劉正松　張文苑　劉艷

摘要：數(shù)學(xué)知識之間存在著普遍的聯(lián)系，其中處于知識領(lǐng)域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置的具有種子作用的核心知識，就是起點型核心知識。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要更科學(xué)、精準(zhǔn)地確定起點型核心知識，嘗試用抽象度分析法來分析知識間的抽象關(guān)系、邏輯關(guān)系，引入量化指標(biāo)，即知識點的“三元指標(biāo)”：相對抽象度、出度、入度。在這一理念指引下，《認(rèn)識二分之一》一課實施，經(jīng)歷了長程設(shè)計，實現(xiàn)了貫通教學(xué)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；起點型核心知識；長程設(shè)計；貫通教學(xué)；分?jǐn)?shù)的意義

劉正松（江蘇省南京市教學(xué)研究室）：剛才，我們一起觀摩了孔令春老師執(zhí)教的《認(rèn)識二分之一》一課。接下來，歡迎各位參加今天的沙龍研討。我們知道，數(shù)學(xué)知識之間存在著普遍的聯(lián)系，其中處于知識領(lǐng)域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置的具有種子作用的核心知識，就是起點型核心知識。當(dāng)然，這只是一種感性的描述，不同的教師會有不同的理解。今天，孔老師以《認(rèn)識二分之一》一課展現(xiàn)了其團(tuán)隊成員對起點型核心知識教學(xué)的實踐與思考。那么，如何更科學(xué)、更精準(zhǔn)地確定起點型核心知識？就以分?jǐn)?shù)的意義的教學(xué)為例，誰能簡單介紹一下？

張文苑（江蘇省南京外國語學(xué)校青奧村小學(xué)）：我來說說我們的方法吧。從2008年開始，我參與小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)的研究，至今已有14年時間了。開始，關(guān)于核心知識怎么判定，大家往往依靠經(jīng)驗，主觀性、隨意性較強；即便同一單元的知識點中，哪些是核心知識，大家常常會有一些爭議。后來，我們團(tuán)隊成員一起研讀了徐利治和鄭毓信兩位教授合著的《數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法》一書，嘗試用抽象度分析法來分析知識間的抽象關(guān)系、邏輯關(guān)系，用量化指標(biāo)來確定核心知識，使得核心知識的遴選從經(jīng)驗走向了科學(xué)。這個量化指標(biāo)就是知識點的“三元指標(biāo)”，即相對抽象度、出度、入度。以“分?jǐn)?shù)的意義”為例，我們把現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“分?jǐn)?shù)”序列知識點梳理出來，將關(guān)聯(lián)的知識點用有向線段連接。從某個知識點發(fā)出的有向線段的總數(shù)，就是它的出度；指向某個知識點的有向線段的總數(shù)，就是它的入度。出度是判斷起點型核心知識的第一標(biāo)準(zhǔn)。在分?jǐn)?shù)知識有向平面圖（見圖1）中，“分?jǐn)?shù)的意義”這一知識點的出度是7（入度是1），其他知識點的出度都小于它，說明它是最基礎(chǔ)的，處于這一知識體系的起點位置，所以我們將它確定為起點型核心知識。

劉正松：謝謝張校長！確實，借助知識有向平面圖，我們可以將隱性的知識結(jié)構(gòu)顯性化，清晰地看到知識的出度、入度，從而精準(zhǔn)確定起點型核心知識。厘清了起點型核心知識之后，如何實施教學(xué)是一線教師更為關(guān)心的問題，也更能彰顯教師的教學(xué)智慧。請大家回顧一下，關(guān)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”這一內(nèi)容，在過往教與學(xué)的過程中存在哪些典型的問題？

劉艷（江蘇省南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心）：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)中，最典型的問題在于，許多學(xué)生在認(rèn)識一個物體的幾分之一時，并沒有真正理解分?jǐn)?shù)的意義，或者說還停留于形式模仿的層面。到了認(rèn)識一個整體的幾分之一時，問題就充分暴露出來：學(xué)生眼里看到的是平均分的總數(shù)和每份的數(shù)量，而對平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)視而不見，頻繁出現(xiàn)諸如“把6個桃平均分成2份，每份是這盤桃的3/6”的差錯。

李丹（江蘇省南京市金陵中學(xué)實驗小學(xué)）：劉老師說的這一點，我深有同感。學(xué)生對“把6個桃平均分成2份，3個桃是它的1/2”一時難以接受。

