廣東省深圳市深圳大學(xué)附屬實驗中學(xué)(518000) 王金瑩

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2020修訂版)》中的課程基本理念提出“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢,數(shù)學(xué)的社會需求,數(shù)學(xué)發(fā)展和社會發(fā)展相互推動的作用,數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系,數(shù)學(xué)的美學(xué)價值,數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用,逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀,實現(xiàn)學(xué)科滲透“五育并舉”,將素養(yǎng)教育落實到課堂中.

本文以對數(shù)的概念和弧度制的概念這兩個教學(xué)片段為例,展示數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實踐探索,并從中得到啟示.

1 教學(xué)片段1:對數(shù)的概念

1.1 環(huán)節(jié)(1):問題引入,以史啟迪

數(shù)學(xué)史1(“對數(shù)思想”的源起):

15世紀的數(shù)學(xué)家對一列有序的正整數(shù)思考過這樣的問題.例如下表:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

1544年史提非在《整數(shù)算術(shù)》中把第一行數(shù)稱之為“指數(shù)”,德文中意為“代表者”,后來成為正式的數(shù)學(xué)術(shù)語.欲求第二行任意兩個數(shù)的積,只要計算與這兩個數(shù)對應(yīng)的第一行的數(shù)之和即可.如求32×128,32對應(yīng)的第一行數(shù)是5,128對應(yīng)7,5+7=12,在12下面的4096就是所求的數(shù).

問題1第一行的數(shù)和第二行的數(shù)存在什么關(guān)系?

追問:若想知道4096是2的多少次方,即已知底數(shù)和冪,應(yīng)該如何求指數(shù)?

師生活動:教師通過介紹數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家對表格中對應(yīng)數(shù)的計算思考,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,從已知底數(shù)和指數(shù)求冪的問題,轉(zhuǎn)化到思考已知底數(shù)和冪,如何求指數(shù)的問題上來.

設(shè)計意圖:問題1其實就是“對數(shù)思想”的源起,由第一行的和對應(yīng)求第二行的積,其實是指數(shù)的運算法則,反之,想要由第二行的積求第一行的和,則要利用對數(shù)的運算法則,其中蘊含了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化,從而引入對數(shù)的概念,也為下一課時學(xué)習(xí)對數(shù)的運算做好鋪墊.

1.2 環(huán)節(jié)(2):指對互化,深化概念

問題2:如果ax=N(a>0,a1),那么x=?

對數(shù)的概念:x=logaN,其中a稱為底數(shù),N稱為真數(shù),讀作以a為底N的對數(shù).

追問:對數(shù)和指數(shù)存在怎樣的對應(yīng)關(guān)系?如何進行對數(shù)與指數(shù)的相互轉(zhuǎn)化?

圖1 指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系

數(shù)學(xué)史2(改編自課本128-129頁閱讀與思考“對數(shù)的發(fā)明”):

【創(chuàng)始人】蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾于1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》,標志著對數(shù)的誕生.納皮爾借助運動學(xué),用幾何術(shù)語闡述了對數(shù)方法,定義x為y的對數(shù):其中,e為自然對數(shù)的底.

納皮爾在討論對數(shù)概念時,并沒有使用指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系,因為當(dāng)時還沒有明確的指數(shù)概念,直到20多年后的1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾才開始使用指數(shù)符號,18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系,他指出:“對數(shù)源于指數(shù)”,而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù),這成為數(shù)學(xué)史上的珍聞.

【自然對數(shù)】倫敦數(shù)學(xué)家斯彼德于1619年以e為底制得《新對數(shù)表》.

自然對數(shù)logeN=lnN表示以自然對數(shù)e為底的對數(shù),其中e≈2.71828.

【改良與補足】英格蘭數(shù)學(xué)家布里格斯1624年出版《對數(shù)算術(shù)》,建議改為以10為底的常用對數(shù),并制得1至20000以及90000到100000的14位以10為底的對數(shù)表;到1628年由佛拉哥進一步補足.

常用對數(shù)log10N=lgN表示以10為底的對數(shù).

【在中國的發(fā)展】波蘭數(shù)學(xué)家穆尼閣于1648年(清順治3年)到訪中國,于1653年與中國薛鳳祚合編《比例對數(shù)表》,這是我國最早的對數(shù)著作.清代數(shù)學(xué)家戴煦發(fā)現(xiàn)多種求對數(shù)的便捷方法,并發(fā)表著作《求表捷術(shù)》,包含《對數(shù)簡法》(1845)、《續(xù)對數(shù)簡法》(1846)、《假數(shù)測圓》(1852).

問題3根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化,由寫出納皮爾對數(shù)x與自然對數(shù)的關(guān)系.

