摘" 要：以設(shè)計推導(dǎo)點到直線的距離公式的運算思路為例，給出了解析幾何中運用幾何眼光觀察問題的教學(xué)案例；明確了以問題背景，以代數(shù)結(jié)構(gòu)和變化過程為觀察對象，以幾何圖形、幾何意義和幾何不變關(guān)系的提取為觀察結(jié)果. 并從運算路徑的自然優(yōu)化、以形啟算的思維特點、在計算空間距離時向量方法具有的根本性、表征的多樣化和聯(lián)結(jié)的多維度等特點進行了深入的教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：解析幾何；數(shù)學(xué)運算；幾何眼光；點到直線的距離公式

一、問題提出

用代數(shù)方法研究幾何問題是解析幾何的核心思想. 在解析幾何中發(fā)展和提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）規(guī)定的教學(xué)要求. 然而，在解析幾何的學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生因為不能順利完成代數(shù)運算而導(dǎo)致求解失敗. 章建躍博士認為，這是因為在當(dāng)前的教學(xué)中，教師讓學(xué)生解的基本上是“偽解析幾何問題”，學(xué)生缺少用幾何眼光觀察問題的過程，從幾何角度對問題的分析不充分，對圖形的要素及其基本關(guān)系理解不夠，把坐標(biāo)法異化成了純粹的代數(shù)運算.

點到直線的距離公式的推導(dǎo)是學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中面臨的第一個具有較大運算量的問題. 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用幾何眼光探尋運算路徑，對于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何中的數(shù)學(xué)運算具有首因效應(yīng). 特別地，教師對觀察目標(biāo)的正確篩選、對觀察對象的有效提取、對觀察結(jié)果的合理表征等思維環(huán)節(jié)的分析與引導(dǎo)，具有強烈的示范引領(lǐng)作用. 學(xué)生的實踐操作和積極反思也是積累數(shù)學(xué)運算經(jīng)驗的主要途徑. 以下是筆者的教學(xué)與思考，期望得到大家的批評和指正.

二、教學(xué)簡錄

1. 學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是普通高中的高二學(xué)生，他們學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好、探究意識強. 經(jīng)過平面幾何和立體幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生明確了點到直線的距離的定義為垂線段的長度；經(jīng)過函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解了點到直線的距離本質(zhì)上是點與直線上動點間距離的最小值；在平面向量的學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累了用向量方法研究幾何問題的活動經(jīng)驗. 學(xué)生這些已有的經(jīng)驗既是推導(dǎo)點到直線的距離公式的認知基礎(chǔ)，也表明了他們具備一定的幾何眼光，能從幾何視角進行觀察與分析. 但是學(xué)生剛接觸解析幾何的內(nèi)容，對用代數(shù)方法研究幾何問題的解析法感受還不深刻，對解析幾何中數(shù)學(xué)運算的理解還很膚淺.

2. 教學(xué)片斷

（1）觀察問題背景，提取幾何圖形.

教師提出問題：求坐標(biāo)原點到直線[2x+3y-6=0]的距離. 學(xué)生寫出垂線的方程，解出垂足的坐標(biāo)，進而求得垂線段的長度.

教師將問題一般化：求直線[l：Ax+By+C=0]（[A，B]不同時為[0]）外一點[Px0，y0]到直線[l]的距離.

部分學(xué)生在求解垂足坐標(biāo)時遇到障礙，教師鼓勵學(xué)生在進行字母運算時要耐心細致. 待學(xué)生完成求解后，教師出示圖1，并要求學(xué)生觀察線段[OQ]可以看成哪類圖形的幾何元素？并引導(dǎo)學(xué)生思考，如何利用圖形特征計算線段[OQ]的長度？

生1：把[OQ]看成[Rt△OMN]斜邊上的高，在[Rt△OMN]中運用等積法計算[OQ]的長度.

生2：將[OQ]看成[Rt△OMQ]或[Rt△ONQ]的直角邊，用三角函數(shù)的定義求其長度.

師：選擇其中一個圖形計算[OQ]的長度，比較其與解垂足坐標(biāo)的運算繁雜程度，并思考引起變化的原因.

生：用圖形求解運算簡潔，因為既不需要寫出垂線的方程，也不必求出垂足的坐標(biāo).

