孫敬彬

分數(shù)除法在意義上與整數(shù)除法、小數(shù)除法相同，在方法上顛倒相乘后和分數(shù)乘法一致，在算法理解上也有很多如平均分和包含除、商不變規(guī)律、分數(shù)意義等方面的經(jīng)驗?；谶@么多的聯(lián)系，筆者試著從“模型”的角度來為學(xué)生提供支持，在意義、方法、路徑等方面進行勾連，借助“模型”設(shè)計把運算“高高舉起”，通過“模型”感知把一致性“輕輕放下”，從整體的視角發(fā)展學(xué)生的運算能力。

一、能解決什么問題——以“模型”多樣豐富意義的理解

蘇教版六上在“分數(shù)除法”單元安排了分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)這三部分內(nèi)容。分數(shù)除以整數(shù)以“平均分”選擇素材，整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)以“包含除”選擇素材。受篇幅所限，教材在內(nèi)容上不可能選擇很多。而生活中需要用分數(shù)除法解決的實際問題也不多見，所以要多引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實際生活看到分數(shù)除法，感受到分數(shù)除法的實際意義，這樣他們才會與以前學(xué)習(xí)的除法進行對接。這樣結(jié)合實際，從分數(shù)的意義、除法的意義的角度多找一些問題模型，進一步促進學(xué)生感受分數(shù)與除法、比的關(guān)系，他們在問題解決中自然會感受到運算意義的一致性。

1.發(fā)散提問，讓不同問題匯聚

在這個單元的學(xué)習(xí)中，可以多讓學(xué)生帶著算式回到具體問題情境中，想一想“這道算式還可以解決生活中的什么問題”，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看生活，通過提問豐富平均分、包含除等在實際生活中的更多表達，為學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)除法提供更多問題模型。如教學(xué)“分數(shù)除以整數(shù)”時，可以提問：還可以解決生活中的哪些問題？這樣發(fā)散提問后，班內(nèi)學(xué)生就會匯聚出很多問題：小剛3 分鐘跑了千米，平均每分鐘跑多少千米？我3 天讀完一本書的，平均每天讀這本書的幾分之幾？用3 元能買千克橘子，1 元能買多少千克？課桌高米，教室高3 米，課桌高相當于教室高的幾分之幾？……這些不同問題的出現(xiàn)，使原來分數(shù)除以整數(shù)的單一問題模型變得豐富起來，學(xué)生感受到的意義也會更具體，同時為他們解決運算方面的問題提供了更多體驗。

2.聚焦設(shè)問，把相似問題串聯(lián)

由于教材中平均分和包含除的模型不斷切換，問題情境也不同，問題相關(guān)度不是很高，因而單元學(xué)習(xí)時對分數(shù)除法算式的每一次提問都要關(guān)注問題情境的延續(xù)性，聚焦設(shè)問“能提出解決有關(guān)路程類的問題嗎？”“能解決買東西中的問題嗎？”，把發(fā)散的提問“串”起來。如在學(xué)習(xí)“分數(shù)除以整數(shù)”時，學(xué)生提出了“小剛3 分鐘跑了千米，平均每分鐘跑多少千米？”這一問題，到后面的學(xué)習(xí)中設(shè)問讓學(xué)生跟進，就會有“小剛小時跑了4 千米，平均每小時跑多少千米？”“小剛時步行千米，他平均每小時步行多少千米？”等問題出現(xiàn)，這樣就把有關(guān)速度、時間、路程的問題模型在整個單元中關(guān)聯(lián)起來了。這樣“問”出來的問題，能讓學(xué)生從整體的角度想問題模型，從模型的角度思考除法的意義。

3.反復(fù)追問，將關(guān)鍵問題統(tǒng)整

對于學(xué)生提出的這些問題，可以經(jīng)常追問一句：“為什么用除法？”如“3 元能買千克的橘子”，既可以提問“1 元能買多少千克？”，也可以提問“買1 千克需要多少元？”。對于這兩個問題，可以適時追問：為什么都用除法？為什么列出的算式不同？學(xué)生會從意義的角度解釋，或者借助直觀圖來解釋，這能使他們進一步加深對問題模型的認識，豐富對分數(shù)除法的意義理解，溝通除法與分數(shù)的聯(lián)系。同時，對于某個問題的反復(fù)追問，能幫助學(xué)生從問題模型中生長出算法和算理的理解，生長出解決實際問題的能力。如引導(dǎo)學(xué)生探究“4 米長的繩子，每米剪一段，可以剪多少段？”“一根繩子用去，正好用去4 米，這根繩子長多少米？”這兩個問題“為什么都用除法”，能促進他們關(guān)注部分與整體之間的變化。

二、為什么這樣算——以“模型”直觀探究算法的表達

分數(shù)除法的計算方法是“甲數(shù)除以乙數(shù)（不為0），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”，從形式上看就是顛倒相乘，學(xué)生很容易知道，但要想說清楚“為什么這樣算”并不容易。整體設(shè)計時就可以以“為什么這樣算”為大任務(wù)，充分放手讓學(xué)生想辦法說清楚算理，并借助直觀模型讓其感受到運算在本質(zhì)上的聯(lián)系、算法上的相通。

