摘要 提出了一種含潤滑介質(zhì)的正交各向異性結(jié)合面法向接觸剛度的分形模型。該模型基于含橢圓修正因子的Hertz接觸理論，并根據(jù)考慮潤滑介質(zhì)的側(cè)向泄漏的平均雷諾方程，推導出固體接觸剛度與流體剛度之間的解析關(guān)系。通過分析不同因素對結(jié)合面的法向接觸剛度的影響，發(fā)現(xiàn)當無量綱固體真實接觸面積小于0.05時，結(jié)合面的法向接觸剛度受流體剛度的影響較大。隨著潤滑介質(zhì)發(fā)生側(cè)向泄漏，固體真實接觸面積逐漸增大，固體接觸剛度對結(jié)合面的法向接觸剛度的影響越來越顯著。給定不同預緊力，對比試驗與有限元仿真獲得的前三階固有頻率，其最大相對誤差為4.11%，證明本文構(gòu)建的模型可以準確地預測結(jié)合面的接觸性能。

關(guān)鍵詞 橢球形微凸體; Hertz接觸理論; 法向接觸剛度; 平均雷諾方程; 有限元法

引 言

機械結(jié)構(gòu)的有限元仿真分析中，對單個零件進行模態(tài)或應力、變形分析時，通?？梢缘玫捷^為準確的結(jié)果，仿真結(jié)果與試驗結(jié)果可以很接近。而整機結(jié)構(gòu)是由多個零件裝配而成的，對整機結(jié)構(gòu)進行有限元仿真得到的結(jié)果與試驗結(jié)果往往存在較大差異，主要原因在于結(jié)合面的影響。由于含潤滑介質(zhì)的正交各向結(jié)合面在整機結(jié)構(gòu)中大量存在，即便是非滑動的固定聯(lián)接面之間，通常也存在潤滑介質(zhì)，完全純凈的接觸表面在實際的機械設備中通常并不存在，所以建立準確的結(jié)合面接觸模型是提高機械整機性能分析準確性的關(guān)鍵［1］。

不同的表面加工方式會產(chǎn)生不同的表面紋理，導致表面接觸特性存在差異。根據(jù)表面紋理特征的不同，常見的機械加工表面可以分為各向同性結(jié)合面和各向異性結(jié)合面。文獻［2?6］探討了不含潤滑介質(zhì)的各向異性結(jié)合面的接觸特性，文獻［7?9］研究了含潤滑介質(zhì)的各向同性結(jié)合面的接觸特性。

在各向異性結(jié)合面的研究中，Chung等［2］將微凸體形狀假設為橢球體，考慮不同橢圓率對接觸點接觸變形的影響，構(gòu)建了粗糙表面橢球形微凸體彈塑性微觀接觸的分形模型，但該模型并未對接觸剛度進行分析。Buczkowski等［3］應用統(tǒng)計模型對各向異性粗糙表面的接觸特性進行研究，認為微凸體峰頂可以用橢圓拋物線表示。王世軍等［4］提出一種結(jié)合部法向剛度預估方法，采用接觸表面的二維輪廓測量數(shù)據(jù)建立接觸分析模型，預測相互接觸的兩個各向異性表面在加工紋理相同時的接觸剛度。劉偉強等［5］通過映射法求解出曲面曲率，并依據(jù)Hertz曲面接觸理論，提出了橢圓拋物體形微凸體彈性接觸的建模方法。譚文兵等［6］應用各向異性分形幾何理論，將微凸體形狀等效為拋物面形，對結(jié)合面的法向接觸剛度進行分析。

針對含潤滑介質(zhì)的結(jié)合面接觸特性，屈重年等［7］基于分形理論和平均雷諾方程，推導出結(jié)合面的固體接觸剛度和液體的等效接觸剛度，提出了兩個粗糙接觸表面在含潤滑介質(zhì)狀態(tài)下的動態(tài)剛度建模方法。高志強等［8］基于GW，KKE和AF模型，結(jié)合流體動力潤滑方程，研究了動態(tài)載荷對固?液結(jié)合面接觸特性的影響。李玲等［9］對等效潤滑介質(zhì)厚度與固體剛度之間的關(guān)系進行研究，求解了流、固兩種剛度的耦合解析式，建立了混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面的動態(tài)接觸剛度模型。

