摘" 要：經(jīng)典閱讀材料“斐波那契數(shù)列”具有豐富的學(xué)科、應(yīng)用和人文價(jià)值. 從確定教學(xué)目標(biāo)、再加工相關(guān)材料、深化數(shù)學(xué)本質(zhì)理解、加深跨學(xué)科融合、涵養(yǎng)數(shù)學(xué)精神等方面剖析閱讀材料的教學(xué)，探索如何實(shí)現(xiàn)閱讀材料的育人目標(biāo).

關(guān)鍵詞：閱讀材料教學(xué)；斐波那契數(shù)列；核心素養(yǎng)

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出，要積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式，包括引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等. 參照《標(biāo)準(zhǔn)》編寫修訂的各版本教材均設(shè)置了“閱讀材料”部分，且在組織編排上愈發(fā)體現(xiàn)學(xué)生的發(fā)展需求和社會(huì)的發(fā)展需要，為師生提供了具有思想與實(shí)踐雙重價(jià)值的學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓展了探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動(dòng)空間. 因此，如何使用“閱讀材料”，使之充分發(fā)揮良好的教育功能就成為理論研究和教學(xué)實(shí)踐的熱點(diǎn)之一. 當(dāng)前，教師普遍認(rèn)同“閱讀材料”是非常好的教學(xué)素材，理應(yīng)得到足夠重視，但深陷應(yīng)試壓力和課時(shí)緊張的困境，在日常教學(xué)中卻又往往或是將其束之高閣，或是一帶而過，或是帶有強(qiáng)烈應(yīng)試色彩的輸出. 究其原因，還是教師對于“閱讀材料”的教學(xué)認(rèn)識(shí)和教學(xué)處理存在一些困惑和誤區(qū). 那么，如何開展“閱讀材料”教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)其社會(huì)性、學(xué)科性和研究性呢？筆者嘗試?yán)冒咐龑?jīng)典閱讀材料“斐波那契數(shù)列”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考進(jìn)行介紹.

二、案例評析

1. 內(nèi)容分析

斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列. 1150年，印度數(shù)學(xué)家戈帕拉（Gopala）和金月在研究箱子包裝物件時(shí)，首先引出該數(shù)列. 1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在其著作《計(jì)算之書》中用兔子繁衍問題描述該數(shù)列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…. 這個(gè)數(shù)列是無窮的，且從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和. 之后幾百年間，世人熱烈地研究著這個(gè)既古老又極具生命力的數(shù)列，包括其遞推關(guān)系的內(nèi)涵，與黃金分割的關(guān)聯(lián)，與生物構(gòu)成的契合，與反斐波那契數(shù)列、巴都萬（Padovan）數(shù)列等的關(guān)系，以及在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用. 它既是數(shù)列本質(zhì)的體現(xiàn)，又是大自然的解碼；既是繪畫、建筑和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的秘鑰，又與美學(xué)和哲學(xué)息息相關(guān).

正因如此，各版本教材均將“斐波那契數(shù)列”引入其中，引導(dǎo)師生剖析斐波那契數(shù)列的本質(zhì)，由遞推關(guān)系探尋其通項(xiàng)公式，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美.“斐波那契數(shù)列”更成為各類考試命題的常見載體. 蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第4章“數(shù)列”中，就在章頭圖、章引言、“4.1 數(shù)列”和章末閱讀中編排相關(guān)內(nèi)容，如表1所示.

[位置 相關(guān)內(nèi)容編排 章頭圖 出示海螺實(shí)物剖面圖 章引言 出示樹木的生長模式（每年枝丫數(shù)）并提出：從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和；相鄰兩個(gè)數(shù)的比值越來越接近某個(gè)常數(shù) 4.1 數(shù)列 以樹木的生長模式（每年枝丫數(shù)）作為實(shí)例之一引出數(shù)列概念 章末閱讀材料

“斐波那契數(shù)列” （1）緣起：兔子繁殖問題故事，以及兔子對數(shù)樹狀圖.

（2）遞推關(guān)系.

