劉正松　張文苑　劉艷

摘要：數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著普遍的聯(lián)系，其中處于知識(shí)領(lǐng)域、知識(shí)序列、知識(shí)段落或知識(shí)單元起點(diǎn)位置的具有種子作用的核心知識(shí)，就是起點(diǎn)型核心知識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要更科學(xué)、精準(zhǔn)地確定起點(diǎn)型核心知識(shí)，嘗試用抽象度分析法來(lái)分析知識(shí)間的抽象關(guān)系、邏輯關(guān)系，引入量化指標(biāo)，即知識(shí)點(diǎn)的“三元指標(biāo)”：相對(duì)抽象度、出度、入度。在這一理念指引下，《認(rèn)識(shí)二分之一》一課實(shí)施，經(jīng)歷了長(zhǎng)程設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了貫通教學(xué)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；起點(diǎn)型核心知識(shí)；長(zhǎng)程設(shè)計(jì)；貫通教學(xué)；分?jǐn)?shù)的意義

劉正松（江蘇省南京市教學(xué)研究室）：剛才，我們一起觀摩了孔令春老師執(zhí)教的《認(rèn)識(shí)二分之一》一課。接下來(lái)，歡迎各位參加今天的沙龍研討。我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著普遍的聯(lián)系，其中處于知識(shí)領(lǐng)域、知識(shí)序列、知識(shí)段落或知識(shí)單元起點(diǎn)位置的具有種子作用的核心知識(shí)，就是起點(diǎn)型核心知識(shí)。當(dāng)然，這只是一種感性的描述，不同的教師會(huì)有不同的理解。今天，孔老師以《認(rèn)識(shí)二分之一》一課展現(xiàn)了其團(tuán)隊(duì)成員對(duì)起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)的實(shí)踐與思考。那么，如何更科學(xué)、更精準(zhǔn)地確定起點(diǎn)型核心知識(shí)？就以分?jǐn)?shù)的意義的教學(xué)為例，誰(shuí)能簡(jiǎn)單介紹一下？

張文苑（江蘇省南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校青奧村小學(xué)）：我來(lái)說(shuō)說(shuō)我們的方法吧。從2008年開(kāi)始，我參與小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)教學(xué)的研究，至今已有14年時(shí)間了。開(kāi)始，關(guān)于核心知識(shí)怎么判定，大家往往依靠經(jīng)驗(yàn)，主觀性、隨意性較強(qiáng)；即便同一單元的知識(shí)點(diǎn)中，哪些是核心知識(shí)，大家常常會(huì)有一些爭(zhēng)議。后來(lái)，我們團(tuán)隊(duì)成員一起研讀了徐利治和鄭毓信兩位教授合著的《數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法》一書(shū)，嘗試用抽象度分析法來(lái)分析知識(shí)間的抽象關(guān)系、邏輯關(guān)系，用量化指標(biāo)來(lái)確定核心知識(shí)，使得核心知識(shí)的遴選從經(jīng)驗(yàn)走向了科學(xué)。這個(gè)量化指標(biāo)就是知識(shí)點(diǎn)的“三元指標(biāo)”，即相對(duì)抽象度、出度、入度。以“分?jǐn)?shù)的意義”為例，我們把現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“分?jǐn)?shù)”序列知識(shí)點(diǎn)梳理出來(lái)，將關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)用有向線段連接。從某個(gè)知識(shí)點(diǎn)發(fā)出的有向線段的總數(shù)，就是它的出度；指向某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的有向線段的總數(shù)，就是它的入度。出度是判斷起點(diǎn)型核心知識(shí)的第一標(biāo)準(zhǔn)。在分?jǐn)?shù)知識(shí)有向平面圖（見(jiàn)圖1）中，“分?jǐn)?shù)的意義”這一知識(shí)點(diǎn)的出度是7（入度是1），其他知識(shí)點(diǎn)的出度都小于它，說(shuō)明它是最基礎(chǔ)的，處于這一知識(shí)體系的起點(diǎn)位置，所以我們將它確定為起點(diǎn)型核心知識(shí)。

