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        在教材例題和習(xí)題中尋找數(shù)學(xué)的本真

        2023-04-29 00:00:00何建東張穎

        摘" 要:以“橢圓的生成”為例,從文化淵源、歷史原貌、定義體系、知識(shí)延展、技術(shù)支持等五個(gè)方面,在教材例題和習(xí)題中尋找數(shù)學(xué)的本真,呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的自然性、優(yōu)美性和實(shí)用性.

        關(guān)鍵詞:教材題目;橢圓生成;數(shù)學(xué)本真

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)明確指出教材改革要全面落實(shí)立德樹人根本任務(wù),充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特有的育人價(jià)值,努力發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能. 現(xiàn)行普通高中數(shù)學(xué)教材深入貫徹《標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念與要求,全面貫穿發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線,根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯構(gòu)建結(jié)構(gòu)體系,按數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的合理過程組織和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容,使數(shù)學(xué)教學(xué)自然而然、水到渠成,充滿優(yōu)美感. 數(shù)學(xué)教師要充分理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù),在教材文本特別是例題和習(xí)題中深入體會(huì)數(shù)學(xué)的本真與優(yōu)美,并將其教授、傳承給學(xué)生.

        圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容,也是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一. 橢圓是圓錐曲線的一種,有著豐富的幾何性質(zhì),在科研、生產(chǎn)和生活中具有廣泛的應(yīng)用. 人類探索、研究圓錐曲線的歷史悠久,從公元前3世紀(jì)起,許多偉大的數(shù)學(xué)家就從不同的角度對圓錐曲線進(jìn)行了研究. 學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)是從橢圓開始的. 如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷史過程形成對橢圓概念的建構(gòu)、橢圓生成的理解和橢圓方程的推導(dǎo),是數(shù)學(xué)教師需要認(rèn)識(shí)、思考和研究的課題. 筆者在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(以下統(tǒng)稱“教材”)教學(xué)實(shí)踐中仔細(xì)分析教材,全面對照相應(yīng)數(shù)學(xué)史內(nèi)容,發(fā)現(xiàn)在教材例題和習(xí)題中可以找到數(shù)學(xué)的本真和優(yōu)美.

        一、文化淵源:還原數(shù)學(xué)本真

        教材在第三章“圓錐曲線的方程”引言部分配有一幅醒目的天體運(yùn)行圖作為背景,并在標(biāo)題下方、文字之前呈現(xiàn)平面截圓錐所產(chǎn)生的截口曲線的圖,如圖1所示.

        看似簡單的設(shè)計(jì),實(shí)則蘊(yùn)含教材編寫者滲透數(shù)學(xué)文化淵源的深刻用意. 事實(shí)上,橢圓的歷史正是從平面截圓錐或圓柱開始的. 圖1不僅被用來反映數(shù)學(xué)源頭,而且直觀形象,易于被學(xué)生感知和接受. 數(shù)學(xué)教師不但要熟悉教材內(nèi)容的教學(xué)過程,還應(yīng)該理解教材的設(shè)計(jì)意圖. 只有這樣,才能更好地達(dá)成新課程的理念與要求,才能真正使學(xué)生浸潤在數(shù)學(xué)文化熏陶和核心素養(yǎng)培養(yǎng)中.

