蘭存智

【摘要】幾何直觀是小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，在新時(shí)代的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師著重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生的思維可視化、知識(shí)結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)模型化，也能使學(xué)生的認(rèn)知從感性遷移到理性，增強(qiáng)獨(dú)立思考和數(shù)學(xué)探究的能力.文章主要對(duì)幾何直觀素養(yǎng)作出簡(jiǎn)述，探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的價(jià)值，從課程目標(biāo)和實(shí)際學(xué)情出發(fā)，結(jié)合具體的課堂教學(xué)案例，研究培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的策略，力求完善學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何直觀素養(yǎng)；培養(yǎng)

引 言

隨著課程改革工作的持續(xù)推進(jìn)，幾何直觀素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的地位，也逐漸得到凸顯，加強(qiáng)培育學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，不僅是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的現(xiàn)實(shí)需求，也是增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性的重要途徑.因此，教師必須明確小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的價(jià)值，根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，圍繞著幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，采取科學(xué)、有趣的教學(xué)手段，帶領(lǐng)學(xué)生參與多樣化的幾何探究活動(dòng)，使其潛移默化地養(yǎng)成幾何直觀素養(yǎng).

一、幾何直觀素養(yǎng)概述

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)幾何直觀素養(yǎng)的含義作出明確表述：“幾何直觀是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)和習(xí)慣.”在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，幾何直觀素養(yǎng)主要表現(xiàn)為四個(gè)方面：第一，對(duì)圖形本身的感性認(rèn)識(shí)，能夠感知幾何圖形及其組成元素，以圖形的特征為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類；第二，將抽象的語言描述，轉(zhuǎn)化為形象的圖形；第三，建立數(shù)與形的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)問題的直觀模型；第四，借助圖表分析實(shí)際情境和數(shù)學(xué)問題，探尋解決問題的方法.

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的價(jià)值

（一）增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決問題是一個(gè)至關(guān)重要的板塊，學(xué)生對(duì)問題的解決質(zhì)量，反映出探究和應(yīng)用技能的發(fā)展情況，而現(xiàn)階段學(xué)生的解題能力比較薄弱，歸根結(jié)底，是學(xué)生缺乏科學(xué)的解題方法.著重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，能夠增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.幾何直觀的主要作用是應(yīng)用圖形去描述和分析問題，梳理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，使其變得簡(jiǎn)明、形象，幫助學(xué)生透徹地剖析出問題的本質(zhì)，并探索解題思路、預(yù)測(cè)結(jié)果，從而顯著強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

（二）鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力

小學(xué)生的思維，正處于由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算的過渡期，這是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的最佳時(shí)期，而邏輯思維的形成，離不開具體事物的支持.因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，無論是對(duì)數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，還是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索，都需要依靠抽象、形象、邏輯等思維能力的共同參與.而幾何直觀是文字語言和圖形語言的有機(jī)結(jié)合，學(xué)生養(yǎng)成良好的幾何直觀素養(yǎng)，有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)要素之間的辯證關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)邏輯思維能力的持續(xù)提升.

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的策略

（一）創(chuàng)設(shè)圖形情境，形成幾何直觀

圖形語言是幾何直觀的重要構(gòu)成部分，它不僅能夠具象化地傳遞信息，也能使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得可視化，直接作用于學(xué)生的感官，使思維的過程外顯、可見，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)構(gòu)建.從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)來說，以圖形語言為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的展示，也更容易被學(xué)生接受和理解，能夠促使學(xué)生直接把握數(shù)學(xué)研究對(duì)象的形式與特征.因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的初級(jí)階段，教師應(yīng)該根據(jù)教材中的“圖形與幾何”課程，開發(fā)利用信息化、生活化等資源，著重創(chuàng)設(shè)圖形情境，引導(dǎo)學(xué)生基于圖形開展觀察和討論等活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)圖形本身的感性認(rèn)識(shí)，從而有效地培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng).

