胡永強(qiáng)

本章包括三節(jié)內(nèi)容，分別是“確定事件和隨機(jī)事件”“可能性的大小”“頻率與概率”。這三節(jié)內(nèi)容是按照遞進(jìn)關(guān)系呈現(xiàn)的，要想充分理解和把握本章內(nèi)容，我們需要在學(xué)好這三節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，弄清它們之間的邏輯關(guān)系。

一、事件及分類

生活中，在事情發(fā)生之前，有些事情是否會(huì)發(fā)生是確定的，有些事情是否會(huì)發(fā)生是不確定的。我們把確定的事情稱為確定事件，確定事件包括必然事件和不可能事件；把不能確定是否發(fā)生的事件稱作隨機(jī)事件。必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，如在全是空位的電影院里，小紅找到一個(gè)空位；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，如從一百件正品中找到一件次品；不確定事件即隨機(jī)事件，是指在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，如七個(gè)人排成一排照相，甲、乙正好相鄰。

二、事件發(fā)生的可能性

“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歸宿。事件發(fā)生的可能性有大有小，如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述它呢？在數(shù)學(xué)中，我們通常用0和1及其之間的數(shù)值來表示某一事件發(fā)生的可能性。不可能事件發(fā)生的可能性為0；必然事件發(fā)生的可能性是1；隨機(jī)事件發(fā)生的可能性介于0和1之間。一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，我們可以利用已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算它。

例1 擲一枚正方體的骰子，各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，求下列事件發(fā)生的可能性大?。海?）朝上的數(shù)字是奇數(shù)；（2）朝上的數(shù)字能被3除余1；（3）朝上的數(shù)字不是3的倍數(shù)；（4）朝上的數(shù)字小于6。

要求可能性的大小，我們只需求出各自所占的比例即可。（1）朝上的數(shù)字是奇數(shù)的有1、3、5，故發(fā)生的可能性為[12]；（2）朝上的數(shù)字能被3除余1的有1、4，故發(fā)生的可能性為[13]；（3）朝上的數(shù)字不是3的倍數(shù)的有1、2、4、5，故發(fā)生的可能性為[23]；（4）朝上的數(shù)字小于6的有1、2、3、4、5，故發(fā)生的可能性為[56]。

三、用頻率估計(jì)概率

一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，就是這個(gè)事件發(fā)生的概率。隨機(jī)事件發(fā)生的概率是由其自身決定的，是隨機(jī)事件的自身屬性，它反映這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。有的隨機(jī)事件發(fā)生的概率可以通過計(jì)算獲得，有的隨機(jī)事件發(fā)生的概率很難直接確定。對(duì)于難以直接確定概率的隨機(jī)事件，我們可以采用間接方法獲取，比如用多次重復(fù)試驗(yàn)下的“頻率”估計(jì)“概率”。

例2 在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)相同的紅球，為了估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，八（1）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室分組做摸球試驗(yàn)：每組先將10個(gè)與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)。表1是統(tǒng)計(jì)匯總這次活動(dòng)各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)。請(qǐng)估計(jì)隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率。

我們需要弄清頻率與概率之間的關(guān)系。從表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，在大量重復(fù)試驗(yàn)下，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，據(jù)此可以估計(jì)隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率約為0.4。

總之，科學(xué)合理的數(shù)據(jù)往往比個(gè)人的主觀判斷更為可靠。研究隨機(jī)事件的概率可以幫助人們做出科學(xué)合理的預(yù)測(cè)與決策，這很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和生活之間有著密切的聯(lián)系。