        引言中提到圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘,在人類生產(chǎn)生活和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛. 事實(shí)上,圓錐曲線最早是由古希臘學(xué)者梅內(nèi)克謬斯進(jìn)行系統(tǒng)研究的. 到了亞歷山大里亞時(shí)期,阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線學(xué)》中指出平面截同一圓錐的不同截口曲線可以是拋物線(齊曲線)、橢圓(虧曲線)和雙曲線(超曲線),并且研究了圓錐曲線的共軛直徑、切線和法線及其性質(zhì),也研究了圓錐曲線的極點(diǎn)和極線的性質(zhì). 書中沒有談準(zhǔn)線,但圓錐曲線是到定點(diǎn)(焦點(diǎn))和到定直線(準(zhǔn)線)的距離之比為常數(shù)(離心率)的點(diǎn)的軌跡,對此歐幾里得是知道的,并由帕普斯述及且給出證明,這些對形成近代圓錐曲線的理論有著深遠(yuǎn)的影響. 自從笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系以來,沃利斯在著作《論圓錐曲線》中,為了闡明阿波羅尼奧斯的結(jié)果,把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件,第一個(gè)證明了動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的二元二次方程與幾何里的圓錐曲線對應(yīng),并開始用方程的理論來研究曲線的性質(zhì). 16 ~ 17世紀(jì),機(jī)械工業(yè)的誕生和航海、建筑、造船、采礦等事業(yè)的發(fā)展,推動(dòng)了天文學(xué)和力學(xué)的發(fā)展. 這時(shí)在天文學(xué)上發(fā)現(xiàn)行星的軌道是橢圓,在力學(xué)上確定了拋射體的軌道是拋物線等. 因此,有關(guān)圓錐曲線的深入研究也就成為迫切的需要了. 到了18世紀(jì),由于歐拉等人的努力,圓錐曲線的現(xiàn)代理論才有了最終的結(jié)果. 數(shù)學(xué)教師只有知曉這段關(guān)于圓錐曲線的文化淵源,清楚“平面截圓錐”在其中的地位與意義,才能知道橢圓最本源的概念并非課本中的定義(也稱為橢圓的第一定義).

        橢圓的截面定義:橢圓是一個(gè)圓錐與不過其頂點(diǎn)且與其所有母線交于同一葉上的一個(gè)平面相截而得到的平面曲線.

        二、歷史原貌:再現(xiàn)數(shù)學(xué)情境

        橢圓雖然是生產(chǎn)生活中常見的曲線,但對橢圓幾何特征的探究與發(fā)現(xiàn)是個(gè)難點(diǎn),因?yàn)楹茈y由橢圓的形狀想到橢圓的定義. 為此,教材在橢圓概念教學(xué)過程中,安排了“探究”:取一條定長的細(xì)繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn),套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓. 如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板上的兩點(diǎn)上,如圖2,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,畫出的軌跡是什么曲線?引導(dǎo)學(xué)生觀察得到:在這一過程中,移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是“筆尖移動(dòng)的過程中,細(xì)繩的長度保持不變,即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)”,之后順理成章地給出橢圓的定義(習(xí)慣上稱為橢圓的第一定義). 隨后,按照解析幾何一般性研究方法,教材引導(dǎo)學(xué)生通過“建系—列式—化簡—檢驗(yàn)”等步驟,推導(dǎo)出了兩種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

        事實(shí)上,教材設(shè)計(jì)的關(guān)于橢圓概念的這一安排,確實(shí)反映了數(shù)學(xué)史上橢圓發(fā)現(xiàn)的其中一種原貌. 從古希臘數(shù)學(xué)家最初提出跟圓錐曲線有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,到圓錐曲線概念的逐步形成,經(jīng)歷了一個(gè)漫長的時(shí)期. 直到17世紀(jì)笛卡兒在其《幾何學(xué)》中對圓錐曲線方程的研究才促成人們對圓錐曲線畫法的探求. 荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰給出了三種橢圓的畫圖工具,其中一種利用了焦半徑之和為常數(shù)的性質(zhì),與現(xiàn)在教材上的畫法一致,如圖3所示.

        法國數(shù)學(xué)家洛比達(dá)則在著作《圓錐曲線分析》中拋棄了古希臘人的定義方法,將橢圓定義為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡(即常說的橢圓的第一定義),并據(jù)此推導(dǎo)出橢圓方程,也與現(xiàn)在教材上的方法相仿. 直到1822年,比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林才利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球,直接在圓錐截面上作出橢圓截面的焦點(diǎn),導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì),從而填平了古希臘圓錐曲線定義(也稱為截面定義)和17世紀(jì)定義(即橢圓的第一定義)之間的鴻溝.

        數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對橢圓發(fā)現(xiàn)的歷史原貌有所了解,這樣在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中才能做到心中有“底”(數(shù)學(xué)文化的底氣),教學(xué)有“度”(數(shù)學(xué)概念的程度).