劉正松：謝謝張校長(zhǎng)！確實(shí)，借助知識(shí)有向平面圖，我們可以將隱性的知識(shí)結(jié)構(gòu)顯性化，清晰地看到知識(shí)的出度、入度，從而精準(zhǔn)確定起點(diǎn)型核心知識(shí)。厘清了起點(diǎn)型核心知識(shí)之后，如何實(shí)施教學(xué)是一線教師更為關(guān)心的問(wèn)題，也更能彰顯教師的教學(xué)智慧。請(qǐng)大家回顧一下，關(guān)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容，在過(guò)往教與學(xué)的過(guò)程中存在哪些典型的問(wèn)題？

劉艷（江蘇省南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心）：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，最典型的問(wèn)題在于，許多學(xué)生在認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一時(shí)，并沒(méi)有真正理解分?jǐn)?shù)的意義，或者說(shuō)還停留于形式模仿的層面。到了認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一時(shí)，問(wèn)題就充分暴露出來(lái)：學(xué)生眼里看到的是平均分的總數(shù)和每份的數(shù)量，而對(duì)平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)視而不見(jiàn)，頻繁出現(xiàn)諸如“把6個(gè)桃平均分成2份，每份是這盤(pán)桃的3/6”的差錯(cuò)。

李丹（江蘇省南京市金陵中學(xué)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）：劉老師說(shuō)的這一點(diǎn)，我深有同感。學(xué)生對(duì)“把6個(gè)桃平均分成2份，3個(gè)桃是它的1/2”一時(shí)難以接受。

張文苑：此外，就目前學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活而言，他們用到分?jǐn)?shù)的機(jī)會(huì)比較少，所以，分?jǐn)?shù)的意義一直都是他們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。學(xué)生三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，都是基于具體圖形或物體的，根據(jù)直觀的圖形或物體描述分?jǐn)?shù)的意義相對(duì)而言比較簡(jiǎn)單；但到了六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘、除法實(shí)際問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有了圖形或物體的支撐，各種各樣的問(wèn)題就出現(xiàn)了。

趙曉燕（南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）：據(jù)我觀察，教學(xué)中具體到分一個(gè)物體的時(shí)候，有部分學(xué)生認(rèn)為，如果分的各部分形狀不一樣，就不是平均分。

孔令春（江蘇省南京市金陵中學(xué)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）：不僅如此，學(xué)生對(duì)“每份”的理解也不夠透徹。很多學(xué)生只知道把一個(gè)整體平均分后，左邊涂色的1份是它的幾分之一；對(duì)不涂色的1份同樣也是它的幾分之一，思考得比較少。

劉正松：謝謝各位！剛才各位所說(shuō)的問(wèn)題都會(huì)給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)帶來(lái)一些障礙和不必要的負(fù)擔(dān)。今天這節(jié)課恰好在許多地方做了一些突破。請(qǐng)問(wèn)孔老師：您在設(shè)計(jì)這節(jié)課之前預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)是什么？

孔令春：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”分為兩次展開(kāi)，分別是認(rèn)識(shí)“一個(gè)物體”和“一些物體組成的一個(gè)整體”的幾分之一以及幾分之幾。針對(duì)剛才大家說(shuō)到的教學(xué)中存在的各種問(wèn)題，我把兩次認(rèn)識(shí)進(jìn)行了整合，這節(jié)課主要認(rèn)識(shí)12。教學(xué)前，我擬定如下教學(xué)目標(biāo)：一是結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)12，知道把一個(gè)物體或一些物體平均分成2份，每份是它的12；能正確讀、寫(xiě)12，知道其各部分的名稱。二是經(jīng)歷12意義建構(gòu)的過(guò)程，培養(yǎng)觀察、操作、抽象、概括和表達(dá)等能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)感、推理意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)。三是感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

劉正松：謝謝孔老師！對(duì)照孔老師確定的教學(xué)目標(biāo)和今天的課堂教學(xué)，我們能清晰地感受到起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)所追求的“長(zhǎng)程貫通”的教學(xué)理念。相信在磨課的過(guò)程中，大家一定有許多思考，也請(qǐng)大家來(lái)聊一聊。