（3）相關(guān)實(shí)例：樹木生長模式（每年枝丫數(shù)）；蜜蜂爬過六角形蜂房所取的不同路線數(shù)；由邊長為斐波那契數(shù)的正方形構(gòu)成的一系列長方形近似得到等角螺線及相關(guān)實(shí)例.

（4）重要性質(zhì)：斐波那契數(shù)列中相鄰兩數(shù)的比交替大于或小于黃金比，并且該比值無限趨近黃金比 ][表1" 教材中“斐波那契數(shù)列”內(nèi)容的編排情況]

由此可見，教材中斐波那契數(shù)列的編排順序和內(nèi)容緊扣主干知識(shí)，遵循由淺入深的原則. 章節(jié)伊始，對斐波那契數(shù)列的介紹是數(shù)學(xué)源于生活的體現(xiàn)，不僅可以引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以為后續(xù)研究埋下伏筆. 章末閱讀則從數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)應(yīng)用等不同層面帶領(lǐng)學(xué)生走近斐波那契數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)列相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，審視、研究這個(gè)富有魅力的經(jīng)典數(shù)列.

2. 目標(biāo)設(shè)置

基于以上對斐波那契數(shù)列自身價(jià)值及教材編排的分析，筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)將其納入“數(shù)列”單元學(xué)習(xí)之中，從知識(shí)關(guān)聯(lián)和方法類比視角組織教學(xué)，使之成為數(shù)列單元學(xué)習(xí)的延展和深化. 故在章末設(shè)計(jì)主題探究活動(dòng)“走近斐波那契數(shù)列”，并制訂教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）傳承數(shù)學(xué)文化，在數(shù)學(xué)史料和實(shí)例中找到新的興趣生長點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)與自然的完美契合，體會(huì)數(shù)學(xué)與藝術(shù)和哲學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的關(guān)聯(lián).

（2）深化數(shù)學(xué)理解，進(jìn)一步感悟數(shù)列是特殊的離散函數(shù)，將斐波那契數(shù)列與等差數(shù)列和等比數(shù)列進(jìn)行類比，明確斐波那契數(shù)列也是從現(xiàn)實(shí)背景中抽象概括出來的重要函數(shù)模型，研究的內(nèi)容、路徑和方法均與等差數(shù)列和等比數(shù)列一脈相承.

（3）拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，探究典型遞推數(shù)列的定義、通項(xiàng)、性質(zhì)等學(xué)科問題，以及跨領(lǐng)域、跨學(xué)科的應(yīng)用性問題，在過程中提升觀察、歸納、猜想和論證等必備能力，以形成對數(shù)列單元內(nèi)容的體系建構(gòu)和深刻理解.

3. 教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）繪本介紹，引出項(xiàng)目主題.

師：同學(xué)們，1 + 1等于多少？

生：當(dāng)然是2.

師：今天給大家?guī)硪槐纠L本《兔子的12個(gè)大麻煩》，在這里可以得到具有顛覆性的結(jié)果，1 + 1竟然等于144哦！

師：繪本故事里的兔子王國的原型是著名的斐波那契數(shù)列. 1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在其著作《計(jì)算之書》中用兔子的繁衍問題引出了該數(shù)列. 假設(shè)有一對剛出生的小兔（一雌一雄），一個(gè)月后長成大兔，再過一個(gè)月便能生下一對小兔，此后每個(gè)月生一對小兔. 所生的小兔也是如此. 如果兔子不死去，一年內(nèi)每個(gè)月兔子的對數(shù)是一組特別的數(shù)1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144. 這個(gè)數(shù)列看似簡單，卻非常神奇. 你能想象嗎？樹木生長模式、向日葵花盤、《蒙娜麗莎》里都有它的身影. 因此，本章章末的研究課題就是“走近斐波那契數(shù)列”.

【設(shè)計(jì)意圖】與教材課時(shí)內(nèi)容相比，主題研究項(xiàng)目具有更大的自主性. 在項(xiàng)目引入時(shí)，更需要教師激發(fā)學(xué)生的研究興趣，有趣、有用將會(huì)成為推動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的動(dòng)力. 這里通過講述繪本和呈現(xiàn)生活中的數(shù)列引發(fā)學(xué)生對斐波那契數(shù)列的研究興趣.

