做”適時(shí)引入對“公畝”的研究并介紹有關(guān)“公畝”的知識，讓學(xué)生徹底明白相鄰的面積單位之間的進(jìn)率是100，只是公畝現(xiàn)在不常用而造成公頃與平方米之間的進(jìn)率是10000。

在認(rèn)識“公畝”的同時(shí)，結(jié)合整節(jié)課對“公頃和平方千米”的認(rèn)識，對面積單位作如下的整理（圖11）。

四、優(yōu)化評價(jià)，提升大單元教學(xué)的成效

基于大單元教學(xué)的視角通盤制定規(guī)劃，確定單元模塊內(nèi)容，分課時(shí)確定目標(biāo)，給出詳細(xì)的單元教學(xué)安排與評價(jià)機(jī)制，努力做到教評一致、教有所依、學(xué)有所評，確保單元教學(xué)達(dá)成預(yù)期的成效。

1. 分層制定評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是分層遞進(jìn)的，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是幫助學(xué)生拾級而上提高層次，實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”。數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，以范希爾幾何思維水平層次為依據(jù)，精準(zhǔn)分析教材和學(xué)情，制定目標(biāo)、指定路徑、實(shí)施評價(jià)、分析目標(biāo)達(dá)成（簡圖如圖12）。

根據(jù)學(xué)生幾何思維層次水平，筆者以六上“什么是圓”大單元教學(xué)為例，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)梳理，制定了分層思維水平分析表（表2）。

基于大單元教學(xué)視角，學(xué)生幾何思維水平由水平0循序漸進(jìn)向水平3——形式化演繹邁進(jìn)，教學(xué)內(nèi)容、課時(shí)教學(xué)活動的設(shè)計(jì)、課堂推進(jìn)也由易到難逐步推進(jìn)，幫助學(xué)生整體、系統(tǒng)經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”。

2. 整體制定評價(jià)目標(biāo)

為了精準(zhǔn)分析學(xué)情，筆者團(tuán)隊(duì)對城區(qū)、城郊、鄉(xiāng)鎮(zhèn)、山區(qū)等不同學(xué)校學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)研，從中發(fā)現(xiàn)：約86%的學(xué)生對圓有初步感知，能正確辨認(rèn)出圓心、直徑、半徑等概念，只有9%的學(xué)生對相關(guān)概念能基本準(zhǔn)確地進(jìn)行描述，55%的學(xué)生能舉出生活中圓的具體例子。約55%的學(xué)生在三年級認(rèn)識了圖形的周長，對圓周長的學(xué)習(xí)形成了方法的正遷移，能通過繩子等工具測量圓的周長。約34%的學(xué)生知道圓周長和面積公式，能初步套用公式進(jìn)行正確計(jì)算，思維水平已經(jīng)達(dá)到了水平1，但學(xué)生不理解公式形成的過程，不知其所以然，“轉(zhuǎn)化”“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法存在斷層。約90%的學(xué)生能用分割法、數(shù)格子法算出圓的面積。根據(jù)學(xué)情，筆者基于大單元教學(xué)視角，制定了以下評價(jià)目標(biāo)。

整體層面：

本單元重點(diǎn)是圖形的轉(zhuǎn)化思想和度量思想，讓學(xué)生基于長度的測量將圓的周長和面積解決問題轉(zhuǎn)化成已知圖形來解決。

具體目標(biāo)：

（1）通過觀察、操作，認(rèn)識圓，會用圓規(guī)畫圓。

（2）通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。

（3）經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，在解決圓相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的過程中，提高解決實(shí)際問題的能力。

（4）經(jīng)歷圓周長、面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程，體會和掌握轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學(xué)思想。通過數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動，思維水平達(dá)到非形式化演繹，并向水平3形式化演繹過渡。

（5）通過生活實(shí)例、數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)之美，了解數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)習(xí)興趣。

