摘要 接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器有著良好的振動(dòng)控制效果，但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，負(fù)剛度元件往往無法與地面直接相連。提出一種非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器，根據(jù)所建理論模型，得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)，利用最大值最小化理論獲得非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，并與其他典型的動(dòng)力吸振器模型進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算結(jié)果表明，由于引入負(fù)剛度元件，非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的振動(dòng)控制效果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)線性動(dòng)力吸振器，為負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的工程應(yīng)用提供了一定理論參考。

關(guān)鍵詞 動(dòng)力吸振器; 非接地; 負(fù)剛度; 參數(shù)優(yōu)化

引 言

動(dòng)力吸振器（DVA）又稱調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，是一種附加在受激勵(lì)主系統(tǒng)上以抑制其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的控制措施。Frahm［1］發(fā)明了第一個(gè)無阻尼DVA，受其窄帶特性影響導(dǎo)致對(duì)主振系動(dòng)態(tài)響應(yīng)的抑制效果有限。在此基礎(chǔ)上，通過配置不同的線性元件（如：阻尼單元和剛度單元）分別提出Voigt型含阻尼DVA［2］和三要素型DVA［3］，其減振性能得到進(jìn)一步改善。

近年，眾多學(xué)者通過在動(dòng)力吸振器中引入接地非線性負(fù)剛度元件的方式探索提升其減振性能的方法和途徑。文獻(xiàn)［4?5］提出兩種含有接地負(fù)剛度彈簧元件的動(dòng)力吸振器，通過固定點(diǎn)理論對(duì)該類動(dòng)力吸振器的最優(yōu)參數(shù)展開研究，該方案不僅能顯著降低主系統(tǒng)幅頻曲線的峰值，而且能拓寬有效減振頻率范圍。范舒銅等［6］將具有黏彈性特性的Maxwell模型引入系統(tǒng)，提出一種含慣容和接地負(fù)剛度的動(dòng)力吸振器。陳杰等［7］將慣容器和負(fù)剛度彈簧引入動(dòng)力吸振器實(shí)現(xiàn)對(duì)梁橫向振動(dòng)的抑制。Zhou等［8］在兩類典型動(dòng)力吸振器模型中插入接地負(fù)剛度，建立相應(yīng)的理論模型并給出閉環(huán)最優(yōu)解析解。為進(jìn)一步降低接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器在低頻范圍的共振峰幅值，代晗等［9］引入時(shí)滯反饋控制，并完成等峰值優(yōu)化。劉剛等［10］設(shè)計(jì)了一種變質(zhì)量?接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器，具有較好的低頻減振效果。

在工程應(yīng)用領(lǐng)域，Huang等［11］以潛艇傳動(dòng)軸系縱向振動(dòng)為抑制對(duì)象，采用碟簧和橡膠墊構(gòu)成接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器實(shí)現(xiàn)對(duì)其振動(dòng)的有效抑制。蘇智偉等［12］從理論角度研究了負(fù)剛度動(dòng)力吸振器作為艦船大型機(jī)械設(shè)備減振抗沖擊器件的可行性。Liu等［13］則將負(fù)剛度動(dòng)力吸振器引入到軌道交通領(lǐng)域，通過理論方法重點(diǎn)研究其對(duì)鋼軌振動(dòng)噪聲控制的有效性。Yao等［14］為抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)，提出一種利用環(huán)形永磁體實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器，通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)所提方案可以實(shí)現(xiàn)有效抑振。Zhou等［15］研究一種接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器并將其應(yīng)用在浮置板軌道上，以降低小質(zhì)量比條件下的軌道振動(dòng)。Chen等［16］分析了負(fù)剛度機(jī)構(gòu)用于斜拉橋拉索振動(dòng)控制時(shí)的多模態(tài)阻尼效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)可以改善所有拉索模態(tài)的阻尼效果。

綜上所述，在已有研究中，負(fù)剛度元件均采用接地的配置方式。但在實(shí)際工程中，如：輸油管道、橋梁、空間展開臂等多種應(yīng)用場(chǎng)合，負(fù)剛度元件往往無法與地面直接相連。因此，本文提出一種非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器并建立其理論模型；利用所建模型，推導(dǎo)出系統(tǒng)的頻響函數(shù)；進(jìn)一步，利用最大值最小化理論獲得非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。