（2）確定方向，梳理研究路徑.

問題1：本單元已經(jīng)系統(tǒng)研究了數(shù)列，大家回顧一下，我們遵循了怎樣的研究思路？掌握了哪些內(nèi)容和研究方法？

師生共同回顧，明確以下內(nèi)容.

章節(jié)學(xué)習(xí)路徑：由一般數(shù)列到特殊數(shù)列（等差數(shù)列和等比數(shù)列），再由等差數(shù)列和等比數(shù)列類比到其他特殊數(shù)列（遞推數(shù)列）.

等差數(shù)列和等比數(shù)列模型的學(xué)習(xí)路徑：定義—通項(xiàng)—性質(zhì)—求和—應(yīng)用.

涉及的核心思想方法：運(yùn)用函數(shù)思想理解數(shù)列的概念，通過離散圖象直觀認(rèn)識(shí)數(shù)列（包括特殊數(shù)列）的性質(zhì)；運(yùn)用類比方法探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系；運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將一些特殊問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題加以研究.

問題2：面對斐波那契數(shù)列這樣一個(gè)新的數(shù)列，你想怎樣開展研究呢？

預(yù)計(jì)研究內(nèi)容如表2所示.

[ 定義 通項(xiàng) 性質(zhì) 求和 應(yīng)用 斐波那契數(shù)列 ][表2" 斐波那契數(shù)列的研究內(nèi)容]

預(yù)計(jì)研究難點(diǎn)及破解方向.

① 通過等差數(shù)列和等比數(shù)列的學(xué)習(xí)類比斐波那契數(shù)列的研究，包括研究路徑、內(nèi)容和方法.

② 通過列舉若干項(xiàng)分析斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系.

③ 通過前期研究遞推數(shù)列的經(jīng)驗(yàn)，由遞推關(guān)系探究斐波那契數(shù)列的通項(xiàng).

④ 通過探究前后項(xiàng)的關(guān)系，猜想并驗(yàn)證斐波那契數(shù)列的性質(zhì).

⑤ 通過信息技術(shù)手段，有目的地發(fā)現(xiàn)該數(shù)列在各領(lǐng)域的應(yīng)用.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該只停留在知識(shí)本身，而應(yīng)該著眼于更高層次的要求——“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 梳理研究思路、研究內(nèi)容和研究方法，預(yù)測可能面對的困難和破解方向，是開展研究的基礎(chǔ)，亦是培養(yǎng)學(xué)生必備知識(shí)和關(guān)鍵能力的需要. 因此，筆者通過問題串導(dǎo)引，促使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建斐波那契數(shù)列主題研究框架，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)與能力.

（3）展示交流，提高研究成效.

學(xué)生明確主題任務(wù)，組建若干團(tuán)隊(duì)，課后各自開展為期一周的項(xiàng)目研究，一周后在課堂上開展交流.

① 探究遞推關(guān)系.

小組代表：通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…的遞推關(guān)系可以表述為[an+2=an+an+1，n∈N*].

師：刻畫了斐波那契數(shù)列連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系. 還有沒有補(bǔ)充？

生1：還應(yīng)該加上[a1=a2=1].

師：非常好！沒有初始項(xiàng)，對該數(shù)列的刻畫是不完整的. 因此，斐波那契數(shù)列應(yīng)該表述為[a1=a2=1]，[an+2=an+1+an，n∈N*].

師：類似的常見失誤在哪里也出現(xiàn)過？

生2：在“已知[Sn]，求[an]”時(shí)，我們經(jīng)常直接用[an=Sn-Sn-1]求[an]，而忽略了[a1=S1].

師：很好. 這個(gè)遞推關(guān)系能否用自然語言描述？

生3：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和.

【設(shè)計(jì)意圖】作為一類典型數(shù)列，斐波那契數(shù)列將成為復(fù)習(xí)、鞏固、檢測數(shù)列學(xué)習(xí)的良好載體. 利用符號(hào)語言刻畫數(shù)列的遞推關(guān)系正是第一步. 學(xué)生易忽略初始項(xiàng)，引導(dǎo)學(xué)生類比問題“已知[Sn]，求[an]”，深化對數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)，并通過文字語言與符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言水平.

