摘要 利用能量法分析筋上含有開口裂縫的四邊簡(jiǎn)支加筋矩形板的橫向振動(dòng)。將矩形板與加強(qiáng)筋沿交界面切開，再將加強(qiáng)筋沿裂縫分成多個(gè)子塊，采用薄板彎曲和平面應(yīng)力理論分別建立矩形板和各子塊的橫向振動(dòng)能量方程，解決了傳統(tǒng)分析方法需給定開裂處筋的彎曲剛度問(wèn)題。采用第一類切比雪夫多項(xiàng)式構(gòu)造矩形板和各子塊的位移試函數(shù)，由Ritz法和板?筋界面變形連續(xù)條件得出含有開口裂縫的加筋矩形板的橫向振動(dòng)特征方程。計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合很好，詳細(xì)分析了裂縫深度和裂縫位置對(duì)無(wú)量綱頻率的影響。

關(guān)鍵詞 加筋矩形板; 橫向振動(dòng); 裂縫; Chebyshev?Ritz法

引 言

加筋板的穩(wěn)定性和承載力較大，因而在土木、機(jī)械等工程中被廣泛應(yīng)用，例如跨度較大的加筋樓板、帶肋的橋面板等結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)初始缺陷和長(zhǎng)期承受動(dòng)荷載作用，加強(qiáng)筋容易產(chǎn)生裂縫。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的分析很多，但是對(duì)于含有開口裂縫的加筋矩形板振動(dòng)特性的研究還相對(duì)較少。因此需要了解此類型加筋矩形板的振動(dòng)特性，為其在工程應(yīng)用中提供一定的理論依據(jù)。

對(duì)于加筋板振動(dòng)特性的分析，通常采用有限元等數(shù)值計(jì)算或者試驗(yàn)測(cè)試。Rao等［1］考慮了加筋板內(nèi)加強(qiáng)筋分布角度的影響，將加筋板離散化，利用Lagrange方程求解加筋板的固有頻率。Samanta等［2］提出了一種通用的三節(jié)點(diǎn)三角形殼單元，可以靈活地分析加筋板的振動(dòng)特性。Peng等［3］基于一階剪切變形理論提出了無(wú)網(wǎng)格伽遼金方法。Bhaskar等［4］使用彈性力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)計(jì)算了四邊簡(jiǎn)支加筋板的無(wú)量綱頻率，并與各種近似模型進(jìn)行了比較。李凱等［5］利用能量泛函變分以及拉格朗日乘子得到加筋板的特征方程。杜菲等［6］利用Rayleigh?Ritz法求解四邊固支加筋板的固有頻率，計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合均較好。游翔宇等［7］運(yùn)用邊光滑有限元方法對(duì)加筋板的靜力問(wèn)題和動(dòng)力問(wèn)題進(jìn)行分析。石鵬［8］建立了曲型加筋板的分析模型，使用較少網(wǎng)格即可得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。裂縫梁模型主要分為張開裂縫模型［9］和呼吸裂縫模型［10?11］。Lee［12］用邊界元法計(jì)算裂縫梁的固有頻率。蔣杰等［13?14］利用能量法和Ritz法分析裂縫梁的自由振動(dòng)。孔成等［15］將裂縫梁分為兩段進(jìn)行研究，給出了懸臂裂縫梁的特征方程，進(jìn)而得到了梁的固有頻率。Xue等［16］研究帶有I型裂紋的矩形板在平行于板邊的一側(cè)加筋后的自由振動(dòng)問(wèn)題。Peng等［17］利用一階剪切變形理論（FSDT），討論了加強(qiáng)筋對(duì)有裂紋的矩形板的位移、應(yīng)力和應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

在大多數(shù)情況下，傳統(tǒng)方法都是使用扭簧近似裂縫處梁的彎曲剛度，梁的固有頻率有無(wú)窮多個(gè)，因此扭簧剛度和裂縫的關(guān)系只能依據(jù)基階頻率近似給出。本文利用Chebyshev?Ritz建立矩形板以及各個(gè)子塊的特征方程，引入位移連續(xù)條件得到含有開口裂縫的加筋矩形板的振動(dòng)特征方程。該方法無(wú)需使用裂縫等效剛度，具有簡(jiǎn)單直接的特點(diǎn)。

1 加筋矩形板橫向振動(dòng)分析模型

1.1 含有開口裂縫的加筋矩形板模型

圖1為一加筋矩形板，矩形板下表面有單根帶裂縫加強(qiáng)筋。其中矩形板的長(zhǎng)度，寬度和厚度分別為a，b和h。加強(qiáng)筋的寬度和高度分別為B和H。加強(qiáng)筋的裂縫考慮為開口型，即裂縫在荷載作用下不會(huì)閉合。矩形板的密度為ρ，泊松比為μ，彈性模量為E。如無(wú)特別說(shuō)明，加強(qiáng)筋與矩形板的材料相同。建立如圖1所示坐標(biāo)系，加強(qiáng)筋在y=0處，矩形板和加強(qiáng)筋任一點(diǎn)沿z方向的位移為w（x，y，t），加強(qiáng)筋任一點(diǎn)沿x方向的位移為u（x，y，t）。