本文應用含橢圓修正因子的Hertz接觸理論和考慮潤滑介質(zhì)的側(cè)向泄漏的平均雷諾方程，研究了含潤滑介質(zhì)的正交各向異性結(jié)合面的接觸特性，分析了相關(guān)參數(shù)對結(jié)合面的法向接觸剛度的影響規(guī)律，最后將試驗模型和有限元分析模型得到的固有頻率對比，建立了結(jié)合面的法向接觸剛度模型。

1 正交各向異性結(jié)合面

平面磨削的表面，微觀紋理表現(xiàn)出正交各向異性特性，兩個這樣的粗糙表面按照相同紋理方向組成的結(jié)合面，也表現(xiàn)出正交各向異性。圖1為粗糙度Ra=0.8的平面磨削表面。對于正交各向異性結(jié)合面，其表面上帶有條形紋理，且紋理具有方向性，為了使建立的模型更符合紋理特征，本文將正交各向異性結(jié)合面上微凸體的形狀等效為橢球形。假設橢圓接觸面的長軸與粗糙表面上順紋理方向相同，忽略橢球形微凸體之間相互作用對接觸特性的影響。

2 含潤滑介質(zhì)的結(jié)合面建模

圖2（a）為含潤滑介質(zhì)的結(jié)合面法向接觸示意圖。將結(jié)合面的彈性接觸等效為剛性理想平面與單個粗糙面的接觸，如圖2（b）所示，其中h表示剛性理想平面與單個粗糙表面的法向距離。依據(jù)文獻［10］，將結(jié)合面的法向接觸剛度Kn按照并聯(lián)彈簧模型等效為固體接觸剛度Ka與流體剛度Kl，如圖2（c）所示。

結(jié)合面的法向接觸剛度為：

3 結(jié)合面固體剛度建模

3.1 橢球形微凸體的接觸模型

圖3表示兩個橢球形微凸體正向接觸的幾何形狀。

5 分析結(jié)果與討論

圖8為不同分形參數(shù)D下A*r與K*n的關(guān)系曲線，分別選取A*r=0～0.5，η=0.018 Pa?s，G*=1×10?9，φ=0.1，D=1.2～1.9。圖9為分形維數(shù)D=1.4時G*與K*n的關(guān)系曲線，分別選取G*為1×10?9， 1×10?10， 1×10?11。圖10為分形維數(shù)D=1.6時η與K*n的關(guān)系曲線，分別選取η為0.018， 0.15和0.4 Pa?s。圖11為分形維數(shù)D=1.4時φ與K*n的關(guān)系曲線，分別選取φ為0.01， 0.1， 1。圖12為分形維數(shù)D=1.6時A*r與K*的關(guān)系曲線，其中K*包括結(jié)合面的無量綱法向接觸總剛度K*n、固體接觸剛度K*a與流體剛度K*l。圖13為潤滑介質(zhì)側(cè)向泄漏對K*n的影響曲線。圖14為結(jié)合面紋理方向?qū)*n的影響曲線。

對圖8～14進行分析可得如下結(jié)果：

（a） 根據(jù)圖8可知，當Dlt;1.4時，隨著A*r的增大K*n反而減??；當Dgt;1.4時，隨著A*r的增大K*n呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢。由圖8還可以看出，當Dlt;1.7時，K*n與A*r具有明顯的非線性關(guān)系；當Dgt;1.7時，K*n與A*r呈近似線性關(guān)系。

（b） 根據(jù)圖9可知，隨著G*的增大K*n反而減小，這是因為分形粗糙度越大，結(jié)合面越粗糙，摩擦系數(shù)越大，導致結(jié)合面的法向接觸剛度降低。