師：那是因為寫垂線方程和解垂足坐標(biāo)的運算被圖形的性質(zhì)代替了. 如圖2，如果定點[P]不是坐標(biāo)原點而是一般化的點，還能用圖形求解線段[PQ]的長度嗎？

生3：沒有現(xiàn)成的直角三角形使[PQ]成為它的高或者直角邊了.

生4：如圖3，過點[P]分別作[x]軸和[y]軸的平行線，交直線[l]于點[N，M，] 則[PQ]是[Rt△PMN]的高，也是[Rt△PMQ]和[Rt△PNQ]的直角邊.

師：這是提取平面直角坐標(biāo)系的“二維方向”并構(gòu)造直角三角形，從而將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)求解過的問題，后續(xù)的推導(dǎo)大家自行完成.

（2）觀察代數(shù)結(jié)構(gòu)，提取幾何意義.

探尋代數(shù)結(jié)構(gòu)的幾何意義是深層次運用幾何眼光的體現(xiàn). 解析幾何運算過程中的代數(shù)式不是臆想捏造的，而是可以追溯到幾何淵源的，其中蘊含的幾何關(guān)系是幾何眼光的觀察對象. 對這些幾何關(guān)系的有效提取是運算思路的分析入口.

師：經(jīng)過剛才的探究過程，我們已經(jīng)知道利用幾何圖形的特征可以簡化運算. 然而，一些數(shù)學(xué)公式本身就是文字化的圖形. 例如，兩點間的距離公式[d=][x1-x02+y1-y02.] 你從中看到了什么圖形？

生5：如圖4，看到了直角三角形，即以[x1-x0]和[y1-y0]為直角邊的[Rt△PMQ]的斜邊. 這個公式就是勾股定理的具體表現(xiàn)形式.

師：由此表明，運算結(jié)論是用直角邊表示的代數(shù)式，若運算條件也是用直角邊表示的代數(shù)式，則運算的方向和運算路徑就會變得清楚明了.

生6：如圖4，設(shè)直線[l]的方程為[Ax+By+C=0，] 我發(fā)現(xiàn)由[PQ⊥l]得出的[Bx1-x0-Ay1-y0=][0]①是含有直角邊的等式，但是由[Qx1，y1]在直線[l]上得出的[Ax1+By1+C=0]卻是不含有直角邊的等式.

生7：可以將[Ax1+By1+C=0]按照直角邊的代數(shù)表示變形為[Ax1-x0+By1-y0=-Ax0-By0-C]②，聯(lián)立①②解出[x1-x0，y1-y0.] 代入距離公式化簡，即得[d=Ax0+By0+CA2+B2.]

教師總結(jié)：雖然這也是在解含字母的方程組，但是由于方程的幾何意義溝通了運算條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而使得運算方向清晰明確，更容易求解.

教師進一步引導(dǎo)：向量是兼具長度和方向的數(shù)學(xué)模型，可以用來表達與方向有關(guān)的幾何對象. 例如，直線的方向向量和法向量. 而且向量的運算把平行、垂直和夾角等幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成了具有特定結(jié)構(gòu)的代數(shù)式. 這些特定結(jié)構(gòu)也是幾何眼光的觀察對象和運算思路的分析入口. 觀察上述①②兩式，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：①式是[PQ]與直線[l]的方向向量[e=B，-A]的數(shù)量積，即[PQ ? e=0.]

生9：②式的左邊是[PQ]與直線[l]的法向量[n=A，B]的數(shù)量積. 因為[PQ⊥l，] 所以[n∥PQ.] 所以②式的左邊可以變形為[PQ ? n=±PQn=±dA2+B2，] 即[±dA2+B2=][-Ax0-By0-C.] 由此解得[d=Ax0+By0+CA2+B2.]

教師總結(jié)：我們從運算目標(biāo)和運算條件的代數(shù)結(jié)構(gòu)中提取了勾股定理、向量運算等幾何意義. 根據(jù)幾何意義設(shè)置運算路徑，實現(xiàn)了點到直線的距離公式的推導(dǎo). 在此過程中，我們遵循“通過幾何圖形建立直觀，通過代數(shù)公式表達規(guī)律”的思維路徑，建立了點到直線的距離與向量、直角三角形等知識之間的意義聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)了對公式意義的深刻理解.