        橢圓的第一定義:橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)(大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡.

        三、定義體系:編織數(shù)學(xué)脈絡(luò)

        《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)根據(jù)數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯構(gòu)建教材結(jié)構(gòu)體系,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性和連貫性,突出核心概念及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法. 在橢圓概念的教學(xué)中,教師要特別注意畫圖、抽象、歸納、概括的完整過程,讓學(xué)生充分體驗(yàn)、感受、思考與掌握. 為了幫助學(xué)生更全面地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系,注意數(shù)學(xué)內(nèi)在“選擇定義,建立定理”的邏輯. 教材在重點(diǎn)設(shè)計(jì)橢圓的第一定義教學(xué)的同時(shí),為了全面完整地體現(xiàn)橢圓作為重要圓錐曲線示例的功能,在例題和習(xí)題中特別穿插了橢圓的第二定義(也稱為圓錐曲線統(tǒng)一定義)和橢圓的第三定義,以形成較為完整的橢圓定義體系.

        教材在橢圓的概念、性質(zhì)和應(yīng)用之后,設(shè)計(jì)了如下例題:如圖4,動(dòng)點(diǎn)[Mx,y]與定點(diǎn)[F4,0]的距離和[M]到定直線[l:x=254]的距離的比是常數(shù)[45],求動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡.

        該題要求得動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡并不困難,學(xué)生可以根據(jù)之前所學(xué)解析幾何的基本研究方法,通過“設(shè)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)[Mx,y])—列式([x-42+y2x-254=45])—化簡([x225+y29=1])—檢驗(yàn)(查漏補(bǔ)缺)”即可得出動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是長軸長為10、短軸長為6的橢圓.

        數(shù)學(xué)教師肯定知道這個(gè)例題背后的“故事”:橢圓的第二定義,也是圓錐曲線的統(tǒng)一定義. 因此,也知道教材安排這個(gè)例題是希望在完成這個(gè)例題的教學(xué)之后,教師告訴學(xué)生橢圓發(fā)展史上的這個(gè)歷史節(jié)點(diǎn). 事實(shí)上,該題條件中的定點(diǎn)與定直線正是橢圓的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中的一對.

        橢圓的第二定義有著獨(dú)特的魅力,借助橢圓的第二定義可以巧妙解決許多相關(guān)的數(shù)學(xué)問題,如果學(xué)生感興趣或者學(xué)有余力,教師可以利用選修課堂適當(dāng)補(bǔ)充與拓展,以激發(fā)學(xué)生興趣,開闊學(xué)生視野.

        教材在橢圓的概念之后、性質(zhì)應(yīng)用之前,設(shè)計(jì)例題:如圖5,設(shè)[A,B]兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[-5,0]和[5,0]. 直線[AM,BM]相交于點(diǎn)[M],且它們的斜率之積是[-49],求點(diǎn)[M]的軌跡方程.

        若就題論題,該例題為基礎(chǔ)題,學(xué)生可以通過“設(shè)點(diǎn)—列式—化簡—檢驗(yàn)”的流程,很快得出點(diǎn)[M]的軌跡方程為[x225+y21009=1],但絕不能疏忽檢驗(yàn)環(huán)節(jié),應(yīng)該注意到點(diǎn)[M]不能與[A,B]兩點(diǎn)重合,否則就不存在直線[AM,BM],因此,軌跡需要除去[A,B]兩點(diǎn),即[y≠0].

        教師的教學(xué)不能僅停留于此,而應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到例題背后的本真,即教材希望通過對該問題的解答,引申出橢圓的第三定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積為定值(大于-1且小于0)的點(diǎn)的軌跡(需要添上兩個(gè)定點(diǎn)),并且這兩個(gè)定點(diǎn)就是橢圓的長軸端點(diǎn),而定值則是[-b2a2](其中[a,b]分別為橢圓長半軸長和短半軸長). 雖然這一定義沒有前兩個(gè)定義那么正式,但也是對橢圓屬性的刻畫,是值得深入研究的.