1.2 矩形板的橫向振動(dòng)分析

由于矩形板的平面尺寸比厚度大得多，可用薄板理論進(jìn)行分析，從而忽略水平方向的慣性力，只考慮板的橫向慣性力。

基于薄板理論，矩形板橫向振動(dòng)的應(yīng)變能和動(dòng)能［18］分別為：

2 收斂性分析及有限元對(duì)比

考慮一裂縫位于加強(qiáng)筋跨中，裂縫位置a2/a=0.5，裂縫深度H2/H=0.5，板四邊簡(jiǎn)支加強(qiáng)筋兩端也為簡(jiǎn)支。為便于計(jì)算，各個(gè)振型函數(shù)選取相同的切比雪夫項(xiàng)數(shù)。表1給出了不同參數(shù)以及不同級(jí)數(shù)項(xiàng)下的無(wú)量綱固有頻率Ω。

從表1中可知，本文方法具有快速收斂性。在級(jí)數(shù)項(xiàng)取30×30時(shí)能夠達(dá)到三位有效數(shù)字精度，故后文計(jì)算中級(jí)數(shù)項(xiàng)均取為30×30。

由式（39）求得頻率并得到系數(shù)特征向量，分別代入式（7）和（16）可獲得矩形板和加強(qiáng)筋的各階模態(tài)。圖3為四邊簡(jiǎn)支含開口裂縫的加筋矩形板的前三階模態(tài)圖。

為驗(yàn)證方法的正確性，將本文解與有限元解進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。加筋矩形板的材料參數(shù)為：彈性模量E=68.9GPa，密度ρ=2670kg/m3，泊松比μ=0.3，有限元模擬使用ABAQUS軟件，板采用殼單元S4R，加強(qiáng)筋采用實(shí)體單元C3D8R，共計(jì)12050個(gè)單元，板四邊為簡(jiǎn)支，加強(qiáng)筋兩端也為簡(jiǎn)支。對(duì)比分析了三個(gè)不同參數(shù)的加筋矩形板，裂縫固定于加強(qiáng)筋的跨中a2/a=0.5，裂縫深度為H2/H=0.2。以有限元結(jié)果作為基準(zhǔn)，表2顯示本文解與有限元解的最大誤差只有2.13%，顯示出本文結(jié)果的可信性。

3 參數(shù)分析

分析裂縫深度以及裂縫位置對(duì)四邊簡(jiǎn)支含開口裂縫的加筋矩形板振動(dòng)頻率的影響，圖4給出了a/h=100，H/h=2.45，b/B=100時(shí)，不同裂縫位置a2/a下前三階無(wú)量綱固有頻率隨裂縫深度H2/H的變化。

由圖4可知，無(wú)量綱頻率隨裂縫深度增加而減小。對(duì)于一階頻率，裂縫越靠近加強(qiáng)筋的中部影響越大；對(duì)于二階頻率，因矩形板的變形為反對(duì)稱，裂縫處于對(duì)稱軸上，所以裂縫對(duì)頻率幾乎沒(méi)有影響；對(duì)于三階頻率，裂縫越靠近板振型的峰部影響越大。

4 結(jié) 論

基于薄板理論和平面應(yīng)力理論，利用Chebyshev?Ritz法建立了裂縫梁加筋矩形板的特征方程。分析了裂縫參數(shù)（裂縫位置、裂縫深度）對(duì)無(wú)量綱頻率的影響。計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比吻合良好。結(jié)論如下：

（1）裂縫導(dǎo)致四邊簡(jiǎn)支加筋板的各階固有頻率均下降。

（2）對(duì)于四邊簡(jiǎn)支加筋板，裂縫深度以及位置對(duì)于頻率的影響與板的振型有關(guān)。當(dāng)加強(qiáng)筋裂縫靠近板振型的節(jié)線時(shí)，裂縫的影響很小；當(dāng)加強(qiáng)筋裂縫靠近板振型的峰值時(shí)，裂縫的影響最大。

（3）將加強(qiáng)筋沿裂縫分成三個(gè)子梁采用平面彈性力學(xué)理論分析，與常規(guī)采用無(wú)質(zhì)量扭簧近似裂縫處梁的彎曲剛度的方法相比，具有分析簡(jiǎn)單直接的特點(diǎn)，無(wú)需事先確定裂縫的等效剛度。

參考文獻(xiàn)

1Rao S R， Sheikh A H， Mukhopadhyay M. Large-amplitude finite element flexural vibration of plates/stiffened plates［J］. The Journal of the Acoustical Society of America， 1993， 93（6）： 3250-3257.

2Samanta A， Mukhopadhyay M. Free vibration analysis of stiffened shells by the finite element technique［J］. European Journal of Mechanics-A/Solids， 2004， 23（1）： 159-179.