張文苑：此外，就目前學(xué)生的現(xiàn)實生活而言，他們用到分?jǐn)?shù)的機會比較少，所以，分?jǐn)?shù)的意義一直都是他們學(xué)習(xí)的難點。學(xué)生三年級初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，都是基于具體圖形或物體的，根據(jù)直觀的圖形或物體描述分?jǐn)?shù)的意義相對而言比較簡單；但到了六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘、除法實際問題時，沒有了圖形或物體的支撐，各種各樣的問題就出現(xiàn)了。

趙曉燕（南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）：據(jù)我觀察，教學(xué)中具體到分一個物體的時候，有部分學(xué)生認(rèn)為，如果分的各部分形狀不一樣，就不是平均分。

孔令春（江蘇省南京市金陵中學(xué)實驗小學(xué)）：不僅如此，學(xué)生對“每份”的理解也不夠透徹。很多學(xué)生只知道把一個整體平均分后，左邊涂色的1份是它的幾分之一；對不涂色的1份同樣也是它的幾分之一，思考得比較少。

劉正松：謝謝各位！剛才各位所說的問題都會給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)帶來一些障礙和不必要的負(fù)擔(dān)。今天這節(jié)課恰好在許多地方做了一些突破。請問孔老師：您在設(shè)計這節(jié)課之前預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)是什么？

孔令春：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”分為兩次展開，分別是認(rèn)識“一個物體”和“一些物體組成的一個整體”的幾分之一以及幾分之幾。針對剛才大家說到的教學(xué)中存在的各種問題，我把兩次認(rèn)識進(jìn)行了整合，這節(jié)課主要認(rèn)識12。教學(xué)前，我擬定如下教學(xué)目標(biāo)：一是結(jié)合具體情境初步認(rèn)識12，知道把一個物體或一些物體平均分成2份，每份是它的12；能正確讀、寫12，知道其各部分的名稱。二是經(jīng)歷12意義建構(gòu)的過程，培養(yǎng)觀察、操作、抽象、概括和表達(dá)等能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)感、推理意識以及創(chuàng)新意識。三是感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

劉正松：謝謝孔老師！對照孔老師確定的教學(xué)目標(biāo)和今天的課堂教學(xué)，我們能清晰地感受到起點型核心知識教學(xué)所追求的“長程貫通”的教學(xué)理念。相信在磨課的過程中，大家一定有許多思考，也請大家來聊一聊。

李丹：我先來說說。分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次重要拓展，其內(nèi)涵豐富，需要從多個維度去認(rèn)識。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，在三年級上冊，是把一個物體平均分來初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，在三年級下冊，是把一些物體平均分來進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)；到了五年級下冊，則再次系統(tǒng)地認(rèn)識分?jǐn)?shù)，概括分?jǐn)?shù)的意義，探索分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)?；仡櫡?jǐn)?shù)的認(rèn)識過程，歷經(jīng)3年，確實分散了教學(xué)的難點，但每一次教學(xué)，感覺什么都講了，又感覺什么也沒講好，割裂了分?jǐn)?shù)的認(rèn)識過程。這給學(xué)生造成一種錯覺，那就是每次認(rèn)識的分?jǐn)?shù)又是一種新的情況，不利于學(xué)生從整體上把握分?jǐn)?shù)的意義?；诖耍覀儑L試打破時間和空間上的壁壘，綜合考慮學(xué)生的年齡特點與認(rèn)知規(guī)律，對“分?jǐn)?shù)的意義”這一序列知識的教學(xué)進(jìn)行整體規(guī)劃和長程設(shè)計。首先，將三年級上冊和下冊的兩次認(rèn)識整合為一次，在三年級下冊展開教學(xué)。這次教學(xué)不區(qū)分一個物體和一些物體組成的一個整體這一分?jǐn)?shù)的非本質(zhì)屬性，而引導(dǎo)學(xué)生將目光聚焦于分?jǐn)?shù)意義的核心——“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”。五年級下冊再次認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，也不是簡單地一課時一課時地按照教材編排展開教學(xué)。我們在研讀教材的基礎(chǔ)上，對“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”和“真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)”等四課時內(nèi)容重新規(guī)劃，仍然分為四課時，但這四課時是從不同的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)：第一課時再次經(jīng)歷平均分的過程，從部分與整體的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)；第二課時建立分?jǐn)?shù)和除法之間的聯(lián)系，也就是從商的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)；第三課時通過分?jǐn)?shù)單位的累加，從度量的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)；第四課時經(jīng)歷真實問題的解決過程，從比的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)。這樣一來，學(xué)生可以從整體上把握分?jǐn)?shù)的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘、除法及解決相關(guān)實際問題奠定堅實的基礎(chǔ)。