        在此基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)教學(xué)進(jìn)度與節(jié)奏,選擇是否繼續(xù)將這一定義進(jìn)行有梯度地延伸、拓展,比較常見的有如下四個(gè)層次.

        層次1: 設(shè)[A,B]為橢圓[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]長軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)[M]為橢圓上不同于[A,B]的任意一點(diǎn),則直線[AM,BM]的斜率之積為定值[-b2a2],如圖5所示. 這相當(dāng)于橢圓的第三定義的逆命題,容易證明.

        層次2:設(shè)點(diǎn)[A]為橢圓[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]長軸的一個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)[M]為橢圓上不同于[A,B]兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)[C]為線段[AM]的中點(diǎn),則直線[AM,OC]的斜率之積為定值[-b2a2],如圖6(a)所示. 連接[BM],顯然線段[OC]為[△ABM]的中位線,所以[OC∥BM]. 因此直線[AM,][OC]的斜率之積即為直線[AM,BM]的斜率之積,為定值[-b2a2].

        層次3:設(shè)直線[DE]過橢圓[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]的中心點(diǎn)[O],點(diǎn)[C]為橢圓上不同于點(diǎn)[D,E]的任意一點(diǎn),則直線[CE,CD]的斜率之積為定值[-b2a2],如圖6(b)所示.

        層次4:設(shè)[CD]為橢圓[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]的任意一條弦,點(diǎn)[M]為線段[CD]的中點(diǎn),則直線[OM,CD]的斜率之積為定值[-b2a2],如圖6(c)所示.

        層次3、層次4兩個(gè)結(jié)論,既可以用“點(diǎn)差法”得到(設(shè)[C,D]兩點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程并作差,經(jīng)過化簡即可得出結(jié)論中兩條直線的斜率之積),也可以借助教材中“拓廣探索”第14題(已知橢圓[x24+y29=1],一組平行直線的斜率為[32],當(dāng)它們與橢圓相交時(shí),證明這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上)的結(jié)論與思想,從幾何解釋得出.

        根據(jù)這一習(xí)題的結(jié)論與思想,我們可以將橢圓的任意一條弦沿其中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線平移,移到長軸一端,或移到原點(diǎn)處,就可以得到層次3、層次4的結(jié)論. 因此,教材安排的例題和習(xí)題是有目的、有意義的,如果教師進(jìn)行深層次理解、挖掘,可以將其功能發(fā)揮到最大,也能讓學(xué)生更好地理解與掌握數(shù)學(xué)的本真含義.

        橢圓的第二定義:橢圓是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線距離之比為定值(大于0且小于1)的點(diǎn)的軌跡.

        橢圓的第三定義:橢圓是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)連線斜率之積為定值(大于-1且小于0)的點(diǎn)的軌跡(需要添上兩個(gè)定點(diǎn)).

        四、知識(shí)延展:豐富數(shù)學(xué)輪廓

        《標(biāo)準(zhǔn)》不僅強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)文化滲透到課堂之中,還倡導(dǎo)通過多種方式把數(shù)學(xué)文化延伸到課外. 為了盡可能豐富數(shù)學(xué)的輪廓與框架,教材繼續(xù)沿用之前幾個(gè)版本教材的設(shè)計(jì),仍然安排了橢圓其他幾種產(chǎn)生方式(也可以叫做“其他定義”),如“壓縮定義”“包絡(luò)定義”“交軌定義”“切圓定義”等,雖然說稱謂并不正規(guī)與統(tǒng)一,但意思還是常見且被普遍接受的.

        教材為了更廣泛意義上引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握橢圓的概念與性質(zhì),安排了不同形式的例題和習(xí)題,從各個(gè)角度來滲透、拓展橢圓的定義. 當(dāng)然每個(gè)例題和習(xí)題的條件中的數(shù)據(jù)是可以改變或者一般化的.

        橢圓的“壓縮定義”:橢圓可以看作圓沿任意一條直徑的方向通過均勻“壓縮”或“拉伸”得到.