1 動(dòng)力吸振器建模

本文提出的負(fù)剛度動(dòng)力振器模型，如圖1所示。其中，M，m1，K，k分別表示主系統(tǒng)和動(dòng)力吸振器的質(zhì)量和剛度；c表示動(dòng)力吸振器阻尼；k1為負(fù)剛度彈簧元件的剛度；m2為引入的支撐質(zhì)量；k2為支撐質(zhì)量與主系統(tǒng)的連接剛度；F為激勵(lì)力；ω表示激勵(lì)力頻率；x1，x2，x3分別代表主系統(tǒng)和動(dòng)力吸振器的位移。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

由式（6）可以看出，采用固定點(diǎn)理論［17?18］推導(dǎo)過程復(fù)雜，較難獲得解析解。本節(jié)基于序列二次規(guī)劃算法［19?22］，對(duì)主振系振幅放大因子進(jìn)行優(yōu)化分析，利用MATLAB優(yōu)化工具箱編寫優(yōu)化程序。

由于主系統(tǒng)的幅頻曲線存在2個(gè)峰值，H∞優(yōu)化的最終目的是實(shí)現(xiàn)等峰降幅，本質(zhì)上是最大值最小化問題。本文所提出負(fù)剛度動(dòng)力吸振器模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)思路是：使振幅放大系數(shù)Am的峰值達(dá)到最小。優(yōu)化目標(biāo)為振幅放大系數(shù)Am，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為頻率比ν，阻尼比ξ1，剛度比α1和α2。其中，頻率比ν的取值范圍為（0，2］，阻尼比ξ1的取值范圍為（0，1］，剛度比α1的取值范圍為［-1，0），剛度比α2的取值范圍為［-0.5，0）。相應(yīng)負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的H∞優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以表示為：

式中 Am為由頻率比ν，阻尼比ξ1，剛度比α1和α2，以及質(zhì)量比μ2作為自變量的目標(biāo)函數(shù)。

本文采用序列二次規(guī)劃算法對(duì)負(fù)剛度動(dòng)力吸振器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，具體計(jì)算流程如圖3所示。

3 計(jì)算結(jié)果分析

為了便于分析，暫定含負(fù)剛度動(dòng)力吸振器動(dòng)力系統(tǒng)的初始設(shè)計(jì)參數(shù)為：M=1 kg，K=1000 N/m，μ1＝0.05，μ2＝0.05。利用第2節(jié)提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法計(jì)算得到非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，如表1所示。

3.1 頻響曲線

為了評(píng)價(jià)非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的減振效果，分別將相同主系統(tǒng)未加吸振器、安裝傳統(tǒng)線性動(dòng)力吸振器、接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器［19］和非接地正剛度吸振器，由最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算得到幅頻響應(yīng)曲線，并進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器相比傳統(tǒng)線性動(dòng)力吸振器，能夠大幅降低主振系的共振峰值，并有效拓寬減振頻帶；相比非接地正剛度動(dòng)力吸振器未引入顯著的共振峰；相比接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器則可以保證主振系在低頻范圍的響應(yīng)未被放大。

3.2 時(shí)域響應(yīng)

工程中，系統(tǒng)所受激勵(lì)大多為隨機(jī)激勵(lì)，這里給出安裝不同類型動(dòng)力吸振器主系統(tǒng)受隨機(jī)激勵(lì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

為了便于對(duì)比分析，此處將主系統(tǒng)位移進(jìn)行無量綱化處理：

式中 x1（t）為主系統(tǒng)位移。

構(gòu)建50 s服從正態(tài)分布的隨機(jī)力激勵(lì)，均值為0，方差為1，可以得到未安裝動(dòng)力吸振器主系統(tǒng)的位移時(shí)程曲線，如圖5所示。圖6為引入不同類型動(dòng)力吸振器后主系統(tǒng)的位移時(shí)程曲線。從圖6可見，在系統(tǒng)中引入負(fù)剛度元件減振效果較好。通過比較可以發(fā)現(xiàn)接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的振動(dòng)控制效果最好。

為了更直觀地分析，采用主振系位移響應(yīng)均方根值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)比不同類型動(dòng)力吸振器的減振效果，如圖7所示。由圖7可見，非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器和非接地正剛度動(dòng)力吸振器可以分別使主系統(tǒng)響應(yīng)衰減72.8%和72.3%，減振效果比接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器差，但優(yōu)于傳統(tǒng)線性動(dòng)力吸振器。

4 結(jié) 論

考慮在工程實(shí)際中負(fù)剛度元件無法直接接地的難題，本文提出一種非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器模型并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析。通過與已有動(dòng)力吸振器方案對(duì)比發(fā)現(xiàn)，非接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的減振控制效果較接地方案差，但優(yōu)于傳統(tǒng)線性動(dòng)力吸振器。相關(guān)研究可為負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的工程應(yīng)用提供一定理論參考。

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