例如，人教版一年級(jí)上冊(cè)第四單元“認(rèn)識(shí)圖形（一）”，本課是“圖形與幾何”板塊的起始課，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的切入點(diǎn).在創(chuàng)設(shè)圖形情境時(shí)，教師可以根據(jù)教材中的長方體、正方體、圓柱和球，在電子白板上展示生活中相應(yīng)的實(shí)物圖形，包括紙巾盒、墨水盒、肥皂盒、骰子、魔方、水杯、鋼筆、足球、玻璃珠等，學(xué)生的感官注意力會(huì)立刻集中到生動(dòng)的圖形上，教師順勢(shì)提問：“同學(xué)們，這些實(shí)物圖形從形狀來看，有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，你能按照形狀對(duì)它們進(jìn)行分類嗎？”學(xué)生展開積極地觀察和探討，教師按照學(xué)生的回答，在白板上拖拽相應(yīng)的圖形，最終顯示的分類結(jié)果是：紙巾盒、肥皂盒歸為一類；墨水盒、骰子、魔方歸為一類；水杯、鋼筆歸為一類；足球、玻璃珠歸為一類.此時(shí)，教師可在每類實(shí)物圖形的旁邊分別標(biāo)注它們的名稱，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生辨別圖形：“同學(xué)們，請(qǐng)大家結(jié)合這四類實(shí)物圖形，說一說你是如何區(qū)分長方體、正方體、圓柱和球的.”學(xué)生觀察和辨認(rèn)后反饋：長方體是相對(duì)的面一樣，正方體是六個(gè)面都一樣，圓柱只有放倒才能滾動(dòng)，而球能夠隨意滾動(dòng).教師：“請(qǐng)大家再仔細(xì)地觀察圓柱和球的表面，看看還有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生：“圓柱的兩頭是平面，而球的表面都是曲面.”教師：“回答得真棒！那么在日常生活中，還有哪些與實(shí)物圖形相似的幾何物品呢？”學(xué)生：“鞋盒是長方體、粉筆盒是正方體、易拉罐是圓柱，籃球、橙子、樟腦丸、巧克力豆都是球……”在圖形情境的支持下，學(xué)生就順利地認(rèn)識(shí)了立體圖形，初步形成了幾何直觀素養(yǎng).

（二）重視數(shù)形結(jié)合，建立幾何直觀

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)，在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的密切聯(lián)系.著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”足以反映出數(shù)形結(jié)合的重要性.數(shù)與形之間存在著對(duì)應(yīng)、辯證和轉(zhuǎn)化的關(guān)系，在一定條件下，會(huì)出現(xiàn)“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”兩種情形，學(xué)生把握了數(shù)形結(jié)合的規(guī)律，就能輕松地探知隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律.因此，在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的過程中，教師必須重視應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，如借助圖形表示數(shù)量，啟發(fā)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，或者是利用圖形描述變量，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，這樣既能起到“化繁為簡(jiǎn)”的作用，也能促進(jìn)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的建立.

例如，在人教版一年級(jí)上冊(cè)第八單元“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”一課中，本課的教學(xué)重點(diǎn)是利用圖形引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“9加幾”的計(jì)算方法，教師可以出示運(yùn)動(dòng)會(huì)的場(chǎng)景圖，并對(duì)學(xué)生說：“同學(xué)們，運(yùn)動(dòng)員在場(chǎng)上比賽太辛苦了，我們給運(yùn)動(dòng)員送一些水吧！現(xiàn)在紙箱里有9瓶水，紙箱外有4瓶水，一共有多少瓶水？”學(xué)生陷入了思考，教師從數(shù)形結(jié)合的角度提問：“如果用畫小正方形的方式表示紙箱里面和外面的水，該怎樣畫？誰能到黑板前來畫一畫？”學(xué)生踴躍地舉手，教師指一名學(xué)生上臺(tái)，該學(xué)生分別畫出兩排小正方形，第一排是9個(gè)，第二排是4個(gè)，并解釋：第一排的正方形表示9瓶水，第二排的正方形表示4瓶水.教師：“畫得非常好！那么針對(duì)‘一共有多少瓶水的問題，該怎樣列式呢？”學(xué)生：“9+4=13（瓶）.”教師：“得數(shù)是正確的，大家是怎樣得出這個(gè)計(jì)算結(jié)果的呢？”有學(xué)生回答：“我是通過數(shù)黑板上的小正方形得來的.”還有的學(xué)生回答：“我是把4拆成1和3，9+1=10，10+3=13.”教師：“兩種方法都是對(duì)的，其中第二種方法叫做‘湊十法，對(duì)于這道題的計(jì)算來說，更加簡(jiǎn)便.”緊接著，教師繼續(xù)進(jìn)行演示，擦掉第二排小正方形中的1個(gè)，同時(shí)在第一排補(bǔ)畫1個(gè)小正方形，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中體會(huì)湊十法.這樣通過應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，學(xué)生不僅掌握了“9加幾”和“湊十法”的算理，也建立了幾何直觀素養(yǎng).