② 探究通項(xiàng)公式.

小組代表：我們根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列模型的研究思路，確定已知遞推關(guān)系后的下一個(gè)任務(wù)目標(biāo)為“已知數(shù)列[an，a1=a2=1，an+2=an+1+an，n∈N*，] 求數(shù)列[an]的通項(xiàng)[an]”. 通過連續(xù)三項(xiàng)的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式有難度，所以將之前學(xué)過的求遞推數(shù)列通項(xiàng)的方法進(jìn)行了梳理，如表3所示.

我們小組分析了該數(shù)列連續(xù)三項(xiàng)的遞推關(guān)系[an+2=][an+1+an]，決定仿照類型3運(yùn)用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

構(gòu)造新數(shù)列[an+2+λan+1=μan+1+λan]，即[an+2=][μ-λan+1+μλan].

所以[μ-λ=1，μλ=1.]

解得[μ=1+52，λ=-1+52，] 或[μ=1-52，λ=-1-52.]

不妨取[μ=1+52，λ=-1+52，]

代入[an+2+λan+1=μan+1+λan]，得

[an+2+-1+52an+1=1+52an+1+-1+52an].

所以數(shù)列[an+1+-1+52an]是以[1+52]為首項(xiàng)、[1+52]為公比的等比數(shù)列.

故[an+1+-1+52an]=[1+52n]，這是類型4.

繼續(xù)構(gòu)造[an+1+m1+52n+1=1-52an+m1+52n]，

解得[m=-15].

代入[an+1+m1+52n+1=1-52an+m1+52n]，得

[an+1-151+52n+1=1-52an-151+52n].

所以數(shù)列[an-151+52n]是以[5-125]為首項(xiàng)，[1-52]為公比的等比數(shù)列.

故[an]=[151+52n-1-52n].

另一種情況結(jié)果相同.

因此，最終得到斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為[an]=[151+52n-1-52n].

在這個(gè)過程中，我們認(rèn)為關(guān)鍵是能夠?qū)栴}進(jìn)行合理地歸類與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用學(xué)過的方法，兩次構(gòu)造出新的等比數(shù)列. 另外，計(jì)算也要過關(guān).

師：該小組拓展了構(gòu)造法，通過兩次構(gòu)造等比數(shù)列，求得給定連續(xù)三項(xiàng)遞推關(guān)系的數(shù)列的通項(xiàng)公式. 大家覺得怎么樣？

生4：我覺得他們用得挺好的，但我們組根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，直接構(gòu)造新數(shù)列[an+2+λan+1=λ+1an+1+λan]，得[λ2+λ=1]，解得[λ=-1±52]. 當(dāng)[λ=-1+52]時(shí)，[an+1+][-1+52an][=][1+52n]；當(dāng)[λ][=][-1-52]時(shí)，[an+1][+][-1-52an=1-52n]. 兩式相減，得[5an=1+52n-][1-52n]. 所以[an]=[151+52n-1-52n].

師：非常好！針對該問題遞推關(guān)系的系數(shù)特點(diǎn)將方法進(jìn)行了優(yōu)化.

生5：我認(rèn)為第一個(gè)小組的方法還是很有價(jià)值的，給我們提供了[an+2=pan+1+qan]型遞推關(guān)系的一般解決方法.

師：由特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)方法的常用思路.

【設(shè)計(jì)意圖】斐波那契數(shù)列是極具特色的遞推數(shù)列，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)也可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列、線性遞推數(shù)列的特征方程法、矩陣法等很多方法，而通過學(xué)習(xí)積累，學(xué)生自發(fā)進(jìn)行了前期所學(xué)遞推關(guān)系求通項(xiàng)方法的遷移與拓展，通過組內(nèi)、組間的思維碰撞，不斷嘗試，不斷學(xué)與悟，對比、提煉、拓展，取得了很好的學(xué)習(xí)效果. 這效果既有知識(shí)層面的，更有思維品質(zhì)層面的.

