鄭國良

幾何直觀是研究數(shù)學(xué)的重要思想方法，而數(shù)學(xué)建模是一種通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的、有效的數(shù)學(xué)手段。它有助于學(xué)習(xí)者多渠道獲取知識，培養(yǎng)抽象思維、立體思維和空間想象力，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)策略。

一、問題的提出

數(shù)學(xué)建模在實(shí)際教學(xué)應(yīng)用中往往存在以下問題：

（一）教師對建模價值認(rèn)識淡薄

很多數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時，教學(xué)思路局限在“知識與技能”維度上，單純地為學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識而設(shè)計(jì)，從鋪墊到新課再到練習(xí)，沒有借助生活情境作為支撐和背景。雖然教學(xué)設(shè)計(jì)中也有一些過程設(shè)計(jì)，但其過程設(shè)計(jì)更多體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識的演化，忽略了數(shù)學(xué)建模意識和建模思想。

例如：在低段解決“比多比少”的問題時，學(xué)生出示問題：“小明有12張郵票，比小紅多5張，小紅有多少張郵票？”然而，出現(xiàn)正確率很低的現(xiàn)象，是因?yàn)閷W(xué)生將其與“小明有12張郵票，小紅比小明多5張，小紅有多少張郵票”這一數(shù)量關(guān)系混淆了，教師在解決“比多比少”問題時潛意識地讓學(xué)生形成看到“多”用“加”，看到“少”用“減”的捷徑方法。這樣的解題方法拋棄了建模的過程，主觀上抹殺了學(xué)生正確分析數(shù)量關(guān)系的過程。

（二）學(xué)生應(yīng)用模型意識差

學(xué)生的學(xué)習(xí)探究、合作拘泥于形式，缺少必要的數(shù)學(xué)模型意識和應(yīng)用模型意識，很少將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式與建模聯(lián)系起來，僅僅是單純的數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，沒有“建模”和“用?！钡暮圹E。

例如：在教學(xué)乘法分配律時教師講解得很生動，可是學(xué)生一碰到簡便計(jì)算時易錯誤百出，最常見的是與“乘法結(jié)合律”相混淆。其主要原因是：第一，學(xué)生對乘法分配律的理解只停留在運(yùn)算概念的表象中，沒有歸入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；第二，對乘法分配律缺乏直觀體驗(yàn)。

（三）測試評價內(nèi)容單一

教學(xué)日常測試卷更多時候是局限于應(yīng)用規(guī)律和公式來解決生活問題，是對學(xué)生知識技能的掌握考評，是以知識的深度作為“難題”來衡量數(shù)學(xué)是否學(xué)好的標(biāo)準(zhǔn)。而對培養(yǎng)學(xué)生建模意識、檢測學(xué)生建模能力為目的的數(shù)學(xué)問題的解決是少之又少，這樣的評價內(nèi)容和手段是有偏頗的，這樣的試題對日常教學(xué)以及教師觀念的轉(zhuǎn)變有很強(qiáng)的導(dǎo)向作用。

二、研究的過程和方法

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，它在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)思維能力、建立模型思想等方面都有重要的作用，教師應(yīng)在教學(xué)中使學(xué)生借助幾何直觀經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)是“講道理”的學(xué)科，而不是靠“背公式”“記方法”就能學(xué)好的學(xué)科。

（一）借“線”建模，形成體系

1.關(guān)注數(shù)軸，發(fā)展數(shù)感。數(shù)軸不僅將抽象的“數(shù)”直觀形象化，而且有助于理解不同的數(shù)、數(shù)的運(yùn)算，數(shù)軸在一二年級頻繁出現(xiàn)，然后貫穿小學(xué)六年。

例如：在一年級中為了讓學(xué)生建立數(shù)序、數(shù)的大小的表象，就借助“數(shù)軸”填數(shù)這個幾何直觀的模型，幫助學(xué)生形成數(shù)的大小表象，比較出數(shù)字與數(shù)字之間的距離。

數(shù)軸在理解正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義，大小、相差大小等方面也是發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。數(shù)軸以0為分界線，0的左邊是負(fù)數(shù)，比0小，0的右邊是正數(shù)，比0大。如果要比較兩個正數(shù)與負(fù)數(shù)之間相差多少在數(shù)軸上數(shù)一數(shù)就一目了然了，簡單、直觀地讓學(xué)生發(fā)展了數(shù)感。

“數(shù)軸”模型在小學(xué)階段不斷出現(xiàn)，主要是讓學(xué)生認(rèn)識到幾何直觀模型的重要性，不斷積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。