（c） 根據(jù)圖10可知，隨著η的增大K*n也在逐漸增大。

（d） 根據(jù)圖11可知，當φ增大，K*n也隨之增大，材料的屈服強度增大，無量綱臨界接觸面積呈現(xiàn)減小的趨勢。粗糙表面間彈性接觸面積的增加，導致結(jié)合面的法向接觸剛度增大。

（e） 圖12為K*n，K*a，K*l與A*r的關(guān)系曲線。當A*rlt;0.05時，K*l對K*n的影響較大；隨著A*r逐漸增大，K*a逐漸成為影響K*n的主要因素。

（f） 根據(jù)圖13可知，與考慮潤滑介質(zhì)側(cè)向泄漏時的K*n相比，不考慮潤滑介質(zhì)側(cè)向泄漏時的K*n較大。這是因為不考慮潤滑介質(zhì)側(cè)向泄露時的法向載荷為式（56），考慮潤滑介質(zhì)側(cè)向泄露時的法向載荷為式（57）。公式（57）在公式（56）的基礎上引入取值范圍在0.421～1之間的修正系數(shù)κ。但隨著真實接觸面積的增加，兩種情況下的K*n越來越接近。

（g） 由圖14可以看出，若考慮結(jié)合面加工紋理方向為各向同性，則整個結(jié)合面的法向接觸載荷和法向接觸剛度都將增大，但增大的趨勢不明顯。這是因為各向同性結(jié)合面只是正交各向異性結(jié)合面的一種特殊情況。

6 試驗及有限元驗證

圖15中的試驗裝置包含兩個金屬板與四個M20螺栓。上、下試樣用螺栓固定，兩金屬板接觸面為具有正交各向異性特性的平面磨削表面。

上金屬板的材料為鋼，下金屬板的材料為鑄鐵。上下金屬板長400 mm，寬300 mm，厚度分別為25 mm和40 mm。兩個金屬板表面并未完全接觸，在上金屬板的接觸表面加工凹槽，凹槽尺寸為寬200 mm，深5 mm，上、下金屬板的材料特性參數(shù)如表2所示。

6.1 試樣表面形貌分析

本文選用徠卡共聚焦顯微鏡DCM3D對試樣真實表面進行測量。采樣間隔在x， y方向均為1 μm，z方向均為0 μm，采樣區(qū)域為1000×1000 μm2。圖16為試樣表面的輪廓圖。圖17為上、下試樣的表面輪廓曲線。

本文使用功率譜密度法（PSD）［21］得到上、下試樣的分形維數(shù)D分別為1.855和1.903，分形粗糙度G分別為7.837×10?11和2.041×10?10。

6.2 試驗模態(tài)分析

錘擊法模態(tài)試驗裝置如圖18所示。在金屬板表面布置9個激振點，并在金屬板邊緣均勻排布8個加速度傳感器拾振，傳感器的相關(guān)參數(shù)如表3所示。

使用阿爾泰USB2085動態(tài)數(shù)據(jù)采樣儀對數(shù)據(jù)進行采集和轉(zhuǎn)化。最后對已獲取信號進行時域、頻域分析來獲取模型的固有頻率。

結(jié)合面法向面壓選取最大值1.0 MPa，試驗中接觸面的名義接觸面積為0.08619 m2，每個螺栓上的擰緊力矩為86.2 N?m。試驗振型如圖19所示，從上到下分別為第一階振型，第二階振型，第三階振型。

6.3 有限元建模及結(jié)果

對上述試驗裝置進行有限元建模分析［1，23］。本文應用文獻［24?26］提出的虛擬材料的方法，將結(jié)合面剛度模型用以下參數(shù)來等效：

式中 εy表示切向應變，分析得εy=0，則式（63）為0。

（6）虛擬材料厚度為1 mm。

選擇8節(jié)點的SOLID185類型單元，將模型共劃分為11140個單元，其中虛擬薄層數(shù)量為852個，如圖20所示。

將非線性的有限元模型線性化后，建立包含常剛度接觸層的有限元整機線性模型。通過對整機線性模型的模態(tài)分析獲得包含接觸層影響的整機振型。圖21為有限元仿真第一階到第三階振型。

