陳國強(qiáng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》強(qiáng)調(diào)，要讓學(xué)生“感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識”。教學(xué)蘇教版六上“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時，通過打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的“阻斷層”，借助數(shù)形結(jié)合思想方法聯(lián)系好“關(guān)聯(lián)帶”，從計數(shù)單位的核心概念角度重建“承重墻”，基于合情推理與演繹推理的展開，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算一致性的過程，有助于他們提升運(yùn)算能力，發(fā)展推理意識，習(xí)得素養(yǎng)品格。

一、課前思考

綜觀當(dāng)下的“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué)，要在課堂教學(xué)中實現(xiàn)數(shù)運(yùn)算的一致性，徹底打通整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)新舊知識的整體性遷移內(nèi)化，主要需要解決以下問題：

一是對算法處理的“淺表化”，不少教師過于強(qiáng)調(diào)“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”的算法，沒有深入引導(dǎo)學(xué)生理解分子相乘的積表示計數(shù)單位的個數(shù)，分母相乘的積表示新的計數(shù)單位。

二是對算理解讀的“偏差性”，如在“分?jǐn)?shù)乘法”單元前兩課時的學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)在運(yùn)算過程中沒有產(chǎn)生新的計算單位，而教師對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)產(chǎn)生新的計數(shù)單位后再累加計算單位甚少提及，容易導(dǎo)致學(xué)生在算理理解上出現(xiàn)偏差。

三是對算律運(yùn)用的“缺失感”，一些教師注重借助數(shù)形結(jié)合推理算理和算法的合理性，但缺少對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)結(jié)果的演繹推理過程，適時介入分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及運(yùn)算律的運(yùn)用，能促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的提升。

二、課例實踐

為了幫助學(xué)生精準(zhǔn)理解和建構(gòu)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理、算法的一致性，筆者重組教材內(nèi)容，聚焦矩形面積，以數(shù)形結(jié)合、邏輯推理為主要表征方式展開教學(xué)。

（一）借助面積模型，初步探究算理

1.問題呈現(xiàn)，獨立探究

師：要求這個長方形的面積，應(yīng)如何列式？

2.交流分享，融理于法

師：下面，請小組派代表上臺匯報。

生2：我們利用信封提示，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系將算式轉(zhuǎn)化成（1÷2）×（1÷4）=1×1÷2÷4=（1×1）÷（2×4）=1÷8=。

生3：我們小組將一張紙上下對折，然后左右對折兩次得到這張紙的。

生4：我們小組與折紙的方法類似，是用畫線段圖的方法來表示的，把一條線段看作單位“1”，先平均分成2 份，取出其中的1 份，然后在中再平均分成4 份，取出其中的1 份，就得到這條線段的。

生5：我們組也是采用畫圖的方法來驗證的，只不過畫的是長方形，我們將這個長方形看作單位“1”，一共平均分成了8份，其中的1份就是。

（二）數(shù)形結(jié)合分析，明晰算理算法

1.再次驗證，歸納算法

師：你們也是用這種方法嗎？為什么不用分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或者折紙等其他方法呢？

師：老師這里還有兩幅作品，我們不妨把三幅作品（如圖1）放一起對比一下。畫得都對嗎？你更欣賞哪一幅？

（圖1）

生3：其實三幅作品都對，但我更喜歡第一幅作品，它能讓我們一眼就看出把單位“1”平均分成15份，取這樣的8份，也就是的是。

師：這里的15 份是怎么看出來的？8 又是怎么看出來的？

生3：因為長被分成5 列，寬被分成3 行，所以5×3=15（份），而涂色部分長為4，寬為2，4×2＝8（份）。

生4：老師，其實就是分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

師：非常棒！你們都發(fā)現(xiàn)了嗎？這就是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法，這里分母相乘得到的積就相當(dāng)于單位“1”均分的總份數(shù)，而分子相乘的積就是取的份數(shù)。

2.數(shù)形結(jié)合，理解算理

師（出示圖2）：讓我們聚焦這個長方形，分母相乘求得一共的份數(shù)，分子相乘求得取的份數(shù)，結(jié)果是，請問，它的計數(shù)單位是什么？你知道怎么來的嗎？