③ 探究性質(zhì).

小組代表：我們在研究斐波那契數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)了以下結(jié)論.

結(jié)論1：斐波那契數(shù)列的每一項(xiàng)都是有理數(shù)（正整數(shù)），但通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表述的.

結(jié)論2：斐波那契數(shù)列的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越往后越接近于黃金分割比[0.618].

結(jié)論3：在斐波那契數(shù)列中，從第三項(xiàng)起每隔兩項(xiàng)是2的倍數(shù)，從第四項(xiàng)起每隔三項(xiàng)是3的倍數(shù)，從第五項(xiàng)起每隔四項(xiàng)是5的倍數(shù).

結(jié)論4：如果滿足從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和的數(shù)列統(tǒng)稱為斐波那契數(shù)列，那么一個(gè)非0常數(shù)乘斐波那契數(shù)列的每一項(xiàng)得到的是一個(gè)新的斐波那契數(shù)列，兩個(gè)斐波那契數(shù)列相加或相減依然是一個(gè)斐波那契數(shù)列.

師：大家好厲害，除了第一條比較明顯外，其他性質(zhì)你們是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

生6：我們知道，研究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)都是從數(shù)列前后項(xiàng)之間的關(guān)系開始的，但是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中的前后項(xiàng)無論是差還是商都不是常數(shù)，就用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行了大量計(jì)算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的比值越來越接近黃金比（0.618），又查了一些資料，發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列果然又稱為黃金分割數(shù)列.

生7：我們類比等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的研究方法，通過運(yùn)算的封閉性發(fā)現(xiàn)了相關(guān)結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】性質(zhì)發(fā)現(xiàn)任務(wù)相對較開放，但卻是檢測學(xué)生學(xué)以致用能力和創(chuàng)造性思維的重要載體，能夠找到研究方向并選取合適的方法，堅(jiān)持不懈地研究下去才是完成該任務(wù)的關(guān)鍵所在，旨在“三會(huì)”視角下培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)、意志與能力.

④ 探究求和公式.

小組代表：數(shù)列求和是研究數(shù)列的一個(gè)重要內(nèi)容. 因?yàn)橐呀?jīng)推導(dǎo)得出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式[an]=[151+52n-1-52n]，所以通過“分組求和”將其前[n]項(xiàng)求和轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)求和. 可以得到[Sn=151+521+1+522+…+1+52n-][151-521+1-522+…+1-52n=151+521-1+52n1-1+52-][151-521-1-52n1-1-52=151+52n+2-1-52n+2-1].

其他小組代表：我們組沒有通過通項(xiàng)來求和，而是從遞推關(guān)系[an+2=an+1+an]入手. 因?yàn)閇2Sn=a1+a2+…+an+][a1+a2+…+an=a1+a1+a2+a2+a3+…+an-2+an-1+][an-1+an+an=a1+a3+…+an+1+an=a1+a2+…+an+][an+1+an-a2=Sn+an+2-a2]，所以得到[Sn=an+2-a2=][151+52n+2-1-52n+2-1]. 我們利用“錯(cuò)位相加”的方法再增補(bǔ)一項(xiàng)[a2]，將[Sn轉(zhuǎn)化為an+2-a2].

師：不同的視角都可以達(dá)到目的. 第一種方法從通項(xiàng)入手，易于發(fā)現(xiàn)；第二種方法從遞推關(guān)系入手，思路創(chuàng)新，計(jì)算量上相當(dāng)優(yōu)越，有些眼熟. 你們是如何想到的？

其他小組代表：我們借鑒了等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，應(yīng)該可以叫做“錯(cuò)位相加法”.

【設(shè)計(jì)意圖】求和是繼求通項(xiàng)后學(xué)生易于提出的數(shù)列研究對象，而這一部分亦是充分運(yùn)用所學(xué)探求新知的優(yōu)秀載體. 大部分學(xué)生通過分析通項(xiàng)公式進(jìn)行了分組求和，思路清晰，考查了學(xué)生的計(jì)算能力. 而“錯(cuò)位相加法”是更深層次的思維風(fēng)暴.