圖22為有限元仿真計算流程。首先，建立粗糙表面接觸特性理論模型。其次，基于虛擬材料法建立包含粗糙表面接觸特性的有限元整機結(jié)構(gòu)模型。通過非線性靜力分析獲得接觸層在工作載荷下的接觸剛度。其中，接觸剛度包含固體部分的接觸剛度和基于接觸變形求得的流體剛度，此時的接觸剛度為非線性。由于整機結(jié)構(gòu)在工作時的載荷波動遠小于靜載荷，可以認為結(jié)構(gòu)工作時的接觸層剛度保持不變，這樣非線性的有限元模型可以線性化。最后，靜力分析獲得的接觸層剛度可以導入到模態(tài)分析模型中，這樣得到的包含虛擬材料接觸層的有限元整機模態(tài)分析模型是一個線性模型。通過對整機線性模型的模態(tài)分析可以獲得包含接觸層影響的整機振型和固有頻率。

6.4 試驗結(jié)果對比

為了驗證本文建立模型的有效性，將有限元仿真固有頻率與試驗獲得的固有頻率進行對比。

表4中對比了擰緊力矩分別為10，20，30 N·m的有限元仿真固有頻率與試驗獲得的固有頻率。由表4可以看出，含潤滑介質(zhì)條件下的試驗和有限元仿真獲得的固有頻率比不含潤滑介質(zhì)條件下的試驗和有限元仿真獲得的固有頻率更高。這是因為在含潤滑介質(zhì)的正交各向異性結(jié)合面的法向接觸總剛度的計算中，不僅考慮了微凸體的接觸剛度，還考慮了潤滑介質(zhì)的剛度。

表5給出了含潤滑介質(zhì)條件下有限元仿真固有頻率與試驗固有頻率的相對誤差。由表5可以看出，在螺栓分別承受力矩為10，20，30 N?m工況下，含潤滑介質(zhì)條件下有限元仿真固有頻率與試驗固有頻率的相對誤差在0.65%～4.11%之間。

圖23是根據(jù)含潤滑介質(zhì)、無潤滑介質(zhì)情況下固有頻率之間的相對誤差擬合出的曲線。由圖23可以看出，不論是試驗測量還是有限元仿真獲得的固有頻率都隨著預緊力的增大而增大，這是因為增大螺栓的預緊力會使結(jié)合面的實際接觸面積增大，導致結(jié)合面的接觸剛度變大，從而使系統(tǒng)的固有頻率增大。

7 結(jié) 論

（1）對影響結(jié)合面的法向接觸剛度的不同因素分析得出：當結(jié)合面剛發(fā)生接觸時，流體剛度對結(jié)合面的法向接觸剛度的影響較為明顯，隨著接觸壓力升高，固體接觸剛度成為影響結(jié)合面的法向接觸剛度的主要因素。

（2）含潤滑介質(zhì)的正交各向異性結(jié)合面的法向接觸剛度K*n與D， η及φ呈單調(diào)遞增關(guān)系，與G*呈單調(diào)遞減關(guān)系。

（3）在含潤滑介質(zhì)的正交各向異性結(jié)合面的法向接觸總剛度的計算中，不僅考慮了微凸體的接觸剛度，還考慮了潤滑介質(zhì)的影響，因此，含潤滑介質(zhì)條件下的試驗和有限元仿真獲得的固有頻率，比不含潤滑介質(zhì)條件下的試驗和有限元仿真獲得的固有頻率有顯著提高，表明整機分析中有必要考慮結(jié)合面中潤滑介質(zhì)的影響。

（4）含潤滑介質(zhì)條件下，有限元仿真的前三階振型與模態(tài)試驗的前三階振型一致，有限元仿真的固有頻率與模態(tài)試驗的固有頻率相比，最大相對誤差為4.11%，證明本文提出的含潤滑介質(zhì)的正交各向異性結(jié)合面的法向接觸剛度模型是合理的，可以較準確地預測結(jié)合面的接觸性能。

參考文獻

1王世軍， 趙金娟. 機械工程中的有限元方法［M］. 北京： 科學出版社， 2019： 239-241.