3. 系統(tǒng)規(guī)劃提升成效

縱觀不同版本教材關(guān)于“圓”的單元教學(xué)內(nèi)容，大致分為三個(gè)板塊內(nèi)容，即“什么是圓”“圓的周長”“圓的面積”。每塊內(nèi)容由新授及練習(xí)組成，圓的面積之后還增加了“圓與正方形”拓展課。基于對教材、學(xué)生學(xué)情的分析，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了系統(tǒng)規(guī)劃整合，分“立”“改”“整”“拓”四個(gè)模塊展開。“立”（什么是圓）——單元開啟課，重點(diǎn)解決“圓一周同長”核心問題，領(lǐng)悟圓的本質(zhì)特征；“改”（圓的周長、圓的面積）——單元生長課，重點(diǎn)解決“周長與直徑之間的關(guān)系”“推導(dǎo)圓的面積公式”核心問題，感受極限思想，發(fā)展幾何推理能力；“整”（整合課）——重點(diǎn)解決“變式應(yīng)用面積公式推導(dǎo)，靈活解決生活問題”核心問題；“拓”（圓與正方形）——重點(diǎn)解決“建立數(shù)學(xué)模型，溝通圓與方的關(guān)系”核心問題，將面積差比拓展到倍比。具體安排如圖13。

4. 內(nèi)外融合檢測評價(jià)

評價(jià)是檢驗(yàn)大單元教學(xué)成效的依據(jù)，應(yīng)充分挖掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，形成思維品質(zhì)，還需要結(jié)合課內(nèi)知識結(jié)構(gòu)和課外拓展材料設(shè)計(jì)出多角度、多層次、全方位思考的練習(xí)，進(jìn)而整合評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

完善知識結(jié)構(gòu)，檢測知識運(yùn)用能力。教師應(yīng)該在學(xué)生初步建立知識結(jié)構(gòu)時(shí)，適時(shí)地進(jìn)行知識方法的檢測，提升綜合運(yùn)用能力。

以圓的面積靈活運(yùn)用（課內(nèi)）片段為例，教師在教學(xué)中著重引導(dǎo)學(xué)生借助正方形的方格估計(jì)圓的面積，體會圓的面積與圓的半徑有關(guān)，是圓的半徑平方的3倍多一些。讓學(xué)生從不同的視角探究圓的面積，更能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，也為面積計(jì)算教學(xué)打開了一扇窗。

因此，筆者覺得在練習(xí)檢測中可以把以下這類題組內(nèi)容融進(jìn)課堂教學(xué)中，后續(xù)的練習(xí)中出現(xiàn)這類相關(guān)的問題就迎刃而解了。學(xué)生會從中感悟前面的“三倍多一些”其實(shí)就是π倍，在無法得到圓的半徑是多少的情況下，可以用a2來代替r2，巧算圓的面積。

例題：圖形面積巧計(jì)算

1. 如圖14，以點(diǎn)O為圓心，正方形OABC的面積是20cm2，求圓的面積。

2. 如圖15，以點(diǎn)O為圓心，三角形OAC的面積是20cm2，求圓的面積。

3. 如圖16，以點(diǎn)O為圓心，等腰直角三角形OAB的面積是30cm2，求圓的面積。

嘗試課外拓展，測試自主學(xué)習(xí)能力。知識方法的運(yùn)用能力體現(xiàn)在生活中的問題解決中，而思維方式更體現(xiàn)在對全新知識的自主學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)該給予學(xué)生這樣的機(jī)會，讓他們?nèi)L試觸碰一些相關(guān)聯(lián)的新知識，體會思維方式的價(jià)值。

例如：破鏡重圓數(shù)學(xué)小研究（課外）片段。圖17是從一個(gè)圓形紙片中撕下來的一部分，你能還原整個(gè)圓嗎？你想到了哪些方法？

學(xué)生靈活運(yùn)用圓的特征從不同角度展開思考：折一折、畫一畫、估一估、拼一拼等，把一個(gè)殘缺的圓變得圓滿了。

參考文獻(xiàn)：

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