3Peng L X， Liew K M， Kitipornchai S. Buckling and free vibration analyses of stiffened plates using the FSDT mesh-free method［J］. Journal of Sound amp; Vibration， 2006， 289（3）： 421-449.

4Bhaskar K， Pydah A. An elasticity approach for simply-supported isotropic and orthotropic stiffened plates［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2014， 89： 21-30.

5李凱， 何書韜， 邱永康， 等. 附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板的自由振動(dòng)分析［J］. 中國(guó)艦船研究， 2015， 10（5）： 66-70.

Li Kai， He Shutao， Qiu Yongkang， et al. Free vibration analysis of rectangular stiffened plates with several lumped mass［J］. Chinese Journal of Ship Research， 2015， 10（5）： 66-70.

6杜菲， 馬天兵， 錢星光， 等. 基于Rayleigh-Ritz法的四邊固支加筋板振動(dòng)研究［J］. 科學(xué)技術(shù)與工程， 2017， 17（11）： 137-142.

Du Fei， Ma Tianbing， Qian Xingguang， et al. Vibration research of stiffened plate with four edges clamped based on Rayleigh-Ritz method［J］. Science Technology and Engineering， 2017， 17（11）： 137-142.

7游翔宇， 鄭文成， 李威， 等. 基于邊光滑有限元法的加筋板靜力和自由振動(dòng)分析［J］. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 35（1）： 28-34.

You Xiangyu， Zheng Wencheng， Li Wei， et al. Static and free vibration analysis of stiffened plates by ES?FEM using triangular element［J］. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2018， 35（1）： 28-34.

8石鵬. 曲型加筋板、殼結(jié)構(gòu)的建模方法與分析研究［D］. 北京： 北京理工大學(xué)， 2015.

Shi Peng. Modeling method and analytical investigation of curved stiffened plate and shell structure［D］. Beijing： Beijing Institute of Technology， 2015.

9Fekrazadeh S， Khaji N. An analytical method for crack detection of Timoshenko beams with multiple open cracks using a test mass［J］. European Joural of Enviromental Civil Engineering， 2017， 21（1）： 24-41.

10Chondros T G， Dimarogonas A D， Yao J. Vibration of a beam with a breathing crack［J］. Journal of Sound amp; Vibration， 2001， 239（1）： 57-67.

11Rezaee M， Hassannejad R. A new approach to free vibration analysis of a beam with a breathing crack based on mechanical energy balance method［J］. Acta Mechanica Solida Sinica， 2011， 24（2）： 185-194.

12Lee J. Identification of a crack in a beam by the boundary element method［J］. Journal of Mechanical Science amp; Technology， 2010， 24（3）： 801-804.

13蔣杰， 周叮. 兩端有裂紋固支深梁的振動(dòng)特性分析［J］. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)， 2018， 39（增刊2）： 183-190.

Jiang Jie， Zhou Ding. Analysis of vibration characteristics of clamped-clamped deep beams with cracks at ends［J］. Journal of Building Structures， 2018， 39（Sup2）： 183-190.

14蔣杰， 周叮， 胡朝斌. 基于彈性力學(xué)的端部有裂縫懸臂梁的自由振動(dòng)分析［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2019， 38（15）： 196-201.

Jiang Jie， Zhou Ding， Hu Chaobin. Free vibration of a cantilever beam with a crack at clamped end based on elasticity theory［J］. Journal of Vibration and Shock， 2019， 38（15）： 196-201.

15孔成， 續(xù)秀忠. 含裂紋懸臂梁的振動(dòng)特性分析［J］. 噪聲與振動(dòng)控制， 2016， 36（5）： 31-33.

Kong Cheng， Xu Xiuzhong. Analysis of vibration characteristics of cracked cantilever beams［J］. Noise and Vibration Control， 2016， 36（5）： 31-33.

16Xue J， Wang Y F. Free vibration analysis of a flat stiffened plate with side crack through the Ritz method［J］. Archive of Applied Mechanics， 2019， 89（10）： 2089-2102.

17Peng L X， Tao Y P， Liang N， et al. Simulation of a crack in stiffened plates via a meshless formulation and FSDT［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2017， 131-132： 880-893.

18李國(guó)榮， 王磊， 胡朝斌， 等. 典型邊界條件下加筋矩形板的橫向振動(dòng)特性分析［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2020， 39（16）： 261-266.

Li Guorong， Wang Lei， Hu Chaobin， et al. Analysis of transverse vibration characteristics for stiffened rectangular plates with classical boundary conditions［J］. Journal of Vibration and Shock， 2020， 39（16）： 261-266.

19Zhou D， Cheung Y K， Au F T K， et al. Three-dimensional vibration analysis of thick rectangular plates using Chebyshev polynomial and Ritz method［J］. International Journal of Solids amp; Structures， 2002， 39（26）： 6339-6353.