Wang Shijun，Zhao Jinjuan. Finite Element Methods in Mechanical Engineering［M］. Beijing： Science Press，2019： 239-241.

2Chung J C， Lin J F. Fractal model developed for elliptic elastic-plastic asperity microcontacts of rough surfaces［J］. Journal of Tribology， 2004， 126（4）： 646-654.

3Buczkowski R， Kleiber M. Elasto-plastic statistical model of strongly anisotropic rough surfaces for finite element 3D-contact analysis［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2006， 195（37-40）： 5141-5161.

4王世軍， 趙金娟， 張慧軍， 等. 一種結(jié)合部法向剛度的預估方法［J］. 機械工程學報， 2011， 47（21）： 111-115.

WANG Shijun， ZHAO Jinjuan， ZHANG Huijun， et al. A prediction method for the normal stiffness of the joint［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2011， 47（21）： 111-115.

5劉偉強， 張進軍， 洪軍， 等. 橢圓拋物體形微凸體彈性接觸力學模型［J］. 西安交通大學學報， 2015， 49（10）： 34-40.

LIU Weiqiang， ZHANG Jinjun， HONG Jun， et al. Elastic contact mechanics model for elliptical parabolic asperity bodies［J］. Journal of Xi'an Jiaotong University， 2015， 49（10）： 34-40.

6譚文兵， 蘭國生， 張學良， 等. 依據(jù)各向異性分形理論的固定結(jié)合面橢圓彈塑性法向接觸剛度建模及仿真分析［J］. 固體力學學報， 2021， 42（1）： 63-76.

TAN Wenbing， LAN Guosheng， ZHANG Xueliang， et al. Modeling and simulation analysis of elliptical normal contact stiffness of fixed bond surfaces based on anisotropic fractal theory［J］. Chinese Journal of Solid Mechanics， 2021， 42（1）： 63-76.

7屈重年， 伍良生， 馬建峰， 等. 基于分形理論多孔含油介質(zhì)結(jié)合面動態(tài)剛度研究［J］. 北京工業(yè)大學學報， 2013， 39（7）： 976-980.

QU Chongnian， WU Liangsheng， MA Jianfeng， et al. Study on the dynamic stiffness of the bond surface of porous oil-bearing media based on fractal theory［J］. Journal of Beijing University of Technology， 2013， 39（7）： 976-980.

8高志強， 路澤鑫， 傅衛(wèi)平， 等. 固-液結(jié)合面法向動態(tài)接觸剛度及阻尼的理論模型與實驗分析［J］. 固體力學學報， 2021，42（6）： 682-696.

GAO Zhiqiang， LU Zexin，F(xiàn)U Weiping， et al. Theo-retical model and experimental analysis of normal dynamic contact stiffness and damping of solid-liquid bond surfaces［J］. Chinese Journal of Solid Mechanics， 2021， 42（6）： 682-696.

9李玲， 裴喜永， 史小輝， 等. 混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面法向動態(tài)接觸剛度與阻尼模型［J］. 振動工程學報， 2021， 34（2）： 243-252.

LI Ling， PEI Xiyong， SHI Xiaohui， et al. Dynamic contact stiffness and damping model normal to the bond surface under mixed lubrication［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（2）： 243-252.

10Johnson K L， Greenwood J A， Poon S Y. A simple theory of asperity contact in elastohydro-dynamic lubrication［J］. Wear， 1972，19（1）：91-108.

11Johnson K L. Contact Mechanics［M］. London： Cambridge University Press， l985： 79-l28.

12韓子銳. 應用橢球面接觸系數(shù)的各向異性結(jié)合面接觸特性研究［D］. 西安： 西安理工大學， 2021.

HAN Zirui. Study on contact characteristics of anisotropic bonding surfaces by applying ellipsoidal contact coefficients［D］. Xi'an： Xi'an University of Technology， 2021.

