陳國(guó)強(qiáng)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》強(qiáng)調(diào),要讓學(xué)生“感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系,體會(huì)數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性,形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。教學(xué)蘇教版六上“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時(shí),通過(guò)打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的“阻斷層”,借助數(shù)形結(jié)合思想方法聯(lián)系好“關(guān)聯(lián)帶”,從計(jì)數(shù)單位的核心概念角度重建“承重墻”,基于合情推理與演繹推理的展開(kāi),讓學(xué)生完整地經(jīng)歷感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算一致性的過(guò)程,有助于他們提升運(yùn)算能力,發(fā)展推理意識(shí),習(xí)得素養(yǎng)品格。
綜觀當(dāng)下的“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué),要在課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)運(yùn)算的一致性,徹底打通整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的整體性遷移內(nèi)化,主要需要解決以下問(wèn)題:
一是對(duì)算法處理的“淺表化”,不少教師過(guò)于強(qiáng)調(diào)“分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母”的算法,沒(méi)有深入引導(dǎo)學(xué)生理解分子相乘的積表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù),分母相乘的積表示新的計(jì)數(shù)單位。
二是對(duì)算理解讀的“偏差性”,如在“分?jǐn)?shù)乘法”單元前兩課時(shí)的學(xué)習(xí)中,分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)在運(yùn)算過(guò)程中沒(méi)有產(chǎn)生新的計(jì)算單位,而教師對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位后再累加計(jì)算單位甚少提及,容易導(dǎo)致學(xué)生在算理理解上出現(xiàn)偏差。
三是對(duì)算律運(yùn)用的“缺失感”,一些教師注重借助數(shù)形結(jié)合推理算理和算法的合理性,但缺少對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)結(jié)果的演繹推理過(guò)程,適時(shí)介入分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及運(yùn)算律的運(yùn)用,能促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的提升。
為了幫助學(xué)生精準(zhǔn)理解和建構(gòu)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理、算法的一致性,筆者重組教材內(nèi)容,聚焦矩形面積,以數(shù)形結(jié)合、邏輯推理為主要表征方式展開(kāi)教學(xué)。
1.問(wèn)題呈現(xiàn),獨(dú)立探究
師:要求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積,應(yīng)如何列式?
2.交流分享,融理于法
師:下面,請(qǐng)小組派代表上臺(tái)匯報(bào)。
生2:我們利用信封提示,根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系將算式轉(zhuǎn)化成(1÷2)×(1÷4)=1×1÷2÷4=(1×1)÷(2×4)=1÷8=。
生3:我們小組將一張紙上下對(duì)折,然后左右對(duì)折兩次得到這張紙的。
生4:我們小組與折紙的方法類似,是用畫線段圖的方法來(lái)表示的,把一條線段看作單位“1”,先平均分成2 份,取出其中的1 份,然后在中再平均分成4 份,取出其中的1 份,就得到這條線段的。
生5:我們組也是采用畫圖的方法來(lái)驗(yàn)證的,只不過(guò)畫的是長(zhǎng)方形,我們將這個(gè)長(zhǎng)方形看作單位“1”,一共平均分成了8份,其中的1份就是。
1.再次驗(yàn)證,歸納算法
師:你們也是用這種方法嗎?為什么不用分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或者折紙等其他方法呢?
師:老師這里還有兩幅作品,我們不妨把三幅作品(如圖1)放一起對(duì)比一下。畫得都對(duì)嗎?你更欣賞哪一幅?
(圖1)
生3:其實(shí)三幅作品都對(duì),但我更喜歡第一幅作品,它能讓我們一眼就看出把單位“1”平均分成15份,取這樣的8份,也就是的是。
師:這里的15 份是怎么看出來(lái)的?8 又是怎么看出來(lái)的?
生3:因?yàn)殚L(zhǎng)被分成5 列,寬被分成3 行,所以5×3=15(份),而涂色部分長(zhǎng)為4,寬為2,4×2=8(份)。
生4:老師,其實(shí)就是分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。
師:非常棒!你們都發(fā)現(xiàn)了嗎?這就是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法,這里分母相乘得到的積就相當(dāng)于單位“1”均分的總份數(shù),而分子相乘的積就是取的份數(shù)。
2.數(shù)形結(jié)合,理解算理
師(出示圖2):讓我們聚焦這個(gè)長(zhǎng)方形,分母相乘求得一共的份數(shù),分子相乘求得取的份數(shù),結(jié)果是,請(qǐng)問(wèn),它的計(jì)數(shù)單位是什么?你知道怎么來(lái)的嗎?