師生活動:教師說明指數(shù)式中的底數(shù)、指數(shù)、冪分別一一對應(yīng)對數(shù)式中的底數(shù)、對數(shù)、真數(shù),并列舉幾個簡單指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式的例子.進而介紹對數(shù)的發(fā)明歷史,引出自然對數(shù)和常用對數(shù)的概念,學(xué)生通過問題3鞏固練習(xí)如何進行指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化,得到納皮爾對數(shù)

設(shè)計意圖:介紹對數(shù)的發(fā)明與發(fā)展的數(shù)學(xué)史,一方面是為了讓學(xué)生感受知識的發(fā)生發(fā)展過程,理解所學(xué)知識是為了解決什么問題,同時感受中國數(shù)學(xué)家在相關(guān)知識中的建樹,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)民族自豪感;另一方面也很順暢地引入了自然對數(shù)、常用對數(shù)的概念.最后通過納皮爾對數(shù)與自然對數(shù)的關(guān)系,讓學(xué)生鞏固練習(xí)指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化.

2 教學(xué)片段2:弧度制

2.1 環(huán)節(jié)(1):問題引入,激發(fā)興趣

引導(dǎo)語:在初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù),但是存在一個問題,自變量的值與函數(shù)值不能運算,阻礙了三角函數(shù)通過運算法則形成其他初等函數(shù).

問題1若s=30?,t=sin30?,則s+t=?

追問:如何解決s=30?與t=sin30?之間不能相加的矛盾?

師生活動:學(xué)生小組討論思考問題,教師在學(xué)生提出因為“單位不同”而不能相加的原因之后,引導(dǎo)學(xué)生考慮用sin30?的度量單位——長度來度量30?,以實現(xiàn)單位的統(tǒng)一.從而確定本節(jié)解決問題的突破口:用長度度量角度.

設(shè)計意圖:通過用角度作為自變量表示三角函數(shù)使得自變量的值與函數(shù)值不能進行運算的問題引入,讓學(xué)生產(chǎn)生認知沖突,從而激發(fā)探究的興趣.

2.2 環(huán)節(jié)(2):以史啟迪,類比探究

問題2如何用長度度量角度呢?

追問:類比角度制中的定義,如何引入一個利用長度來度量角的新單位制?

數(shù)學(xué)史1(1?的來源):

1?的定義最早是由古巴比倫人提出的,當(dāng)時人們信賴“地心說”,認為地球是圓的.由于地球的公轉(zhuǎn),地球上的我們就像看走馬燈一樣,在特定的時間看到特定的星座.古人發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律,并且以星座為參照物,近似觀察出循環(huán)周期為360天,也就是一年.因此,天就被等分成了360份,也就是圓被等分成了360份.因而在“把一個圓周的角度固定為360?”的前提下,給出了的定義:把圓周長劃分成360份,每一份弧長所對應(yīng)的圓心角定義為1?的角.類比1?的定義得到新單位定義:把圓周長劃分成幾份,每一份弧長所對應(yīng)的圓心角是1個單位的角.

問題3用什么來劃分圓周長?

師生活動:教師通過介紹數(shù)學(xué)史,與學(xué)生共同類比1?的定義給出新單位定義的范式,引導(dǎo)學(xué)生回想突破口:用長度度量角度.進而想到可以利用圓中與長度相關(guān)的量.

追問3-1在圓中,我們學(xué)習(xí)過哪些與長度相關(guān)的概念?

追問3-2用哪一個長度的量來劃分圓周長?

師生活動:教師通過不變性引導(dǎo)學(xué)生想到用半徑劃分是合理的.在一個定圓中,弦長、弧長會隨著圓心角的變化而變化,但半徑是不變的.

追問3-3以半徑為單位劃分圓周長,則圓周長會被劃分成幾份?

追問3-4你能完成“弧度定義:把圓周長劃分成____份,每一份弧長所對應(yīng)的圓心角是____(1個單位)的角”了嗎?

師生活動:學(xué)生根據(jù)以上探究得出答案“把圓周長劃分成2π份,每一份弧長所對應(yīng)的圓心角是1弧度的角”.

設(shè)計意圖:問題2屬于對突破口的進一步分析,通過數(shù)學(xué)史的介紹引出1?的定義,進而類比1?的定義,經(jīng)歷4個追問的探究建立起弧度的定義.學(xué)生在這個過程中經(jīng)歷了概念的建構(gòu)與“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題”的過程,體會“類比”的數(shù)學(xué)思想方法.

活動1幾何畫板動態(tài)探究

拖動點A改變半徑(∠AOB的大小不變),觀察弧長AB與半徑OA比值的變化.

追問3-5弧長AB與半徑OA比值與半徑有關(guān)嗎?

圖2 探究弧長與半徑的比值與半徑的關(guān)系

師生活動:教師通過動態(tài)展示半徑的變化過程.學(xué)生通過觀察到弧長AB與半徑OA比值始終不變,發(fā)現(xiàn)弧長AB與半徑OA比值與半徑無關(guān),也就是說,這個比值隨α的確定而唯一確定.教師在此基礎(chǔ)上進一步給出精確的弧度定義.

設(shè)計意圖:通過活動1認識到用等于半徑的弧所對的圓心角作為弧度制的度量單位的合理性.

2.3 環(huán)節(jié)(3):深化概念,角弧互化

活動2根據(jù)弧度的定義完成表格.

問題4角α的弧度數(shù)的正負由什么決定?