（三）加強(qiáng)尺規(guī)作圖，刻畫幾何直觀

學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的形成和發(fā)展，需要以圖形作為主要的認(rèn)知工具，但圖形往往不是現(xiàn)成的，而是要根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行繪制，這對(duì)教師的尺規(guī)作圖教學(xué)提出更高的要求.尺規(guī)作圖是刻畫幾何直觀的重要途徑，通過尺規(guī)作圖，能夠展現(xiàn)圖形的關(guān)系、特征、變化及運(yùn)動(dòng)軌跡，為學(xué)生理解和洞察數(shù)學(xué)規(guī)律，搭建直觀可視的思維橋梁.因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，教師必須著重加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)，根據(jù)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，合理地利用直尺、圓規(guī)等工具為學(xué)生演示作圖的過程、原理和方法，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合尺規(guī)作圖的過程，探究各種平面圖形的性質(zhì)、定理和關(guān)系等，以此提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，奠定學(xué)生自主作圖的基礎(chǔ).

例如，在人教版四年級(jí)上冊(cè)第三單元“角的度量”一課中，教師就可以采用尺規(guī)作圖的方式，用直尺分別作出銳角、直角、鈍角和平角，一邊作一邊講解方法，同時(shí)提問：“同學(xué)們，請(qǐng)觀察老師作出的這四個(gè)角，你能判斷它們之間的角度大小關(guān)系嗎？”學(xué)生：“銳角<直角<鈍角<平角.”教師：“如果老師想知道每個(gè)角的具體度數(shù)，該怎么辦？”學(xué)生：“只能知道直角和平角的度數(shù)，無法知道銳角和鈍角的具體度數(shù).”教師：“古代的天文學(xué)家根據(jù)天體的運(yùn)行規(guī)律，把一個(gè)圓平均分成360份，將其中一份所對(duì)應(yīng)的角，作為角的度量單位，它的大小就是1度，記做1°.我們平時(shí)見到的量角器最大可以測(cè)量180°的平角.”這樣通過尺規(guī)作圖，討論不同角的角度大小及度數(shù)概念就得到有效地刻畫，學(xué)生也體會(huì)到尺規(guī)作圖的過程，達(dá)到幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)目的.

（四）開展動(dòng)手操作，感悟幾何直觀

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生是學(xué)的主體對(duì)于幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)而言，憑教師單方面的演示操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要學(xué)生的親身參與，這樣才能使其主體地位得到凸顯，獲得更加真實(shí)的幾何直觀體驗(yàn).與此同時(shí)，新課標(biāo)也提倡：“讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.”動(dòng)手操作具有手腦并用的特點(diǎn)，它不只是學(xué)生身體上的行為，更是一種數(shù)學(xué)思考和探究的過程.因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，教師必須積極地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，著重開展動(dòng)手操作活動(dòng)，在學(xué)生具備基本的尺規(guī)作圖經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，根據(jù)課程要點(diǎn)設(shè)計(jì)繪制圖形、改造圖形、創(chuàng)意圖形等操作任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生自主畫圖、用圖思考、依圖想象，從而在動(dòng)手動(dòng)腦中，深化學(xué)生對(duì)幾何直觀的感悟.

