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        類比歸納尋本質(zhì) 通性通法助解題
        ——以蘇科版數(shù)學(xué)七(上)“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”為例

        2023-05-02 14:41:00封海波
        初中生世界 2023年16期
        關(guān)鍵詞:通性通法列方程

        ■封海波

        教師如何在平時(shí)教學(xué)中幫助學(xué)生開(kāi)辟思維路徑,樹(shù)立模型意識(shí),掌握解題的通性通法呢?對(duì)此,筆者認(rèn)為,教師關(guān)鍵要精選例題,然后進(jìn)行適當(dāng)變式、拓展(一題多變),展示數(shù)學(xué)問(wèn)題表象的多樣性,凸顯問(wèn)題本質(zhì)的一致性,讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)可以由表及里、由此及彼,發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律,類比歸納通性通法,構(gòu)建思維路徑,從懂得一道題到掌握一類題,這才是基于數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題的解題教學(xué)。

        下面,筆者以蘇科版數(shù)學(xué)七(上)“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”為例,談一談解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的相關(guān)教學(xué)策略。

        一、例題呈現(xiàn)

        引例甲、乙兩船由相距200 千米的兩地同時(shí)相向駛出,甲船每小時(shí)行駛50千米,乙船每小時(shí)行駛30 千米,請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩船相遇?

        這個(gè)問(wèn)題,學(xué)生很容易解出。教師可以引導(dǎo)學(xué)生把生活中的問(wèn)題抽象為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)把引例數(shù)值等比縮小,不斷變式例題,在動(dòng)點(diǎn)的變化中,找到不變的數(shù)學(xué)通法。

        例1如圖1,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8,B在A點(diǎn)左側(cè),且AB=20。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿?cái)?shù)軸向左以每秒5 個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒。

        圖1

        學(xué)生通過(guò)閱讀例1,初步得到一些基本信息。在接下來(lái)的教學(xué)中,教師通過(guò)4個(gè)問(wèn)題,從易到難,逐步幫助學(xué)生歸納解題思路,類比解題方法,以啟發(fā)學(xué)生思維,引領(lǐng)能力的發(fā)展,幫助學(xué)生找到適合的解題通性通法,為后期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

        二、例題延伸

        問(wèn)題1現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處向右勻速運(yùn)動(dòng),速度是每秒3 個(gè)單位長(zhǎng)度,若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),P、Q經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相遇?

        生1:我可以直接列出算式20÷(5+3)=2.5(秒)。

        生2:我們還可以利用方程解決。設(shè)相遇時(shí)間為t秒,可列方程5t+3t=20,解得t=2.5。

        生3:我們還可以用數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)來(lái)表示。其中,P點(diǎn)可表示為8-5t;Q點(diǎn)可表示為-12+3t。在數(shù)軸上,兩個(gè)點(diǎn)相遇,表示兩個(gè)點(diǎn)在同一位置,那么它們的坐標(biāo)就相同。因此,我們可列方程為-12+3t=8-5t,解得t=2.5。

        [設(shè)計(jì)意圖]教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度,用不同的方法去解決問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生思維。

        問(wèn)題2與問(wèn)題1 條件相同,若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)與點(diǎn)Q相距為2?

        師:?jiǎn)栴}2有幾種可能?

        生5:有兩種可能。一種是P、Q還沒(méi)相遇時(shí),兩點(diǎn)相距為2;一種是P、Q兩點(diǎn)相遇后,兩點(diǎn)相距為2。

        師:請(qǐng)你用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。

        生6:P點(diǎn)可表示為8-5t;Q點(diǎn)可表示為-12+3t。當(dāng)P、Q還沒(méi)相遇時(shí)相距2,可列方程為8-5t-(-12+3t)=2,解得同理,當(dāng)P、Q相遇后相距2,解得

        [設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)類比,教師引導(dǎo)學(xué)生把動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的位置用數(shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái),然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的距離來(lái)解決,讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)化的優(yōu)勢(shì)。

        問(wèn)題3動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度,若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q?

        生7:我可以直接列出算式:20÷(5-3)=10(秒)。

        生8:可以列方程解決。設(shè)相遇時(shí)間為t,列方程為5t-3t=20,解得t=10。

        生9:在坐標(biāo)軸中,P點(diǎn)可表示為-12-3t;Q點(diǎn)可表示為8-5t。P追上Q,即兩點(diǎn)坐標(biāo)相同,可列方程為-12-3t=8-5t,解得t=10。

        [設(shè)計(jì)意圖]把相遇問(wèn)題改為追擊問(wèn)題,繼續(xù)讓學(xué)生進(jìn)行類比,體會(huì)三種解題方式的優(yōu)劣性,強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知。

        問(wèn)題4若AP的中點(diǎn)為點(diǎn)M,PB的中點(diǎn)為點(diǎn)N。點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?并說(shuō)明理由。

        生10:此題依然有兩種情況,一種是點(diǎn)P在AB中間,一種是P點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)。解題思路如下……

        [設(shè)計(jì)意圖]教師借助數(shù)軸把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,利用這種模型思想研究問(wèn)題,可以使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn)。反過(guò)來(lái),當(dāng)面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí),我們同樣可以通過(guò)建立數(shù)軸模型來(lái)解決。

        三、教學(xué)反思

        動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題靜點(diǎn)化是本節(jié)課的主要思路。第一步,熟讀題目,畫出圖形;第二步,表示各點(diǎn)的坐標(biāo),厘清動(dòng)點(diǎn)的速度、時(shí)間、路程;第三步,動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)用字母表示;第四步,借助數(shù)軸上線段長(zhǎng)度、線段中點(diǎn)的代數(shù)表示方法,根據(jù)題目列出方程,并解方程。這樣就歸納出數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的“通性通法”,從而幫助學(xué)生化難為易,化動(dòng)為靜,分類討論,抓住動(dòng)點(diǎn),代數(shù)表示,以不變應(yīng)萬(wàn)變,尋找破題點(diǎn)。

        數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是七年級(jí)一個(gè)難點(diǎn),很多學(xué)生畏懼。在小學(xué)四年級(jí)時(shí),學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題,教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖,利用數(shù)形結(jié)合思想歸納出相遇問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式;到了五年級(jí),學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)方程,教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合,找到等量關(guān)系,再利用方程解決常見(jiàn)的相遇問(wèn)題、追擊問(wèn)題等,學(xué)生思維又一次飛躍;進(jìn)入初中后,教師將小學(xué)方程問(wèn)題中的兩個(gè)形象人物“小明與小紅”抽象為“A點(diǎn)與B點(diǎn)”,再逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解并解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。可見(jiàn),數(shù)軸是學(xué)生進(jìn)入初中后有力的數(shù)形結(jié)合工具。

        教師平時(shí)要多做題,整理和歸納同類型題,通過(guò)專題課型或者一題一課的形式,在課堂上循序漸進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言構(gòu)建模型,力求將解題后的反思?xì)w納形成解題經(jīng)驗(yàn),構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng),一套思維路徑,以形成解決一類問(wèn)題的通法。

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