追問:在一個半徑為r的圓上,圓心角α對應(yīng)的弧長為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對值是多少?

圖3

弧長AB OB旋轉(zhuǎn)方向∠AOB的弧度數(shù)r 逆時針旋轉(zhuǎn)1 2r 2 0沒有旋轉(zhuǎn)πr 順時針旋轉(zhuǎn)?1

設(shè)計意圖:通過完成活動2,學(xué)生可以歸納出規(guī)律:角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定了角的弧度數(shù)的正負;且結(jié)合定義知道

數(shù)學(xué)史2(弧度的來源):

【萌芽】弧度制是從圓周運動的角度來定義的.古人的世界觀是“天圓地方”,人們的旅行都被視為直線運動.可事實是,地球是圓的,隨著技術(shù)的發(fā)展,大航海時代的來臨,大家都越來越認識到這一點,傳統(tǒng)意義上的直線,在地球表面都不復(fù)存在,必須重新定義球面距離的含義.弧度制也是在這樣的背景下開始萌發(fā).

【發(fā)展】公元6世紀,印度人在制作正弦表時,曾用同一單位度量半徑和圓周,孕育著最早的弧度制概念.

【提出】1748年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在他的一部劃時代著作《無窮小分析概論》中的第八章提出了弧度制思想——把圓的半徑作為弧長的度量單位.這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來,大大簡化了三角公式及計算.

【誕生】19世紀北愛爾蘭數(shù)學(xué)教師湯姆生正式使用了“弧度(radian)”一詞,是半徑(radius)與角(angle)兩詞的合成,被人們廣泛接受和應(yīng)用.

設(shè)計意圖:此環(huán)節(jié)是對弧度制本質(zhì)的深化,通過數(shù)學(xué)史的介紹,讓學(xué)生感受一個數(shù)學(xué)概念從萌芽到誕生的曲折過程,感受數(shù)學(xué)的人文精神,體會到引入弧度制的價值.

問題5如何進行角度與弧度的相互換算?

師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生從一個圓周的弧度數(shù)與角度數(shù)進行分析,學(xué)生獨立思考解決問題.

思考:在弧度制下,角的集合與實數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系?

圖4 任意角的集合與實數(shù)集的關(guān)系

設(shè)計意圖:通過問題5與活動2完成教學(xué)目標:掌握角度制與弧度制的互換,知道一些特殊角的弧度知道弧度制下的角的集合可以與實數(shù)集建立一一對應(yīng)關(guān)系.

3 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實踐啟示

3.1 以數(shù)學(xué)文化搭建腳手架,發(fā)揮學(xué)生自主性

研讀新教材、新課標可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)文化是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要工具,例如教學(xué)中可以提供體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程的數(shù)學(xué)史,提出宏觀的研究思路,由具體的例子引導(dǎo)學(xué)生提出微觀想法.

從現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)發(fā)展與社會發(fā)展的相互推動過程、數(shù)學(xué)歷史出發(fā),呈現(xiàn)問題情境,以數(shù)學(xué)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)的價值、數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程搭建學(xué)習(xí)架構(gòu),設(shè)計邏輯連貫的學(xué)習(xí)內(nèi)容、環(huán)環(huán)相扣的問題串、系列化的數(shù)學(xué)活動,促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題和解決問題.

3.2 聯(lián)系已有知識經(jīng)驗,充分調(diào)動數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

為了引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu),對教材中數(shù)學(xué)文化拓展、數(shù)學(xué)史介紹的閱讀材料進行再創(chuàng)造和補充,一方面,教師要熟悉學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu),即我們常說的“備學(xué)生”,把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的上下位關(guān)系,把握數(shù)學(xué)的整體性,根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗,找到學(xué)生思維的生長點.另一方面,要創(chuàng)設(shè)合理的問題情境,以問題調(diào)動認知結(jié)構(gòu)的整合或是造成認知沖突,驅(qū)動思維發(fā)展.總而言之,就是要讓學(xué)生看到材料有興趣,有想法,有表達欲和求知欲.

3.3 注重研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑

研究一個數(shù)學(xué)對象的基本路徑包括:(1)明確研究對象,即定義、表示、分類;(2)明確研究對象的性質(zhì)、特例及與其它內(nèi)容的聯(lián)系.對于性質(zhì),可以開展定性研究和定量研究.通過數(shù)學(xué)史中介紹數(shù)學(xué)對象發(fā)明和發(fā)展的過程,我們要關(guān)注到研究一個新的數(shù)學(xué)對象的基本路徑,這樣有助于學(xué)生在之后的學(xué)習(xí)中舉一反三,類比遷移到其它問題中去.例如通過介紹數(shù)學(xué)史上1?的來源,類比1?的發(fā)現(xiàn)和定義的過程來定義新的度量角的制度.再如通過回顧數(shù)學(xué)史上的數(shù)系擴充過程,我們?yōu)榻鉀Q生產(chǎn)、生活、數(shù)學(xué)情境中遇到的問題而定義了負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)……,進而為解決方程x2+1=0在實數(shù)集上沒有解的問題,繼續(xù)將實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集.