（3）觀察變化過程，提取幾何關(guān)系.

變化觀點和變量思想的融入使得解析幾何的研究視角和研究方法都發(fā)生了重大變化. 觀察和提取變化過程中的幾何不變關(guān)系和幾何不變量，是解析幾何中數(shù)學(xué)運算的內(nèi)在要求，是幾何眼光在更深層次的運用，能推動學(xué)生的運動變化觀念向縱深發(fā)展.

師：如圖5，點到直線的距離是垂直關(guān)系的外延. 因此，利用[PQ⊥l]就能直接構(gòu)造直角三角形而無須提取坐標(biāo)系的“二維方向”. 在直線[l]上任取不同于點[Q]的點[S]即可得到[Rt△PQS.] 那么前后兩次構(gòu)造的直角三角形有何差異？

生10：[Rt△PQS]的斜邊[PS]和直角邊[QS]都具有任意性，而通過提取坐標(biāo)系的“二維方向”構(gòu)造的直角三角形的邊和角都是固定的.

師：利用圖5中的[Rt△PQS，] 還能根據(jù)等積法或三角函數(shù)的定義求[PQ]的長度嗎？為什么？

生：不能，因為[Rt△PQS]的邊長和內(nèi)角都是變化的.

師：雖然點[S]的任意性破壞了邊[PS]和[∠SPQ]的恒定性，但是垂線段[PQ]的位置和長度都不會隨點[S]的任意性而改變，你能表示這種關(guān)系嗎？

生11：[PQ=PScos∠SPQ.]

師：如果將[∠SPQ]看成向量[PS]和[PQ]的夾角，這個關(guān)系式有什么意義？

生12：因為[cos∠SPQ=PS ? PQPSPQ，] 所以[PQ=PS ? PQPQ.] 因為[PQ⊥l，] 所以[PQ]是直線[l]的法向量. 所以垂線段[PQ]的長等于[PS]在直線[l]的法向量上的投影向量的長.

生13：因為[PQPQ]是單位向量，所以點[P]到直線[l]的距離是[PS]與直線[l]單位法向量的數(shù)量積.

師：很好！由直線[l]的方程[Ax+By+C=0]可得其單位法向量[PQPQ=1A2+B2A，B.] 設(shè)直線[l]上任意一點[Sx，y，] 則有[PS=x-x0，y-y0，Ax+By=-C.] 由此進行向量數(shù)量積運算，得[PS ? PQ=x-x0，y-y0 · A，B=][Ax-x0+By-y0=-C-Ax0-By0.] 所以[PQ=x-x0，y-y0 · ?A，BA2+B2=][Ax0+By0+CA2+B2.]

教師總結(jié)：點[P]到直線[l]的距離本質(zhì)上是選擇的參考向量[PS]在直線[l]的法向量上的投影向量的長度，這是計算空間距離的通法. 此例中，由于直線[l]上的點[S]具有任意性，故參考向量[PS]具有靈活性，但其在法向量上的投影向量是不變的. 這種幾何不變關(guān)系和幾何不變量是幾何眼光的觀察對象，也是設(shè)計運算路徑的思維指向.

三、教學(xué)思考

1. 優(yōu)化運算路徑應(yīng)基于學(xué)生的自然想法

用計算垂足坐標(biāo)的思路推導(dǎo)點到直線的距離公式是學(xué)生最自然的想法. 這種運算路徑雖然復(fù)雜，但不能被摒棄，而應(yīng)該以此為教學(xué)的起點. 而且，直接使用圖形解法或向量方法雖然能簡捷地推出點到直線的距離公式，但是因為學(xué)生沒有經(jīng)歷復(fù)雜的運算，不清楚舍棄自然想法的緣由，他們也就缺乏尋找簡捷運算的動力，所以那樣的教學(xué)看似高效，實則是教師的一廂情愿，其效果無異于直接灌輸. 然而，推導(dǎo)點到直線的距離公式的運算思路又不應(yīng)該停留在計算垂足坐標(biāo)的層面上. 因為計算垂足坐標(biāo)只需要執(zhí)行解方程的變形步驟就能完成，運算對象和運算路徑也基本固化，所以不再需要幾何眼光的觀察等思維活動的參與. 長此以往，容易讓學(xué)生形成“只要有了曲線方程，不需要幾何參與，只需要代數(shù)運算就能解決問題”的片面認知. 這不利于學(xué)生形成正確的解析幾何學(xué)科觀念.

