孫齊圣

《長(zhǎng)方體和正方體的體積》是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第三單元的教學(xué)內(nèi)容。本課時(shí)是在學(xué)生掌握長(zhǎng)方體、正方體特征的基礎(chǔ)上教學(xué)的，目的是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、自主探索，提煉出長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算公式，并通過(guò)應(yīng)用公式，進(jìn)一步深化對(duì)體積公式的理解，從而建立體積觀(guān)念、發(fā)展空間想象力。

一、在拼擺活動(dòng)中感悟公式原理

體積計(jì)算公式的推導(dǎo)基于對(duì)體積概念的理解。在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)體積和體積單位已經(jīng)有所認(rèn)知，能夠通過(guò)數(shù)體積單位的個(gè)數(shù)來(lái)求長(zhǎng)方體的體積。基于此，筆者通過(guò)猜測(cè)、拼擺、比較、歸納等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的原理。

上課伊始，筆者先提出問(wèn)題：怎樣知道一個(gè)長(zhǎng)方體或一個(gè)正方體的體積？長(zhǎng)方體、正方體的體積與什么有關(guān)？學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)猜想：把長(zhǎng)方體切成若干大小相同的小正方體，再數(shù)小正方體的個(gè)數(shù)，就能知道長(zhǎng)方體的體積；先測(cè)量長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，再算出體積；長(zhǎng)方體的體積可能與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)；等等。接著，筆者組織學(xué)生在組內(nèi)用12個(gè)體積為1cm3的小正方體擺出不同的長(zhǎng)方體，并將每次擺好的長(zhǎng)方體的相關(guān)數(shù)據(jù)填入教材第29頁(yè)的表格中。學(xué)生自主拼擺后，筆者用課件呈現(xiàn)下表。

筆者引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察表格并設(shè)疑：“這些長(zhǎng)方體有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？”一名學(xué)生回答：“這些長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高不同，即長(zhǎng)方體的形狀不同，但它們所需的小正方體的數(shù)量也就是長(zhǎng)方體的體積是相同的。”筆者繼續(xù)設(shè)疑：“根據(jù)拼擺過(guò)程想一想，長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的數(shù)值除了表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度，還表示什么？”另一名學(xué)生回答：“還可以表示擺成長(zhǎng)方體的每行小正方體的個(gè)數(shù)、擺的行數(shù)和層數(shù)?！?/p>

然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生分享、交流擺成的不同長(zhǎng)方體的各項(xiàng)數(shù)據(jù)。第一小組代表回答：“我發(fā)現(xiàn)每行擺的個(gè)數(shù)、擺的行數(shù)、擺的層數(shù)分別與擺成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)值相同?！钡诙〗M代表回答：“我發(fā)現(xiàn)擺成的長(zhǎng)方體所包含體積單位的數(shù)量就是長(zhǎng)方體的體積?！钡谌〗M代表補(bǔ)充道：“擺成的長(zhǎng)方體所含體積單位的數(shù)量就是每行擺的個(gè)數(shù)（長(zhǎng)）、擺的行數(shù)（寬）、擺的層數(shù)（高）的乘積。”筆者順勢(shì)用課件呈現(xiàn)“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”。最后，筆者引導(dǎo)：“如果用字母V表示長(zhǎng)方體的體積，用a、b、h分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，那么長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式可以怎樣表示？”學(xué)生回答：“可以寫(xiě)成V=abh?！?/p>

通過(guò)拼擺，學(xué)生找出了長(zhǎng)方體所含體積單位的數(shù)量與它的長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系，感悟到長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的原理。

二、在推理過(guò)程中理解公式本質(zhì)

正方體可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體，即正方體是特殊的長(zhǎng)方體。為了讓學(xué)生弄清長(zhǎng)方體和正方體的關(guān)系，筆者立足學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算、分析、推理、歸納的過(guò)程，幫助學(xué)生理解正方體體積的本質(zhì)。

