陳國強(qiáng)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》強(qiáng)調(diào),要讓學(xué)生“感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系,體會數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性,形成運(yùn)算能力和推理意識”。教學(xué)蘇教版六上“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時,通過打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的“阻斷層”,借助數(shù)形結(jié)合思想方法聯(lián)系好“關(guān)聯(lián)帶”,從計數(shù)單位的核心概念角度重建“承重墻”,基于合情推理與演繹推理的展開,讓學(xué)生完整地經(jīng)歷感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算一致性的過程,有助于他們提升運(yùn)算能力,發(fā)展推理意識,習(xí)得素養(yǎng)品格。
綜觀當(dāng)下的“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué),要在課堂教學(xué)中實現(xiàn)數(shù)運(yùn)算的一致性,徹底打通整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系,實現(xiàn)新舊知識的整體性遷移內(nèi)化,主要需要解決以下問題:
一是對算法處理的“淺表化”,不少教師過于強(qiáng)調(diào)“分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母”的算法,沒有深入引導(dǎo)學(xué)生理解分子相乘的積表示計數(shù)單位的個數(shù),分母相乘的積表示新的計數(shù)單位。
二是對算理解讀的“偏差性”,如在“分?jǐn)?shù)乘法”單元前兩課時的學(xué)習(xí)中,分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)在運(yùn)算過程中沒有產(chǎn)生新的計算單位,而教師對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)產(chǎn)生新的計數(shù)單位后再累加計算單位甚少提及,容易導(dǎo)致學(xué)生在算理理解上出現(xiàn)偏差。
三是對算律運(yùn)用的“缺失感”,一些教師注重借助數(shù)形結(jié)合推理算理和算法的合理性,但缺少對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)結(jié)果的演繹推理過程,適時介入分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及運(yùn)算律的運(yùn)用,能促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的提升。
為了幫助學(xué)生精準(zhǔn)理解和建構(gòu)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理、算法的一致性,筆者重組教材內(nèi)容,聚焦矩形面積,以數(shù)形結(jié)合、邏輯推理為主要表征方式展開教學(xué)。
1.問題呈現(xiàn),獨(dú)立探究
師:要求這個長方形的面積,應(yīng)如何列式?
2.交流分享,融理于法
師:下面,請小組派代表上臺匯報。
生2:我們利用信封提示,根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系將算式轉(zhuǎn)化成(1÷2)×(1÷4)=1×1÷2÷4=(1×1)÷(2×4)=1÷8=。
生3:我們小組將一張紙上下對折,然后左右對折兩次得到這張紙的。
生4:我們小組與折紙的方法類似,是用畫線段圖的方法來表示的,把一條線段看作單位“1”,先平均分成2 份,取出其中的1 份,然后在中再平均分成4 份,取出其中的1 份,就得到這條線段的。
生5:我們組也是采用畫圖的方法來驗證的,只不過畫的是長方形,我們將這個長方形看作單位“1”,一共平均分成了8份,其中的1份就是。
1.再次驗證,歸納算法
師:你們也是用這種方法嗎?為什么不用分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或者折紙等其他方法呢?
師:老師這里還有兩幅作品,我們不妨把三幅作品(如圖1)放一起對比一下。畫得都對嗎?你更欣賞哪一幅?
(圖1)
生3:其實三幅作品都對,但我更喜歡第一幅作品,它能讓我們一眼就看出把單位“1”平均分成15份,取這樣的8份,也就是的是。
師:這里的15 份是怎么看出來的?8 又是怎么看出來的?
生3:因為長被分成5 列,寬被分成3 行,所以5×3=15(份),而涂色部分長為4,寬為2,4×2=8(份)。
生4:老師,其實就是分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。
師:非常棒!你們都發(fā)現(xiàn)了嗎?這就是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法,這里分母相乘得到的積就相當(dāng)于單位“1”均分的總份數(shù),而分子相乘的積就是取的份數(shù)。
2.數(shù)形結(jié)合,理解算理
師(出示圖2):讓我們聚焦這個長方形,分母相乘求得一共的份數(shù),分子相乘求得取的份數(shù),結(jié)果是,請問,它的計數(shù)單位是什么?你知道怎么來的嗎?