李丹：我先來(lái)說(shuō)說(shuō)。分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次重要拓展，其內(nèi)涵豐富，需要從多個(gè)維度去認(rèn)識(shí)。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，在三年級(jí)上冊(cè)，是把一個(gè)物體平均分來(lái)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，在三年級(jí)下冊(cè)，是把一些物體平均分來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；到了五年級(jí)下冊(cè)，則再次系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，概括分?jǐn)?shù)的意義，探索分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)?；仡櫡?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，歷經(jīng)3年，確實(shí)分散了教學(xué)的難點(diǎn)，但每一次教學(xué)，感覺(jué)什么都講了，又感覺(jué)什么也沒(méi)講好，割裂了分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。這給學(xué)生造成一種錯(cuò)覺(jué)，那就是每次認(rèn)識(shí)的分?jǐn)?shù)又是一種新的情況，不利于學(xué)生從整體上把握分?jǐn)?shù)的意義?；诖?，我們嘗試打破時(shí)間和空間上的壁壘，綜合考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律，對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”這一序列知識(shí)的教學(xué)進(jìn)行整體規(guī)劃和長(zhǎng)程設(shè)計(jì)。首先，將三年級(jí)上冊(cè)和下冊(cè)的兩次認(rèn)識(shí)整合為一次，在三年級(jí)下冊(cè)展開(kāi)教學(xué)。這次教學(xué)不區(qū)分一個(gè)物體和一些物體組成的一個(gè)整體這一分?jǐn)?shù)的非本質(zhì)屬性，而引導(dǎo)學(xué)生將目光聚焦于分?jǐn)?shù)意義的核心——“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”。五年級(jí)下冊(cè)再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，也不是簡(jiǎn)單地一課時(shí)一課時(shí)地按照教材編排展開(kāi)教學(xué)。我們?cè)谘凶x教材的基礎(chǔ)上，對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”和“真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)”等四課時(shí)內(nèi)容重新規(guī)劃，仍然分為四課時(shí)，但這四課時(shí)是從不同的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)：第一課時(shí)再次經(jīng)歷平均分的過(guò)程，從部分與整體的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)；第二課時(shí)建立分?jǐn)?shù)和除法之間的聯(lián)系，也就是從商的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)；第三課時(shí)通過(guò)分?jǐn)?shù)單位的累加，從度量的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)；第四課時(shí)經(jīng)歷真實(shí)問(wèn)題的解決過(guò)程，從比的視角再認(rèn)分?jǐn)?shù)。這樣一來(lái)，學(xué)生可以從整體上把握分?jǐn)?shù)的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘、除法及解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

劉正松：謝謝李主任！數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)絕不是一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)，而是前后關(guān)聯(lián)的一個(gè)整體。李主任介紹了“分?jǐn)?shù)的意義”這一序列知識(shí)內(nèi)容的重構(gòu)：引導(dǎo)學(xué)生分兩個(gè)階段，從不同的維度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義，并形成一個(gè)有機(jī)的整體。我理解這是對(duì)“長(zhǎng)程貫通”理念中“長(zhǎng)程設(shè)計(jì)”的生動(dòng)解讀，是單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)典型案例，那么，如何實(shí)現(xiàn)“貫通教學(xué)”呢？

劉艷：我來(lái)說(shuō)說(shuō)。回想我們?cè)?jīng)聽(tīng)過(guò)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”的公開(kāi)課，創(chuàng)設(shè)野餐情境后，從分食物開(kāi)始，快速地分完4個(gè)蘋(píng)果和2瓶礦泉水之后，教師就把重點(diǎn)放在1個(gè)蛋糕上。學(xué)生憑生活經(jīng)驗(yàn)可以得到“把1個(gè)蛋糕平均分成2份，每人分得半個(gè)”這一結(jié)果，發(fā)現(xiàn)“半個(gè)”不能用之前學(xué)習(xí)的整數(shù)來(lái)表示，進(jìn)而揭示二分之一。在以往的課堂中，分蘋(píng)果和礦泉水只是引子，得到“2個(gè)”和“1瓶”就謝幕了。其實(shí)，分蘋(píng)果和礦泉水的過(guò)程和分蛋糕是一致的，都是把它們平均分成2份，每人分得其中的1份，每人分得的都是這些食物的二分之一。但這些內(nèi)容原來(lái)要到三年級(jí)下冊(cè)才會(huì)學(xué)習(xí)，這給學(xué)生造成一種錯(cuò)覺(jué)——三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的意義和三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的意義是不同的。到了五年級(jí)下冊(cè)再認(rèn)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)卻不再區(qū)分，而用單位“1”去統(tǒng)整平均分的對(duì)象。這樣勢(shì)必給學(xué)生帶來(lái)分?jǐn)?shù)的意義前后不一致的感覺(jué)，容易讓學(xué)生關(guān)注分的物體。而分?jǐn)?shù)表示“分率”時(shí)只和平均分的份數(shù)以及表示這樣的幾份有關(guān)，不需要看分的到底是一個(gè)物體還是一個(gè)整體。在這節(jié)課上，為了幫助學(xué)生形成一致性的認(rèn)知，孔老師嘗試把三年級(jí)上、下冊(cè)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）和（二）打通，淡化對(duì)平均分的物體的感知，而突出三次平均分的相同之處，進(jìn)而抽象出不管是把1個(gè)蛋糕平均分，還是把4個(gè)蘋(píng)果、2瓶礦泉水平均分，只要平均分成2份，每份就是總數(shù)的二分之一。這樣的貫通式教學(xué)，很好地凸顯了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，使學(xué)生不再像之前那樣，看到一個(gè)物體數(shù)份數(shù)，看到一些物體就數(shù)個(gè)數(shù)。今天我們看到的只是第一課時(shí)，重點(diǎn)認(rèn)識(shí)二分之一，后續(xù)第二課時(shí)會(huì)延伸到認(rèn)識(shí)幾分之一，第三課時(shí)認(rèn)識(shí)幾分之幾。通過(guò)這樣的統(tǒng)整，學(xué)生會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)的意義形成通透的認(rèn)識(shí)。