劉正松：謝謝李主任！數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)絕不是一個個孤立的點，而是前后關(guān)聯(lián)的一個整體。李主任介紹了“分?jǐn)?shù)的意義”這一序列知識內(nèi)容的重構(gòu)：引導(dǎo)學(xué)生分兩個階段，從不同的維度認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義，并形成一個有機的整體。我理解這是對“長程貫通”理念中“長程設(shè)計”的生動解讀，是單元整體教學(xué)設(shè)計的一個典型案例，那么，如何實現(xiàn)“貫通教學(xué)”呢？

劉艷：我來說說?；叵胛覀冊?jīng)聽過的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”的公開課，創(chuàng)設(shè)野餐情境后，從分食物開始，快速地分完4個蘋果和2瓶礦泉水之后，教師就把重點放在1個蛋糕上。學(xué)生憑生活經(jīng)驗可以得到“把1個蛋糕平均分成2份，每人分得半個”這一結(jié)果，發(fā)現(xiàn)“半個”不能用之前學(xué)習(xí)的整數(shù)來表示，進(jìn)而揭示二分之一。在以往的課堂中，分蘋果和礦泉水只是引子，得到“2個”和“1瓶”就謝幕了。其實，分蘋果和礦泉水的過程和分蛋糕是一致的，都是把它們平均分成2份，每人分得其中的1份，每人分得的都是這些食物的二分之一。但這些內(nèi)容原來要到三年級下冊才會學(xué)習(xí)，這給學(xué)生造成一種錯覺——三年級上冊學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的意義和三年級下冊學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的意義是不同的。到了五年級下冊再認(rèn)分?jǐn)?shù)的意義時卻不再區(qū)分，而用單位“1”去統(tǒng)整平均分的對象。這樣勢必給學(xué)生帶來分?jǐn)?shù)的意義前后不一致的感覺，容易讓學(xué)生關(guān)注分的物體。而分?jǐn)?shù)表示“分率”時只和平均分的份數(shù)以及表示這樣的幾份有關(guān)，不需要看分的到底是一個物體還是一個整體。在這節(jié)課上，為了幫助學(xué)生形成一致性的認(rèn)知，孔老師嘗試把三年級上、下冊分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）和（二）打通，淡化對平均分的物體的感知，而突出三次平均分的相同之處，進(jìn)而抽象出不管是把1個蛋糕平均分，還是把4個蘋果、2瓶礦泉水平均分，只要平均分成2份，每份就是總數(shù)的二分之一。這樣的貫通式教學(xué)，很好地凸顯了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，使學(xué)生不再像之前那樣，看到一個物體數(shù)份數(shù)，看到一些物體就數(shù)個數(shù)。今天我們看到的只是第一課時，重點認(rèn)識二分之一，后續(xù)第二課時會延伸到認(rèn)識幾分之一，第三課時認(rèn)識幾分之幾。通過這樣的統(tǒng)整，學(xué)生會對分?jǐn)?shù)的意義形成通透的認(rèn)識。

劉正松：謝謝劉老師的分享。今天，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是基于本質(zhì)的，也就是關(guān)注“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”。其實，之所以有些教師的教學(xué)給學(xué)生負(fù)擔(dān)偏重的感覺，重要的原因之一是我們教給學(xué)生太多的方法，每節(jié)課都有新的知識。如此下來，學(xué)生不堪重負(fù)，逐漸喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。如果能把握知識本質(zhì)進(jìn)行貫通式教學(xué)，凸顯方法的一致性，便能促進(jìn)知識的創(chuàng)生和方法的遷移。這也是核心知識教學(xué)一貫的追求。聊到這兒，我想到一個課堂教學(xué)繞不開的話題，那就是：這樣教學(xué)的效果究竟怎樣？

李丹：在剛剛孔老師的課堂教學(xué)中，學(xué)生把8個正方體平均分成2份，很自然地表示出每份就是它們的二分之一?？梢姡瑢W(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義掌握得很扎實。

劉艷：從今天學(xué)生的發(fā)言中，我們能感受到學(xué)生真正關(guān)注了分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)，也就是“平均分的份數(shù)”和“其中的每一份”。

孔令春：在學(xué)生自己舉的例子中，比如把1條線段、50塊橡皮、100顆糖平均分，可以看出學(xué)生已經(jīng)能夠理解分?jǐn)?shù)的意義，也體會到了平均分對象的廣泛性。

張文苑：一堂課的效果如何，關(guān)鍵要看學(xué)生。從本節(jié)課看，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中興趣濃厚，投入度高，參與度廣，始終處于中心地位。但是，這樣的觀察和評價是定性的，帶有主觀性，量化的客觀評價也應(yīng)參與其中。