⑤ 探究應(yīng)用.

梳理教材中的閱讀材料，如樹木生長模式、蜜蜂爬過六角形蜂房所取的不同路線數(shù)、由邊長為斐波那契數(shù)的正方形構(gòu)成的一系列長方形近似得到等角螺線及與黃金比的關(guān)聯(lián)等，又順著這些方向利用網(wǎng)絡(luò)查閱、研究相關(guān)文獻(xiàn)資料，各小組匯報(bào)如表4所示.

[涉及領(lǐng)域 典型案例 自然領(lǐng)域 菠蘿表面鱗片所形成的螺旋線數(shù)

鸚鵡螺上的斐波那契螺旋

人類耳朵的形狀 建筑領(lǐng)域 帕特農(nóng)神廟立面圖

經(jīng)典建筑樓梯 藝術(shù)領(lǐng)域 世界名畫《蒙娜麗莎》的構(gòu)圖 音樂領(lǐng)域 鋼琴上的八度音符數(shù) ][表4" 各小組匯報(bào)匯總]

此外，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、股市分析、生物進(jìn)化研究、力學(xué)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析等領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用. 還發(fā)現(xiàn)一個(gè)與斐波那契數(shù)列關(guān)系特別密切的數(shù)列——盧卡斯數(shù)列1，3，4，7，11，18，…. 它與斐波那契數(shù)列采用了相同的遞推關(guān)系式.

【設(shè)計(jì)意圖】該部分體現(xiàn)了跨學(xué)科教學(xué)理念，以打破學(xué)科壁壘的方式將斐波那契數(shù)列的學(xué)習(xí)拓展到各個(gè)領(lǐng)域，使得學(xué)生體會(huì)其學(xué)科價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和美學(xué)價(jià)值，成為提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要載體. 同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)搜索、查閱并整理相關(guān)信息，是當(dāng)下終身學(xué)習(xí)理念與方式的踐行.

（4）撰寫報(bào)告，總結(jié)升華成果.

師：通過今天的主題研究，相信大家對斐波那契數(shù)列有了更深入的了解，也加深了對本章數(shù)列內(nèi)容的理解. 在探究中，我們感受到了自己能力水平的提升和思維模式的構(gòu)建，也體會(huì)到了數(shù)學(xué)文化的博大精深及互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的便捷. 那么，今天課后就請每個(gè)小組根據(jù)斐波那契數(shù)列研究中的亮點(diǎn)撰寫學(xué)習(xí)報(bào)告，以鞏固、整理和分享本次學(xué)習(xí)成果.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)寫作是數(shù)學(xué)研究的升華路徑之一. 通過研究報(bào)告的撰寫引導(dǎo)學(xué)生梳理、提煉研究成果. 一方面，積累研究經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生帶來學(xué)習(xí)的成就感；另一方面，提升數(shù)學(xué)語言表達(dá)水平，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、教學(xué)反思與建議

章建躍教授曾指出，教材編排閱讀材料的目的有二：一是體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的彈性，使教學(xué)內(nèi)容更符合不同層次學(xué)生的發(fā)展，也便于教師發(fā)揮創(chuàng)造性；二是幫助學(xué)生理解、掌握正文內(nèi)容，激勵(lì)學(xué)生探究新的知識(shí)，開闊視野，培養(yǎng)人文精神. 這正是開展閱讀材料教學(xué)最好的解釋與目標(biāo). 結(jié)合“斐波那契數(shù)列”案例，筆者認(rèn)為在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn).

1. 以目標(biāo)為綱，注重多元材料加工

教材中的閱讀材料包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家故事、經(jīng)典數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)概念源起、數(shù)學(xué)在生活和科技中的應(yīng)用及有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)拓展等. 教師需要結(jié)合所學(xué)知識(shí)體系和具體學(xué)情，先確定教學(xué)目標(biāo)，再根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)定對閱讀材料進(jìn)行增刪、重組、加工、整合. 需要特別注意的是，材料是“學(xué)習(xí)的引子”，并非學(xué)習(xí)的全部與終點(diǎn)，這一點(diǎn)與教材主干知識(shí)體系部分有較大區(qū)別. 因此，教師設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮材料的多元化、情境化、目的性和靈活性. 正如教學(xué)案例中斐波那契數(shù)列的前世今生、通項(xiàng)、求和及應(yīng)用等小模塊材料，均是圍繞提升學(xué)生的研究興趣和效度而設(shè).