劉正松：謝謝劉老師的分享。今天，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是基于本質(zhì)的，也就是關(guān)注“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”。其實(shí)，之所以有些教師的教學(xué)給學(xué)生負(fù)擔(dān)偏重的感覺(jué)，重要的原因之一是我們教給學(xué)生太多的方法，每節(jié)課都有新的知識(shí)。如此下來(lái)，學(xué)生不堪重負(fù)，逐漸喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。如果能把握知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行貫通式教學(xué)，凸顯方法的一致性，便能促進(jìn)知識(shí)的創(chuàng)生和方法的遷移。這也是核心知識(shí)教學(xué)一貫的追求。聊到這兒，我想到一個(gè)課堂教學(xué)繞不開(kāi)的話題，那就是：這樣教學(xué)的效果究竟怎樣？

李丹：在剛剛孔老師的課堂教學(xué)中，學(xué)生把8個(gè)正方體平均分成2份，很自然地表示出每份就是它們的二分之一?？梢?jiàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義掌握得很扎實(shí)。

劉艷：從今天學(xué)生的發(fā)言中，我們能感受到學(xué)生真正關(guān)注了分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)，也就是“平均分的份數(shù)”和“其中的每一份”。

孔令春：在學(xué)生自己舉的例子中，比如把1條線段、50塊橡皮、100顆糖平均分，可以看出學(xué)生已經(jīng)能夠理解分?jǐn)?shù)的意義，也體會(huì)到了平均分對(duì)象的廣泛性。

張文苑：一堂課的效果如何，關(guān)鍵要看學(xué)生。從本節(jié)課看，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中興趣濃厚，投入度高，參與度廣，始終處于中心地位。但是，這樣的觀察和評(píng)價(jià)是定性的，帶有主觀性，量化的客觀評(píng)價(jià)也應(yīng)參與其中。

劉正松：是的，定性的分析沒(méi)有定量的分析客觀。這節(jié)課上課前和上課后，趙曉燕博士收集了大量的數(shù)據(jù)。接下來(lái)，請(qǐng)趙博士為我們做精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)分析。

趙曉燕：由教師設(shè)計(jì)實(shí)施的課堂評(píng)價(jià)不僅能提供反映教學(xué)效果的證據(jù)，更能幫助教師細(xì)致了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。本次教學(xué)安排前、后測(cè)，一方面，旨在揭示學(xué)生對(duì)在一節(jié)課中同時(shí)從“平均分一個(gè)物體”和“平均分一些物體”的角度理解分?jǐn)?shù)的意義的接受程度；另一方面，聚焦回答教師最關(guān)心的疑問(wèn)，即整體教學(xué)能否減少學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示“平均分一些物體”時(shí)只見(jiàn)“個(gè)數(shù)”、忽視“份數(shù)”的錯(cuò)誤。