        例" 如圖7,在圓[x2+y2=4]上任取一點(diǎn)[P],過點(diǎn)[P]作[x]軸的垂線段[PD],垂足為點(diǎn)[D]. 當(dāng)點(diǎn)[P]在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段[PD]的中點(diǎn)[M]的軌跡是什么?為什么?

        該題所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)就是高等數(shù)學(xué)中的仿射變換,圓通過“伸縮”變換為橢圓.

        橢圓的“包絡(luò)定義”:橢圓可以看作圓上任一點(diǎn)沿其與圓內(nèi)一定點(diǎn)連線段的垂直平分線對折,折線與該點(diǎn)對應(yīng)的半徑的交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的軌跡,而這些折線相當(dāng)于形成橢圓的包絡(luò).

        練習(xí)1:如圖8,圓[O]的半徑為定長[r],點(diǎn)[A]是圓[O]內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)[P]是圓[O]上任意一點(diǎn). 線段[AP]的垂直平分線[l]與半徑[OP]相交于點(diǎn)[Q],當(dāng)點(diǎn)[P]在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)[Q]的軌跡是什么?為什么?

        該題所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)就是橢圓的包絡(luò)意義,也就是橢圓可以通過一系列直線包絡(luò)形成,如圖9所示.

        橢圓的“切圓定義”:橢圓可以看作與兩個(gè)內(nèi)含的定圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切的動(dòng)圓圓心的軌跡.

        練習(xí)2:一個(gè)動(dòng)圓與圓[x2+y2+6x+5=0]外切,同時(shí)與圓[x2+y2-6x-91=0]內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

        該題可以進(jìn)行多角度變化,如條件中的兩圓“內(nèi)含”可以變式為“內(nèi)切”“相交”“外切”“外離”等,也可以變式為“一條直線一個(gè)圓”“兩條直線”. 條件中的“外切”“內(nèi)切”則可以有三種不同的搭配:一外切一內(nèi)切,兩個(gè)都外切,兩個(gè)都內(nèi)切. 這樣一來,所得曲線就會(huì)有不同結(jié)果(橢圓、雙曲線、拋物線或其一部分).

        橢圓的“交軌定義”:橢圓可以看作一個(gè)矩形的某組對邊中點(diǎn)分別與四分之一小矩形的另兩邊的相應(yīng)等分點(diǎn)連線交點(diǎn)的軌跡.

        練習(xí)3:如圖10,矩形[ABCD]中,[AB=2a, BC=2b][agt;bgt;0],[E,F(xiàn),G,H]分別是矩形四條邊的中點(diǎn),[R,S,T]是線段[OF]的四等分點(diǎn),[R,S,T]是線段[CF]的四等分點(diǎn),證明直線[ER]與[GR],[ES]與[GS],[ET]與[GT]的交點(diǎn)[L,M,N]都在橢圓[x2a2+y2b2=1 agt;bgt;0]上.

        該題中的四等分點(diǎn)可以改為[n]等分點(diǎn). 無論是四等分點(diǎn)還是[n]等分點(diǎn),都可以通過先確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線方程聯(lián)立求得直線的交點(diǎn)坐標(biāo),最后代入橢圓方程進(jìn)行驗(yàn)證,或直接觀察點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系,通過消去關(guān)聯(lián)參數(shù)得出方程,這種“交軌法”求軌跡方程的思想也是教材比較強(qiáng)調(diào)的. 以條件為“[n]等分點(diǎn)”舉例,可以求得點(diǎn)[L]的坐標(biāo)為[2nn2+1a, n2-1n2+1b],不難看出其滿足方程[x2a2+y2b2=1].

        除教材安排的以上例題和習(xí)題外,數(shù)學(xué)教師還可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,考慮補(bǔ)充橢圓的“參數(shù)定義”(如圖11,設(shè)大圓半徑為[a],小圓半徑為[b],則交點(diǎn)坐標(biāo)為[Macosα,bsinα],消參后即可轉(zhuǎn)化為其他橢圓方程形式)、“向量定義”、“復(fù)數(shù)定義”(這兩個(gè)定義相當(dāng)于橢圓的第一定義距離形式的向量模表示和復(fù)數(shù)模表示)、“投影定義”(主要是指球在平行光線下的投影)等. 總之,只要教師用心挖掘教材,教材中有無窮的資源可供開發(fā)利用.