2. 以理解為本，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善

閱讀材料主題教學(xué)是主線學(xué)習(xí)的拓展與延伸，其重要作用之一就是以知識(shí)為基礎(chǔ)、能力為支架，引導(dǎo)學(xué)生開展指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度學(xué)習(xí). 教師通過材料鼓勵(lì)學(xué)生以“故”探“新”，加深學(xué)生對主干知識(shí)的思考，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，提升學(xué)生叩開數(shù)學(xué)之門所需的思維品質(zhì)與能力. 例如，在“斐波那契數(shù)列”主題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合研究數(shù)列的思路確認(rèn)研究任務(wù)，并按照既定路徑進(jìn)一步開展分項(xiàng)任務(wù)探索，以此加深學(xué)生對數(shù)列概念、本質(zhì)及系列研究對象的深入理解，進(jìn)而形成完備的知識(shí)體系和研究能力.

3. 以應(yīng)用為軸，加強(qiáng)學(xué)科內(nèi)外融合

數(shù)學(xué)源于應(yīng)用，亦導(dǎo)向應(yīng)用. 閱讀材料教學(xué)更是以“應(yīng)用”貫穿全過程. 教師需要抓住教學(xué)主線，尋求交會(huì)點(diǎn)，注重學(xué)科內(nèi)外的交融，力求讓學(xué)生在新的生長點(diǎn)上提升認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)能力. 例如，在“斐波那契數(shù)列”主題教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師不僅引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用明確的、綜合的研究方法和思維方式探索遞推數(shù)列，實(shí)現(xiàn)學(xué)科內(nèi)部的有效整合，還鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用不同學(xué)科的知識(shí)，多途徑、多角度地了解、審視、評價(jià)該數(shù)列在物理、建筑、經(jīng)濟(jì)、美術(shù)和音樂等領(lǐng)域的應(yīng)用，以幫助學(xué)生整合見解，找到數(shù)學(xué)內(nèi)部和與其他學(xué)科之間有意義、有價(jià)值的聯(lián)系，并以此反作用于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí).

4. 以精神為脈，落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)

數(shù)學(xué)精神是一種理性精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞人類的思維，使之得以運(yùn)用和完善，故數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、態(tài)度、思維、價(jià)值判斷和問題解決等作為學(xué)科育人目標(biāo). 閱讀材料主題教學(xué)正是與這一目標(biāo)高度吻合的教學(xué)方式之一，它擴(kuò)容了數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將理性精神、人文情感和哲學(xué)道理融入其中. 在“斐波那契數(shù)列”主題教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師就是以精神塑造為暗線，幫助學(xué)生形成知識(shí)的正向遷移，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的深層理解，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)化提升和外化表現(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

［1］黃翔，童莉，史寧中. 談數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的跨學(xué)科思維［J］. 課程·教材·教法，2021，41（7）：106-111.

［2］蔡勇全. 滲透數(shù)學(xué)文化" 培育核心素養(yǎng)：融入數(shù)學(xué)文化是高中數(shù)學(xué)教學(xué)需迫切構(gòu)建的價(jià)值追求［J］. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（1）：11-15.

［3］徐德均. 深度學(xué)習(xí)案例：會(huì)意高中數(shù)學(xué)中的斐波那契數(shù)列［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（5）：52-55.

［4］陳銀輝，葛文明. 數(shù)學(xué)文化融入高三課堂的實(shí)踐與思考：以斐波那契數(shù)列為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（10）：27-30.

［5］花奎. 蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材《閱讀》欄目的教育功能挖掘［J］. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2020（8）：80-83.

作者簡介：孔繁晶（1984— ），女，講師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.