具體地，由于平均分是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義的基礎(chǔ)，前測(cè)8道題檢測(cè)學(xué)生對(duì)平均分的理解。試題涉及集合模型（如圖2）、長(zhǎng)度模型（如圖3）、面積模型（如圖4），需要學(xué)生判斷所給圖形是否為平均分;如果是平均分，再填寫(xiě)平均分成多少份。針對(duì)面積模型，特別設(shè)置了各份大小相等但形狀不同的情況，檢測(cè)學(xué)生對(duì)平均分的理解水平。

后測(cè)試題以判斷小明作業(yè)紙中的3道題的形式給出，具體內(nèi)容如下：

小明做了一組題目，圖5是他的作業(yè)紙。他做得正確嗎？請(qǐng)你判斷并說(shuō)明理由。

所涉及的分?jǐn)?shù)由課上學(xué)習(xí)的“二分之一”擴(kuò)展至“幾分之一”，從遷移的視角側(cè)面反映學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)。此外，其中2道題為集合模型，是希望和前測(cè)試題建立關(guān)聯(lián)（對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖6所示），以便更好地觀察用分?jǐn)?shù)表示“一些物體的平均分”時(shí)，多少學(xué)生會(huì)產(chǎn)生哪些困惑。

參與本次測(cè)試的學(xué)生分別來(lái)自10個(gè)班級(jí)，其中4個(gè)班級(jí)（155人）按照蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排，上完三年級(jí)上冊(cè)和三年級(jí)下冊(cè)第一課時(shí)，另外6個(gè)班級(jí)（235人）由孔令春老師按照今天的設(shè)計(jì)展開(kāi)教學(xué)。在日常教學(xué)中，我們通常根據(jù)題目的正確率獲取信息作出判斷，這里也先根據(jù)平均正確率進(jìn)行分析。“原教學(xué)組”和“整體教學(xué)組”前、后測(cè)題目平均正確率見(jiàn)表1。根據(jù)前測(cè)數(shù)據(jù)，“原教學(xué)組”和“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)基本相當(dāng)，但涉及集合模型的前測(cè)第2和第5題差異較大，還需具體到學(xué)生水平深入分析；根據(jù)后測(cè)數(shù)據(jù)，“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)更好。對(duì)比前、后測(cè)關(guān)聯(lián)的兩組題目， 由前測(cè)第2題和后測(cè)第1題的數(shù)據(jù)可知，“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)更好；由前測(cè)第5題和后測(cè)第3題的數(shù)據(jù)可知，“原教學(xué)組”和“整體教學(xué)組”都出現(xiàn)了更高的錯(cuò)誤率，但“整體教學(xué)組”的表現(xiàn)更好。當(dāng)然，兩組學(xué)生的表現(xiàn)差異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義還需進(jìn)一步分析。初步判斷，我們可以看到學(xué)生可以很好地在一節(jié)課中同時(shí)從“平均分一個(gè)物體”和“平均分一些物體”的角度來(lái)理解分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生整體學(xué)習(xí)二分之一后能夠較自然地遷移到對(duì)其他分?jǐn)?shù)單位的理解。

孔令春：我也參與了數(shù)據(jù)的收集和整理工作。在統(tǒng)計(jì)后測(cè)第3題時(shí)，發(fā)現(xiàn)“整體教學(xué)組”有部分學(xué)生解釋：“雖然有2個(gè)梨涂色，但是把8個(gè)梨平均分成4份，涂色部分是這樣的1份，所以涂色部分是總數(shù)的14?！笨梢?jiàn)，學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中既關(guān)注了“個(gè)數(shù)”，更突出了“份數(shù)”。

劉正松：謝謝趙博士專業(yè)的數(shù)據(jù)分析，給我們的研究又增添了一份底氣;也謝謝孔老師精彩的課堂教學(xué)，讓我們看到了分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)教學(xué)的另一種可能。我們推崇的起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)只是一個(gè)載體，其終極目標(biāo)是人的發(fā)展。這里的人，既包括每一位學(xué)生，也包括每一位老師。我相信，在這樣的研究過(guò)程中，我們的老師和學(xué)生可以實(shí)現(xiàn)共同成長(zhǎng)。最后，我用一句話結(jié)束今天的沙龍，也和所有參與研究的老師共勉：道阻且長(zhǎng)，行則將至；行而不輟，未來(lái)可期。謝謝！