2.利用線段圖，破除難點(diǎn)。線段圖在解決數(shù)學(xué)問題中起到了關(guān)鍵性的作用，學(xué)生通過繪制線段圖，可以理清數(shù)量關(guān)系，抓住本質(zhì)所在，真正建立解決此類問題的模型。在小學(xué)階段中解決“比多比少”的數(shù)學(xué)問題是以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)中相關(guān)應(yīng)用題的基礎(chǔ)，所以必須在低段就要引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖來理解數(shù)學(xué)問題。例如：

借助線段圖，在不斷地繪制中真正理解此類應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，在腦海中建立解決此類數(shù)學(xué)問題方法的模型。

（二）借“圖”建模，呈現(xiàn)過程

1.繪制“示意圖”，深層建構(gòu)算理。在代數(shù)領(lǐng)域，學(xué)生掌握了計(jì)算方法，但對算理的理解經(jīng)常停留在“知其然而不知其所以然”，數(shù)學(xué)教學(xué)中很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化成直觀圖形來思考，形象直觀地描述常常會有很好的效果，能幫助學(xué)生對知識進(jìn)行深層建構(gòu)，加深對算理的理解。

例如：在教學(xué)? +? +? +? =？，由于數(shù)字不大，很多學(xué)生會選擇先進(jìn)行通分，化成同分母分?jǐn)?shù)后再直接相加，如果讓學(xué)生用簡便方法計(jì)算，學(xué)生就不知道方法了，為了讓學(xué)生能更清楚明白算理，教學(xué)時采用畫示意圖，在圖中學(xué)生能清楚看到4個分?jǐn)?shù)相加的和就是陰影部分總和，因?yàn)榭瞻撞糠质? ，所以陰影部分的和就是? 。

2.繪制“過程圖”，豐富建構(gòu)過程?！斑^程圖”其實(shí)就是“思維導(dǎo)圖”。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是要讓學(xué)生的思維在比較中逐步走向深刻，經(jīng)歷抽象數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，更重要的是滲透在學(xué)習(xí)過程中的諸如列表、畫圖等的思維導(dǎo)圖讓學(xué)生的模型思想進(jìn)行有效建構(gòu)。

例如：在教學(xué)《沏茶問題》時，教材凸顯了課程標(biāo)準(zhǔn)中要求讓學(xué)生通過“經(jīng)歷”和“體驗(yàn)”數(shù)學(xué)思想和模型建構(gòu)的形成過程，以學(xué)生能在家做點(diǎn)家務(wù)的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過繪制思維導(dǎo)圖來感受工作的有序、合理安排。

3.利用“方格圖”，建構(gòu)空間模型。在平面圖形教學(xué)中，如果用好“方格圖”就可以有效地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的建立。在平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，一般先出現(xiàn)方格圖，讓學(xué)生用數(shù)方格的方法計(jì)算面積，然后通過引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的底和高的數(shù)據(jù)與面積之間的關(guān)系，借助方格圖探究未知圖形與已知圖形面積關(guān)系的本質(zhì)，建構(gòu)面積計(jì)算的模型。

在教學(xué)《平行四邊形面積》，教師讓學(xué)生在方格圖中數(shù)一數(shù)一共有多少格，面積是多少？（每一個小格是1平方米，不滿1格按半格算）

學(xué)生通過數(shù)、割、移、補(bǔ)等方法數(shù)出平行四邊形面積。

在轉(zhuǎn)化過程中，教師剛好可以順勢引導(dǎo)平行四邊形的底和高與長方形長和寬的關(guān)系，由此得出平行四邊形面積計(jì)算方法也是水到渠成。學(xué)生經(jīng)歷探究過程，計(jì)算方法模型也就在學(xué)生腦海中深深地打上了烙印。

三、結(jié)束語

基于幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生建模的能力，既是過程，又是結(jié)果，具有動態(tài)性、模型性的特點(diǎn)。利用幾何直觀能讓學(xué)生將直觀的圖形語言和抽象的數(shù)學(xué)語言有機(jī)地結(jié)合起來，使形象思維和抽象思維結(jié)合起來，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)開辟了一個重要的途徑。對于怎樣探索小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方法與途徑，找尋適合教材中不同學(xué)段、不同階段的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模的基本方式，要以具體的課例研究為載體，從各種課例研究實(shí)踐中，提煉出共性的做法，構(gòu)建出教學(xué)模式，這才是我們需要共同努力的方向。

（徐德明）