(圖2)
1.對比呈現(xiàn),內(nèi)化結(jié)構(gòu)
出示圖3,帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行回顧。
(圖3)
師:我們剛才對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)單位的拆分與相乘,其實,在以前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法中也可以進(jìn)行拆分與相乘,仔細(xì)觀察,你有什么發(fā)現(xiàn)?小組交流后匯報。
生1:我們組發(fā)現(xiàn)這三組算式都有10、0.1、幾分之一這些計數(shù)單位。
生2:我有補(bǔ)充,我發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果都跟兩個乘數(shù)的計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)有關(guān)。
師:是啊,無論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法,本質(zhì)上都是把兩個乘數(shù)的計數(shù)單位的個數(shù)相乘,得到新的計數(shù)單位的個數(shù);把兩個乘數(shù)的計數(shù)單位相乘,得到新的計數(shù)單位,最后求出它們的積是多少。
2.練習(xí)鞏固,深化理解
交流匯報,教師點(diǎn)評。
本節(jié)課以“計數(shù)單位”為核心概念,以“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘,計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘”為基本運(yùn)算,以“運(yùn)算律”“等式的基本性質(zhì)”為基本規(guī)律,經(jīng)過三次探索,借助數(shù)形結(jié)合,對矩形的長和寬進(jìn)行“先分后取,再分再取”,幫助學(xué)生理解新的分?jǐn)?shù)單位的數(shù)學(xué)本質(zhì),感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性,促進(jìn)他們不僅知其然,而且知其所以然。
東北師范大學(xué)馬云鵬教授指出:“教學(xué)數(shù)與數(shù)的運(yùn)算一致性目的在于體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),從關(guān)聯(lián)中體會其中的核心概念,讓學(xué)生更好地理解一個學(xué)科的基本原理?!睂πW(xué)生而言,“一致性”即探尋數(shù)學(xué)學(xué)科本真,構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)抓住計算教學(xué)的核心要義,優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié),促進(jìn)新知建構(gòu)。
美國加州大學(xué)伯克利分校伍鴻熙教授主張,用“矩形面積”定義“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的含義。蘇教版教材雖然借用了“矩形”,但少了“面積”的強(qiáng)化,教材中直觀圖呈現(xiàn)的算法清晰,但其算理卻有種“霧里看花”的感覺。人教版與北師大版教材則都借助了“矩形面積”,先規(guī)定矩形面積為單位“1”,縱向?qū)⑦呴L平均分成n份,得到第一個因數(shù)“a個”,橫向?qū)⑦呴L平均分成m份,得到第二個因數(shù)“b個”,然后由“a個分?jǐn)?shù)單位個分?jǐn)?shù)單位”得到“a×b個新的分?jǐn)?shù)單位”,回歸到“計數(shù)單位的累加”,實現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性。因此,在本課中借助數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”是實現(xiàn)運(yùn)算一致性的基本路徑,“相同計數(shù)單位累加”的核心概念能有效強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)的理解,從而促進(jìn)他們建立起具有一致性、整體性、互通性的數(shù)的運(yùn)算整體結(jié)構(gòu)。
鼓勵學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣思考”,需要在日常教學(xué)實踐中滲透數(shù)學(xué)思想方法模型,本節(jié)課基于邏輯推理推演“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算理、算法,主要涵蓋兩個方面:一是證明“分?jǐn)?shù)單位”相乘與“非分?jǐn)?shù)單位”相乘,本質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化成“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位”后的累加;二是通過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、運(yùn)算律演繹推理出“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的結(jié)果是“分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母”。因此,通過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及運(yùn)算律等核心知識的探究,有利于學(xué)生實現(xiàn)從直觀想象到抽象推理的順利過渡,促進(jìn)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣推理”,幫助其學(xué)會用整體、關(guān)聯(lián)和發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問題,從而形成科學(xué)、理性的數(shù)學(xué)思維。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們應(yīng)該站在更高的角度,基于教材編排意圖以及學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀,把“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”放到更廣闊的知識結(jié)構(gòu)體系中,引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷感悟運(yùn)算一致性的過程,促進(jìn)他們深刻感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性,從而提升運(yùn)算能力,發(fā)展推理意識,習(xí)得素養(yǎng)品格。