劉正松：是的，定性的分析沒有定量的分析客觀。這節(jié)課上課前和上課后，趙曉燕博士收集了大量的數(shù)據(jù)。接下來，請趙博士為我們做精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)分析。

趙曉燕：由教師設(shè)計實施的課堂評價不僅能提供反映教學(xué)效果的證據(jù)，更能幫助教師細(xì)致了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。本次教學(xué)安排前、后測，一方面，旨在揭示學(xué)生對在一節(jié)課中同時從“平均分一個物體”和“平均分一些物體”的角度理解分?jǐn)?shù)的意義的接受程度；另一方面，聚焦回答教師最關(guān)心的疑問，即整體教學(xué)能否減少學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示“平均分一些物體”時只見“個數(shù)”、忽視“份數(shù)”的錯誤。

具體地，由于平均分是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義的基礎(chǔ)，前測8道題檢測學(xué)生對平均分的理解。試題涉及集合模型（如圖2）、長度模型（如圖3）、面積模型（如圖4），需要學(xué)生判斷所給圖形是否為平均分;如果是平均分，再填寫平均分成多少份。針對面積模型，特別設(shè)置了各份大小相等但形狀不同的情況，檢測學(xué)生對平均分的理解水平。

后測試題以判斷小明作業(yè)紙中的3道題的形式給出，具體內(nèi)容如下：

小明做了一組題目，圖5是他的作業(yè)紙。他做得正確嗎？請你判斷并說明理由。

所涉及的分?jǐn)?shù)由課上學(xué)習(xí)的“二分之一”擴(kuò)展至“幾分之一”，從遷移的視角側(cè)面反映學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識。此外，其中2道題為集合模型，是希望和前測試題建立關(guān)聯(lián)（對應(yīng)關(guān)系如圖6所示），以便更好地觀察用分?jǐn)?shù)表示“一些物體的平均分”時，多少學(xué)生會產(chǎn)生哪些困惑。

參與本次測試的學(xué)生分別來自10個班級，其中4個班級（155人）按照蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排，上完三年級上冊和三年級下冊第一課時，另外6個班級（235人）由孔令春老師按照今天的設(shè)計展開教學(xué)。在日常教學(xué)中，我們通常根據(jù)題目的正確率獲取信息作出判斷，這里也先根據(jù)平均正確率進(jìn)行分析?！霸虒W(xué)組”和“整體教學(xué)組”前、后測題目平均正確率見表1。根據(jù)前測數(shù)據(jù)，“原教學(xué)組”和“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)基本相當(dāng)，但涉及集合模型的前測第2和第5題差異較大，還需具體到學(xué)生水平深入分析；根據(jù)后測數(shù)據(jù)，“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)更好。對比前、后測關(guān)聯(lián)的兩組題目， 由前測第2題和后測第1題的數(shù)據(jù)可知，“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)更好；由前測第5題和后測第3題的數(shù)據(jù)可知，“原教學(xué)組”和“整體教學(xué)組”都出現(xiàn)了更高的錯誤率，但“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)更好。當(dāng)然，兩組學(xué)生的表現(xiàn)差異是否具有統(tǒng)計學(xué)意義還需進(jìn)一步分析。初步判斷，我們可以看到學(xué)生可以很好地在一節(jié)課中同時從“平均分一個物體”和“平均分一些物體”的角度來理解分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生整體學(xué)習(xí)二分之一后能夠較自然地遷移到對其他分?jǐn)?shù)單位的理解。

孔令春：我也參與了數(shù)據(jù)的收集和整理工作。在統(tǒng)計后測第3題時，發(fā)現(xiàn)“整體教學(xué)組”有部分學(xué)生解釋：“雖然有2個梨涂色，但是把8個梨平均分成4份，涂色部分是這樣的1份，所以涂色部分是總數(shù)的14。”可見，學(xué)生在分析問題的過程中既關(guān)注了“個數(shù)”，更突出了“份數(shù)”。

劉正松：謝謝趙博士專業(yè)的數(shù)據(jù)分析，給我們的研究又增添了一份底氣;也謝謝孔老師精彩的課堂教學(xué)，讓我們看到了分?jǐn)?shù)認(rèn)識教學(xué)的另一種可能。我們推崇的起點型核心知識教學(xué)只是一個載體，其終極目標(biāo)是人的發(fā)展。這里的人，既包括每一位學(xué)生，也包括每一位老師。我相信，在這樣的研究過程中，我們的老師和學(xué)生可以實現(xiàn)共同成長。最后，我用一句話結(jié)束今天的沙龍，也和所有參與研究的老師共勉：道阻且長，行則將至；行而不輟，未來可期。謝謝！