（圖2）

（三）橫向?qū)Ρ确此?，建立統(tǒng)一結(jié)構(gòu)

1.對比呈現(xiàn)，內(nèi)化結(jié)構(gòu)

出示圖3，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行回顧。

（圖3）

師：我們剛才對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)單位的拆分與相乘，其實，在以前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法中也可以進(jìn)行拆分與相乘，仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？小組交流后匯報。

生1：我們組發(fā)現(xiàn)這三組算式都有10、0.1、幾分之一這些計數(shù)單位。

生2：我有補(bǔ)充，我發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果都跟兩個乘數(shù)的計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)有關(guān)。

師：是啊，無論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，本質(zhì)上都是把兩個乘數(shù)的計數(shù)單位的個數(shù)相乘，得到新的計數(shù)單位的個數(shù)；把兩個乘數(shù)的計數(shù)單位相乘，得到新的計數(shù)單位，最后求出它們的積是多少。

2.練習(xí)鞏固，深化理解

交流匯報，教師點評。

本節(jié)課以“計數(shù)單位”為核心概念，以“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘”為基本運(yùn)算，以“運(yùn)算律”“等式的基本性質(zhì)”為基本規(guī)律，經(jīng)過三次探索，借助數(shù)形結(jié)合，對矩形的長和寬進(jìn)行“先分后取，再分再取”，幫助學(xué)生理解新的分?jǐn)?shù)單位的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性，促進(jìn)他們不僅知其然，而且知其所以然。

三、實施建議

東北師范大學(xué)馬云鵬教授指出：“教學(xué)數(shù)與數(shù)的運(yùn)算一致性目的在于體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從關(guān)聯(lián)中體會其中的核心概念，讓學(xué)生更好地理解一個學(xué)科的基本原理?！睂πW(xué)生而言，“一致性”即探尋數(shù)學(xué)學(xué)科本真，構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)抓住計算教學(xué)的核心要義，優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)新知建構(gòu)。

（一）立足數(shù)形結(jié)合，深化結(jié)構(gòu)理解

美國加州大學(xué)伯克利分校伍鴻熙教授主張，用“矩形面積”定義“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的含義。蘇教版教材雖然借用了“矩形”，但少了“面積”的強(qiáng)化，教材中直觀圖呈現(xiàn)的算法清晰，但其算理卻有種“霧里看花”的感覺。人教版與北師大版教材則都借助了“矩形面積”，先規(guī)定矩形面積為單位“1”，縱向?qū)⑦呴L平均分成n份，得到第一個因數(shù)“a個”，橫向?qū)⑦呴L平均分成m份，得到第二個因數(shù)“b個”，然后由“a個分?jǐn)?shù)單位個分?jǐn)?shù)單位”得到“a×b個新的分?jǐn)?shù)單位”，回歸到“計數(shù)單位的累加”，實現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性。因此，在本課中借助數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”是實現(xiàn)運(yùn)算一致性的基本路徑，“相同計數(shù)單位累加”的核心概念能有效強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)的理解，從而促進(jìn)他們建立起具有一致性、整體性、互通性的數(shù)的運(yùn)算整體結(jié)構(gòu)。

（二）感悟轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)推理意識

鼓勵學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，需要在日常教學(xué)實踐中滲透數(shù)學(xué)思想方法模型，本節(jié)課基于邏輯推理推演“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算理、算法，主要涵蓋兩個方面：一是證明“分?jǐn)?shù)單位”相乘與“非分?jǐn)?shù)單位”相乘，本質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化成“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位”后的累加；二是通過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、運(yùn)算律演繹推理出“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的結(jié)果是“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”。因此，通過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及運(yùn)算律等核心知識的探究，有利于學(xué)生實現(xiàn)從直觀想象到抽象推理的順利過渡，促進(jìn)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣推理”，幫助其學(xué)會用整體、關(guān)聯(lián)和發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問題，從而形成科學(xué)、理性的數(shù)學(xué)思維。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該站在更高的角度，基于教材編排意圖以及學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀，把“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”放到更廣闊的知識結(jié)構(gòu)體系中，引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷感悟運(yùn)算一致性的過程，促進(jìn)他們深刻感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性，從而提升運(yùn)算能力，發(fā)展推理意識，習(xí)得素養(yǎng)品格。