        所有這些生成橢圓的方式,共同構(gòu)成了橢圓以定義為基礎(chǔ)的知識(shí)體系,對幫助學(xué)生建立圓錐曲線的歷史文化、知識(shí)結(jié)構(gòu)與能力應(yīng)用具有重要作用. 對此,數(shù)學(xué)教師不僅要有高度的重視和足夠的認(rèn)識(shí),還要積極將其滲透到日常數(shù)學(xué)教學(xué)中,以充分展示數(shù)學(xué)本真,達(dá)到育人目的.

        五、技術(shù)支持:增添數(shù)學(xué)色彩

        解析幾何是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)分支,“通過幾何建立直觀,通過代數(shù)予以表達(dá)”是其基本理念. 在圓錐曲線的研究中,對它們的幾何特征的直觀認(rèn)識(shí)是第一步,但要畫出圓錐曲線以及相關(guān)圖形并非易事. 《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào),教師一定要在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上理解技術(shù),所以教材的編寫關(guān)注信息化環(huán)境下的教學(xué)改革,高度重視信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教與學(xué)中的廣泛應(yīng)用. 教材特別設(shè)計(jì)了利用幾何軟件(如GeoGebra軟件)探究橢圓的閱讀材料. 教師可以利用該軟件對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行示范與講解,以充分發(fā)揮信息技術(shù)的支持作用,增添數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的色彩.

        在閱讀材料“信息技術(shù)應(yīng)用”中,教材設(shè)計(jì)了如何用GeoGebra軟件繪制第二定義下的橢圓,如圖12所示.

        在接下來的“雙曲線”一節(jié)引入中設(shè)計(jì)了如何用GeoGebra軟件繪制第一定義下的橢圓和雙曲線,如圖13所示.

        信息技術(shù)的巧妙利用,可以在很大程度上輔助教師提高課堂教學(xué)能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和信息技術(shù)的興趣.

        關(guān)于橢圓生成的研究一直以來都是廣大數(shù)學(xué)教師關(guān)注的話題. 教材中的例題與習(xí)題,其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和核心概念,熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題,并通過例題和習(xí)題解決過程感悟數(shù)學(xué)思想. 數(shù)學(xué)教師一定要深入理解教材例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖,充分發(fā)掘教材例題和習(xí)題的示范拓展功能,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到認(rèn)真解答教材例題和習(xí)題的重要性,必要時(shí)教師可以對有關(guān)題目進(jìn)行適當(dāng)變式拓展,補(bǔ)充內(nèi)涵和外延. 同時(shí),數(shù)學(xué)中也有許多“高大上”的問題,如涉及橢圓的單動(dòng)點(diǎn)問題、雙動(dòng)點(diǎn)軌跡問題、多動(dòng)點(diǎn)軌跡問題、含參取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題、存在性問題等. 有些問題推薦給學(xué)生訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維有一定好處,但也不排除有些問題顯得“難”“偏”“怪”,解答起來往往需要特定技巧,需要學(xué)生投入大量時(shí)間和精力,而對理解橢圓的定義和性質(zhì)卻起不了太大作用. 對此,在日常教學(xué)中數(shù)學(xué)教師還是要用好教材例題和習(xí)題,精選課外輔助題,講透通性通法題,將主要精力放在通過題目幫助學(xué)生理解圓錐曲線最本真的定義和性質(zhì)上.

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        基金項(xiàng)目:2022年紹興市教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題——高中數(shù)學(xué)新教材例習(xí)題功能的多維度挖掘?qū)嵺`研究(SJG2022227).

        作者簡介:何建東(1975— ),男,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事新課改新考改背景下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐與思考研究;

        張穎(1990— ),女,中學(xué)二級(jí)教師,主要從事新課改新考改背景下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐與思考研究.

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