(圖2)
1.對(duì)比呈現(xiàn),內(nèi)化結(jié)構(gòu)
出示圖3,帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行回顧。
(圖3)
師:我們剛才對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)單位的拆分與相乘,其實(shí),在以前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法中也可以進(jìn)行拆分與相乘,仔細(xì)觀察,你有什么發(fā)現(xiàn)?小組交流后匯報(bào)。
生1:我們組發(fā)現(xiàn)這三組算式都有10、0.1、幾分之一這些計(jì)數(shù)單位。
生2:我有補(bǔ)充,我發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果都跟兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)有關(guān)。
師:是啊,無(wú)論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法,本質(zhì)上都是把兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘,得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù);把兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘,得到新的計(jì)數(shù)單位,最后求出它們的積是多少。
2.練習(xí)鞏固,深化理解
交流匯報(bào),教師點(diǎn)評(píng)。
本節(jié)課以“計(jì)數(shù)單位”為核心概念,以“計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘,計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘”為基本運(yùn)算,以“運(yùn)算律”“等式的基本性質(zhì)”為基本規(guī)律,經(jīng)過(guò)三次探索,借助數(shù)形結(jié)合,對(duì)矩形的長(zhǎng)和寬進(jìn)行“先分后取,再分再取”,幫助學(xué)生理解新的分?jǐn)?shù)單位的數(shù)學(xué)本質(zhì),感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性,促進(jìn)他們不僅知其然,而且知其所以然。
東北師范大學(xué)馬云鵬教授指出:“教學(xué)數(shù)與數(shù)的運(yùn)算一致性目的在于體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),從關(guān)聯(lián)中體會(huì)其中的核心概念,讓學(xué)生更好地理解一個(gè)學(xué)科的基本原理。”對(duì)小學(xué)生而言,“一致性”即探尋數(shù)學(xué)學(xué)科本真,構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)抓住計(jì)算教學(xué)的核心要義,優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié),促進(jìn)新知建構(gòu)。
美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校伍鴻熙教授主張,用“矩形面積”定義“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的含義。蘇教版教材雖然借用了“矩形”,但少了“面積”的強(qiáng)化,教材中直觀圖呈現(xiàn)的算法清晰,但其算理卻有種“霧里看花”的感覺(jué)。人教版與北師大版教材則都借助了“矩形面積”,先規(guī)定矩形面積為單位“1”,縱向?qū)⑦呴L(zhǎng)平均分成n份,得到第一個(gè)因數(shù)“a個(gè)”,橫向?qū)⑦呴L(zhǎng)平均分成m份,得到第二個(gè)因數(shù)“b個(gè)”,然后由“a個(gè)分?jǐn)?shù)單位個(gè)分?jǐn)?shù)單位”得到“a×b個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位”,回歸到“計(jì)數(shù)單位的累加”,實(shí)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性。因此,在本課中借助數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”是實(shí)現(xiàn)運(yùn)算一致性的基本路徑,“相同計(jì)數(shù)單位累加”的核心概念能有效強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)的理解,從而促進(jìn)他們建立起具有一致性、整體性、互通性的數(shù)的運(yùn)算整體結(jié)構(gòu)。
鼓勵(lì)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣思考”,需要在日常教學(xué)實(shí)踐中滲透數(shù)學(xué)思想方法模型,本節(jié)課基于邏輯推理推演“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算理、算法,主要涵蓋兩個(gè)方面:一是證明“分?jǐn)?shù)單位”相乘與“非分?jǐn)?shù)單位”相乘,本質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化成“計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位”后的累加;二是通過(guò)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、運(yùn)算律演繹推理出“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的結(jié)果是“分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母”。因此,通過(guò)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及運(yùn)算律等核心知識(shí)的探究,有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)從直觀想象到抽象推理的順利過(guò)渡,促進(jìn)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣推理”,幫助其學(xué)會(huì)用整體、關(guān)聯(lián)和發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而形成科學(xué)、理性的數(shù)學(xué)思維。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們應(yīng)該站在更高的角度,基于教材編排意圖以及學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀,把“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”放到更廣闊的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中,引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷感悟運(yùn)算一致性的過(guò)程,促進(jìn)他們深刻感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性,從而提升運(yùn)算能力,發(fā)展推理意識(shí),習(xí)得素養(yǎng)品格。