2. 形成運算路徑應(yīng)體現(xiàn)以形啟算的特點

解析幾何中的問題是幾何問題，代數(shù)運算只是解決幾何問題的手段. 對幾何問題的觀察與分析，需要站在幾何的立場、秉持幾何學(xué)科特性的視角，運用幾何眼光進行觀察與分析. 幾何眼光是生發(fā)于幾何學(xué)科特性的一種數(shù)學(xué)眼光. 在解析幾何的運算中，幾何眼光具有以形啟算的功能，主要用于分析運算條件、選擇運算對象和確定運算思路. 具體表現(xiàn)為：觀察問題時遵從研究幾何圖形的思維自覺；分析問題時表現(xiàn)出有效過濾和恰當(dāng)提取的思維特質(zhì)；數(shù)學(xué)運算時能自覺利用幾何關(guān)系、靈活選擇運算對象、合理設(shè)計運算路徑，體現(xiàn)思維的靈活性；問題解決后根據(jù)幾何意義自行驗證運算結(jié)果，體現(xiàn)思維的嚴(yán)謹性. 在本文的教學(xué)案例中，表征點到直線的距離的垂線段[PQ]被幾何眼光轉(zhuǎn)換成直角三角形中的幾何元素（邊或高）、向量的投影等幾何對象，并取代了垂足坐標(biāo)成為新的運算對象，對這些幾何元素和幾何關(guān)系的表征則取代了解方程的過程而成為新的運算路徑. 這充分體現(xiàn)了解析幾何中數(shù)學(xué)運算具有的以形啟算的顯著特點.

3. 向量方法是求解空間距離的根本方法

向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是描述直線、曲線、平面，以及高維空間數(shù)學(xué)問題的工具，也是進一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ). 體會向量方法在研究幾何問題中的作用是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求. 點到直線的距離、點到平面的距離等其他空間距離也都可以看作投影向量的長度. 用向量方法推導(dǎo)點到直線的距離公式，體現(xiàn)了解決同一類問題在思維方法上的一致性和連續(xù)性. 這符合數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的基本要求，而且參考向量（如本文中的[PS]）的任意性使得向量方法具有靈活性. 從這個意義上來看，提取坐標(biāo)系的“二維方向”構(gòu)造直角三角形的解法僅是一種特殊情形. 因此，向量方法才是求解距離問題最根本的方法. 加之法向量及投影向量是代數(shù)運算的對象，所以使得蘊含于向量方法中的數(shù)形結(jié)合自然且更加深刻.

4. 多樣化表征、多維度聯(lián)結(jié)，促進公式理解

數(shù)學(xué)公式是用數(shù)學(xué)符號表示對象之間數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式，是數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)形式之一. 教學(xué)時適度挖掘隱藏于公式背后的數(shù)學(xué)思想方法，有利于發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng). 建立多樣化的數(shù)學(xué)表征和多維度的意義聯(lián)結(jié)，是強化公式理解和體驗數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑. 通過上文所述的教學(xué)方式，使得點到直線的距離在學(xué)生眼中被賦予了直角三角形的高或邊長、投影向量等多種幾何表征；在推導(dǎo)公式的思維過程中，這些幾何圖形又與三角形的面積、三角函數(shù)、向量的投影和向量運算等知識建立了意義聯(lián)結(jié). 由此獲得的運算路徑及探尋路徑過程中的數(shù)學(xué)思想方法會在后續(xù)的運用和學(xué)習(xí)中自然流淌.

參考文獻：

［1］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［2］章建躍. 數(shù)學(xué)的思維方式與核心素養(yǎng)（之五）［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2018（12）：封底.

［3］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題——基于大單元教學(xué)的高中數(shù)學(xué)章節(jié)教學(xué)設(shè)計的研究（D/2021/02/713）.

作者簡介：李昌（1972— ），男，中學(xué)正高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.