13Majumdar A A， Bhushan B. Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces［J］. Journal of Tribology， 1990， 112（2）： 205-216.

14Majumdar A， Bhushan B. Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces［J］. Journal of Tribology， 1991， 113（1）： 1-11.

15Wang S， Komvopoulos K. A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime： part I—elastic contact and heat transfer analysis［J］. Journal of Tribology， 1994， 116（4）： 812-822.

16Wang S， Komvopoulos K. A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime： part II—multiple domains， elastoplastic contacts and applications［J］. Journal of Tribology， 1994， 116（4）： 824-832.

17李志濤， 王世軍， 韓子銳， 等. 應用改進分形理論及連續(xù)變形理論的機械結(jié)合面切向剛度建模［J］. 西安交通大學學報， 2020， 54（6）：107-114.

LI Zhitao， WANG Shijun， HAN Zirui， et al. Modeling of tangential stiffness of mechanical joint surface using improved fractal theory and continuous deformation theory［J］. Journal of Xi'an Jiaotong University， 2020， 54（6）： 107-114.

18張學良， 陳永會， 溫淑花， 等. 考慮彈塑性變形機制的結(jié)合面法向接觸剛度建模［J］. 振動工程學報， 2015， 28（1）： 91-99.

ZHANG Xueliang， CHEN Yonghui， WEN Shuhua， et al. A normal contact stiffness model for bond surfaces considering elastic-plastic deformation mechanism［J］. Journal of Vibration Engineering， 2015， 28（1）： 91-99.

19溫詩鑄，黃平. 摩擦學原理［M］. 2版. 北京： 清華大學出版社， 2002.

Wen Shizhu， Huang Ping. Tribology Principle［M］. 2nd ed.Beijing： Tsinghua University Press， 2002.

20Wang Q J， Zhu D， Cheng H S， et al. Mixed lubrication analyses by a macro-micro approach and a full-scale mixed EHL modal［J］. Journal of Tribology， 2016， 126（1）： 81-91.

21Cameron A. Basic Lubrication Theory［M］. 3rd ed. London： Ellis Horwood Press， 1981： 143-144.

22衛(wèi)娟娟. 含油結(jié)合面的接觸特性研究［D］. 西安： 西安理工大學， 2021.

WEI Juanjuan. Study on the contact characteristics of oil-bearing bond surfaces［D］. Xi'an： Xi'an University of Technology， 2021.

23趙金娟， 王世軍， 楊超， 等. 基于橫觀各向同性假定的固定結(jié)合部本構(gòu)關(guān)系及有限元模型［J］. 中國機械工程，2016， 27（8）： 1007-1011.

Zhao Jinjuan， Wang Shijun， Yang Chao， et al. Fixed bond natural structure relationship and finite element model based on transverse isotropic assumption［J］. China Mechanical Engineering， 2016， 27（8）： 1007-1011.

24張學良， 范世榮， 溫淑花， 等. 基于等效橫觀各向同性虛擬材料的固定結(jié)合部建模方法［J］. 機械工程學報， 2017， 53（15）： 141-147.

Zhang Xueliang， Fan Shirong， Wen Shuhua， et al. A fixed bond modeling method based on equivalent transverse isotropic virtual material［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2017， 53（15）： 141-147.

25賈文峰， 張學良， 溫淑花， 等. 基于虛擬材料的結(jié)合面建模與參數(shù)獲取方法［J］. 太原科技大學學報， 2013， 34（5）： 347-351.

Jia Wenfeng， Zhang Xueliang， Wen Shuhua， et al. Virtual material-based bond surface modeling and parameter acquisition method［J］. Journal of Taiyuan University of Science and Technology， 2013， 34（5）： 347-351.

26田紅亮， 劉芙蓉， 方子帆， 等. 引入各向同性虛擬材料的固定結(jié)合部模型［J］. 振動工程學報， 2013， 26（4）： 561-573.

Tian Hongliang， Liu Furong， Fang Zifan， et al. Introduction of isotropic virtual materials for fixed bond models［J］. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（4）： 561-573.