教學(xué)時(shí)，筆者先呈現(xiàn)例1的第①小題：“一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)7cm、寬3cm、高4cm。求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。”學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式列式計(jì)算：V=abh=7×3×4=84cm3。筆者設(shè)疑：“如果把長(zhǎng)方體的長(zhǎng)縮短3cm、寬增加1cm，此時(shí)的長(zhǎng)、寬、高各是多少？長(zhǎng)方體變成了什么圖形？”一名學(xué)生回答：“此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是4cm，長(zhǎng)方體變成了一個(gè)正方體?！惫P者追問(wèn)：“怎樣計(jì)算這個(gè)正方體的體積呢？”他接著回答：“根據(jù)V=abh可知，正方體體積用‘（7-3）×（3+1）×4計(jì)算，即4×4×4=64cm3。”“我們剛才利用長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式求出了正方體的體積，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)正方體的體積怎樣計(jì)算？”筆者繼續(xù)設(shè)疑。另一名學(xué)生回答：“可以按照長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式‘V=abh來(lái)計(jì)算。因?yàn)檎襟w是長(zhǎng)、寬、高相等的特殊長(zhǎng)方體，所以長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式也適用于正方體。”筆者順勢(shì)總結(jié)：“正方體的‘長(zhǎng)、寬、高，我們統(tǒng)稱(chēng)為‘棱長(zhǎng)，如果用字母V表示正方體的體積，用a表示它的棱長(zhǎng)，那么正方體的體積計(jì)算公式用字母怎樣表示？”學(xué)生立即答出：“正方體體積V=a×a×a=a3。”

經(jīng)歷了推理過(guò)程，學(xué)生不僅理解了正方體體積的計(jì)算方法，而且完善了認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

三、在直觀(guān)觀(guān)察中深化體積公式

在學(xué)生整體建構(gòu)長(zhǎng)方體、正方體體積的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，筆者借助直觀(guān)圖示，利用從實(shí)際操作到簡(jiǎn)化操作再到想象操作的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，深化對(duì)長(zhǎng)方體、正方體體積計(jì)算公式的理解，更好地建立空間觀(guān)念。

教學(xué)時(shí)，筆者先呈現(xiàn)下圖，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：無(wú)論兩個(gè)圖形怎么擺放，總有一個(gè)面是朝下的。筆者順勢(shì)總結(jié)：這個(gè)面被稱(chēng)為底面，長(zhǎng)方體或正方體底面的面積叫作底面積。

接著，筆者設(shè)疑：“長(zhǎng)方體和正方體的底面積該怎樣計(jì)算呢？”一名學(xué)生觀(guān)察后回答：“長(zhǎng)方體的底面積=長(zhǎng)×寬，正方體的底面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)?！惫P者在相應(yīng)的體積公式上做了如下標(biāo)記：

然后，筆者總結(jié)：“長(zhǎng)方體體積公式中的‘長(zhǎng)×寬就是它的底面積，則其體積公式可寫(xiě)成‘底面積×高；正方體體積公式中的‘棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)就是它的底面積，而另一條棱長(zhǎng)也可以看作是正方體的高?！薄斑@樣看，長(zhǎng)方體和正方體的體積可以怎樣計(jì)算？”筆者設(shè)疑。學(xué)生回答出“長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面積×高”后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用字母表示長(zhǎng)方體（或正方體）的體積公式，即“V=Sh”。

為了引導(dǎo)學(xué)生突破定式，理解底面積的本質(zhì)，筆者呈現(xiàn)下圖，讓學(xué)生觀(guān)察：“圖中涂色面的面積能看作長(zhǎng)方體的底面積嗎？為什么？”

一名學(xué)生回答：“能。如果把長(zhǎng)方體‘立起來(lái)，涂色的面就朝下了，所以涂色的面可以看作長(zhǎng)方體的底面積?！惫P者追問(wèn)：“此時(shí)長(zhǎng)方體可以看成是底面積、高各是多少的長(zhǎng)方體？”他繼續(xù)說(shuō)：“可以看成底面積是‘10×4=40、高是6的長(zhǎng)方體?！惫P者繼續(xù)設(shè)疑：“還可以看成怎樣的長(zhǎng)方體？”另一名學(xué)生回答：“還可以看成底面積是‘6×4=24、高是10的長(zhǎng)方體，也可以看成底面積是‘10×6=60、高是4的長(zhǎng)方體?！惫P者總結(jié)：長(zhǎng)方體（或正方體）的體積可以用某一個(gè)面的面積與垂直于這個(gè)面的棱的長(zhǎng)度相乘的方法來(lái)計(jì)算。

學(xué)生經(jīng)歷了觀(guān)察、比較、歸納的過(guò)程，進(jìn)一步理解了長(zhǎng)方體和正方體的體積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為今后學(xué)習(xí)其他柱體的體積計(jì)算公式做了鋪墊。

（作者單位：應(yīng)城市四里棚中心學(xué)校）

責(zé)任編輯? 張敏