1.有“整”有“分”，讓算法一致清晰化

“整數(shù)除法可以表示為分數(shù)的形式”，這等價于“除以一個不為0 的整數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，即。因此，在整體設(shè)計“分數(shù)除法”單元的教學(xué)時，可以在第一課時植入一個“整數(shù)除以整數(shù)”的情境，讓情境更有連續(xù)性。這樣基于分數(shù)與除法的關(guān)系，學(xué)生能感受到分數(shù)除以整數(shù)的算法與整數(shù)除以整數(shù)是一致的。具體的問題串設(shè)計如下頁圖1 所示。這樣設(shè)計也能讓模型整體“組團”，整數(shù)除以整數(shù)可以用實物模型“4升果汁，5個杯子”；“”可以用面積模型；“”可以用面積模型，也可以用線段模型。

（圖1）

學(xué)生在“把4升果汁平均分到5個杯子中”的過程中，看見了“4 升的”的算式是“”，看見了每杯果汁的數(shù)量是“”，就是，因而問題解決過程中就有了，雖然是蜻蜓點水，但單位累加的感覺輕輕浮現(xiàn)，顛倒相乘的認識清清楚楚。

2.有“理”有“據(jù)”，讓算法表達直觀化

學(xué)習(xí)“分數(shù)除以整數(shù)”以后，學(xué)生就能類推出分數(shù)除法的算法了。下面的除法學(xué)習(xí)圍繞“怎樣算”“為什么這樣算”來展開，可以放手讓學(xué)生為“法”說“理”，讓算法從一個個模型中直觀呈現(xiàn)，使學(xué)生真正理解算法。實踐中可以設(shè)計如圖2 所示的任務(wù)鏈，引導(dǎo)學(xué)生自己先進行研究，然后結(jié)合不同模型從不同角度說理，進一步豐富他們對算法的理解。

（圖2）

（圖3）

生2：我是把“1”平均分成3 份后，發(fā)現(xiàn)“4”里共有這樣的12 份，是這樣的兩份，所以就有4×3÷2，根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系可以寫成4×，所以。（如圖4）

（圖4）

（圖5）

可見，在說清“為什么這樣算”的過程中，學(xué)生能感受到分數(shù)除法與以前學(xué)習(xí)的運算在實質(zhì)上是一致的，而且能想辦法說清楚為什么這樣算也是一個推理驗證的過程，經(jīng)歷這樣的過程，學(xué)生對算法的理解便走向了對其中計數(shù)單位以及計數(shù)單位個數(shù)運算的理解。相信當出現(xiàn)如下算法時，學(xué)生也能很快結(jié)合具體模型來解釋它們背后的道理：12÷2=6。

三、還可以怎樣想——以“模型”多解感悟運算的本質(zhì)

從整體的角度對“分數(shù)除法”單元進行模型設(shè)計，能使學(xué)生對一些問題與算法的理解更直觀具體，也有利于凸顯運算的本質(zhì)。一是一個算式會有不同的問題模型，讓學(xué)生有更多機會從意義的角度理解算法；二是不同直觀模型在解釋算法上又會各有不同，即便是同一個直觀模型，不同學(xué)生的表達也會有所不同。教師教學(xué)時要多通過對比引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考“還可以怎樣想”，從中發(fā)現(xiàn)更多聯(lián)系和運算的本質(zhì)內(nèi)涵。這樣用好直觀模型，很多原有經(jīng)驗、方法都會在匯聚后進行有效提升并實現(xiàn)統(tǒng)一。

1.一“圖”多“義”，解釋中實現(xiàn)方法統(tǒng)一

在畫直觀圖探究算法的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多問題在直觀表達時有一致的地方，即很多問題情境表達出來時可能是相同的一幅圖。在探究算法的過程中，結(jié)合直觀圖適時追問“還可以怎樣想”，有利于學(xué)生從模型的角度把一類問題提取出來，讓問題模型與計算方法在一幅直觀圖中得到統(tǒng)一。圖6呈現(xiàn)的是的計算過程，其實也是分數(shù)乘法中的計算過程。這樣借助直觀圖的多種理解，不僅能使學(xué)生看到分數(shù)除法與分數(shù)乘法在算法上的一致性，也能把單位的運算凸顯出來，對算法和算理進行了統(tǒng)一。

（圖6）

2.一“式”多“圖”，對比中凸顯運算本質(zhì)

學(xué)生在探究算法時會想到很多方法，這些方法看似模型不一樣，理解不一樣，但背后蘊含的道理可能是一樣的。讓學(xué)生通過對比“還可以怎樣想”，能使他們發(fā)現(xiàn)運算本質(zhì)上的一致性。學(xué)生對一致性的理解也會反過來促進他們在算法上的求同以及對通法的探尋，從而使他們從模型直觀走向推理驗證。如教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生對比圖7 和圖8，并適時追問“還可以想到哪些”，能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)分數(shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法計算在想法上是相通的，在方法上是一致的。有了這些認識，學(xué)生也會慢慢從直觀模型中發(fā)現(xiàn)一些本質(zhì)的東西，從更寬廣的視角感受到可以計數(shù)單位相除、計數(shù)單位個數(shù)相除，最后再把商相乘的道理。

（圖7）

（圖8）

學(xué)習(xí)“分數(shù)除法”以后，教師還可以把問題模型在三節(jié)課中的“樣子”呈現(xiàn)出來，通過一“模”多“樣”，讓學(xué)生從整體的角度對同一問題模型有整體認識，對算法的形成有整體感知，如三節(jié)課中的路程類問題（如圖9）。

（圖9）