例如，在人教版五年級(jí)下冊(cè)第五單元“圖形的運(yùn)動(dòng)（三）”一課中，本課幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，是基于圖形的旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作想象、語言描述、繪制圖形等活動(dòng)，感受旋轉(zhuǎn)的含義和性質(zhì).在學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角三要素之后，教師可設(shè)計(jì)一項(xiàng)操作任務(wù)：請(qǐng)大家先在方格紙上畫出一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，O，B，然后繞著O點(diǎn)，畫出三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.學(xué)生馬上拿起直尺投入動(dòng)手操作，順利地畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′OB′.教師：“請(qǐng)大家結(jié)合自己畫的旋轉(zhuǎn)作品，說一說有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生：“三角形的O點(diǎn)沒變、形狀沒變、大小沒變，只有位置變了.”教師：“如果繼續(xù)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°兩次，會(huì)得到什么圖案？請(qǐng)大家動(dòng)手做一做！”學(xué)生嘗試后驚喜地回答：“是一個(gè)風(fēng)車圖案！”這樣通過動(dòng)手操作，學(xué)生就體驗(yàn)到圖形旋轉(zhuǎn)的過程，使幾何直觀素養(yǎng)和動(dòng)手作圖能力得到發(fā)展.

（五）實(shí)施解題訓(xùn)練，運(yùn)用幾何直觀

幾何直觀是學(xué)生探究和解決數(shù)學(xué)問題的“法寶”，幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，要求學(xué)生自主運(yùn)用畫圖、列表等方式，探索解決問題的路徑.因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須立足于幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，加強(qiáng)理論與實(shí)踐的聯(lián)系，重點(diǎn)開展解題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，繪制相應(yīng)的線段圖、示意圖、集合圖等，對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直觀表達(dá)抑或是采用列表法，整理題目中的復(fù)雜信息，從而促使學(xué)生有序思考、高效解題，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何直觀的靈活運(yùn)用目標(biāo).

例如，在人教版三年級(jí)下冊(cè)第五單元“面積”一課中，學(xué)生通過基礎(chǔ)學(xué)習(xí)，已經(jīng)建立了1平方厘米、1平方分米、1平方米的印象，并掌握了長方形和正方形的面積、周長的計(jì)算公式.教師就可以從幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)需求出發(fā)，設(shè)計(jì)一道實(shí)踐訓(xùn)練題目：“假如用兩個(gè)1平方厘米的正方形拼擺圖形，能拼出什么圖形？請(qǐng)大家3～4人為一組，合作畫出拼擺后的圖形，并計(jì)算出它的面積和周長.”學(xué)生踴躍地參與合作探究，幾分鐘之后，各小組匯報(bào)：用兩個(gè)1平方厘米的正方形，能拼擺出一個(gè)長方形，長方形的面積=長×寬=2×1=2（平方厘米），長方形的周長=（長+寬）×2=（2+1）×2=6（厘米）.教師：“非常正確！那么大家是怎樣得知長方形的長和寬呢？”學(xué)生：“已知正方形的面積是1平方厘米，那么它的邊長就是1厘米，從拼成的長方形來看，它的寬等于正方形的邊長，即1厘米，長是正方形邊長的2倍，即2厘米，再利用長方形的面積、周長的計(jì)算公式就能得出結(jié)果.”這樣學(xué)生就能自主運(yùn)用幾何直觀解決問題.

結(jié) 語

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)能夠提高學(xué)生的概念學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，有助于驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn).教師應(yīng)該根據(jù)幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)需求，開發(fā)多樣化的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)圖形情境，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，加強(qiáng)尺規(guī)作圖，開展動(dòng)手操作，實(shí)施解題訓(xùn)練等路徑，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中形成幾何直觀，感受圖形在描述和分析問題中的重要作用，自主運(yùn)用幾何直觀，梳理解決問題的流程和思路，從而全方位落實(shí)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo).

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