摘" 要：通過拋物線切線的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生建立極限的思想，進(jìn)一步理解一般曲線切線的概念，是最終形成導(dǎo)數(shù)概念的重要前提. 通過課例“拋物線切線的斜率”，在“兩個(gè)過程”合理性理念的指導(dǎo)下，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)“用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題”和“用逼近（極限）的思想來研究函數(shù)的變化趨勢(shì)”，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成.

關(guān)鍵詞：“兩個(gè)過程”的合理性；拋物線切線的斜率；數(shù)形對(duì)應(yīng)；數(shù)學(xué)思維

一、問題緣起

導(dǎo)數(shù)的概念基于極限. 極限運(yùn)算是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)研究從有限到無限、從平直到彎曲不可或缺的手段，具有不可替代性. 為了讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)這個(gè)概念，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”，在最開始的“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”中提出了兩個(gè)問題. 問題1：跳水運(yùn)動(dòng)員的速度；問題2：拋物線切線的斜率. 教材試圖通過對(duì)這兩個(gè)問題的詳細(xì)剖析，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過渡過程，進(jìn)而為抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念而服務(wù). 但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)問題2不易理解，原因是一般曲線切線的概念與學(xué)生熟悉的圓的切線的定義方式不同. 因此，我們?cè)谄饰鰡栴}的過程中要滲透“用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題”和“用逼近（極限）的思想來研究函數(shù)的變化趨勢(shì)”這兩個(gè)微積分中的重要思想，讓學(xué)生體會(huì)極限的思想，感知現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本特征，即研究對(duì)象符號(hào)化、證明方法形式化和論證邏輯公理化，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生“通過幾何眼光觀察”的能力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行代數(shù)表達(dá)、運(yùn)算與推理，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).

二、教學(xué)方法的選擇

由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率是一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程，反映了用導(dǎo)數(shù)刻畫瞬時(shí)變化率的本質(zhì). 其核心思想是極限的思想，這個(gè)過程需要學(xué)生具有一定的想象力和辯證思維，對(duì)學(xué)生的理性思維要求很高. 教師需要通過各種手段，特別是幾何直觀，幫助學(xué)生理解這個(gè)過程. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)好問題，逐步引領(lǐng)學(xué)生剖析問題，即教學(xué)要讓數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程合理，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知過程、思維過程合理（以下統(tǒng)稱“兩個(gè)過程”），這是本節(jié)課設(shè)計(jì)的關(guān)鍵. 筆者在本案例中用問題引領(lǐng)學(xué)生思考，突破原有的認(rèn)知局限，引導(dǎo)學(xué)生自然地得到求一般曲線切線的方法，將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生發(fā)展過程充分暴露在學(xué)生面前，吸引學(xué)生積極參與知識(shí)再創(chuàng)造和發(fā)展的過程.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 問題引入

題目1" 試判斷圓[C：x2+y-42=5]與下列三條直線的位置關(guān)系. ① [l1：3x-y-2=0;] ② [l2：2x-y-1=0;] ③ [l3：2x-5=0.]

學(xué)生先畫出圖象如圖1所示. 由圖1可以直接判斷[l1]與圓[C]相交、[l3]與圓[C]相離，然后利用點(diǎn)到直線的距離可以判定[l2]與圓[C]相切.

問題1：初中階段是如何定義直線與圓相切的？

一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】從一個(gè)具體的問題情境出發(fā)，讓學(xué)生回顧直線與圓相切的定義. 從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)入手，為后續(xù)重構(gòu)切線的定義提供認(rèn)知的起點(diǎn)，為接下來數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展提供素材.

2. 探究新知

題目2" 試判斷拋物線[C：y=x2]與下列三條直線的位置關(guān)系. ① [l1：3x-y-2=0;] ② [l2：2x-y-1=0;] ③ [l3：2x-5=0.]

學(xué)生先畫出圖象如圖2所示. 由圖2可以直接判斷[l2和l3]與拋物線[C]有一個(gè)公共點(diǎn)，[l1]與拋物線[C]有兩個(gè)公共點(diǎn).

問題2：如何判斷這三條直線與拋物線[C]的位置關(guān)系？

直線[l1，l3]與拋物線[C]相交，直線[l2]與拋物線[C]相切.

【設(shè)計(jì)意圖】用一個(gè)熟悉的情境，制造學(xué)生的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考，為修正切線定義做好認(rèn)知和心理上的準(zhǔn)備，搭建學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)生發(fā)展的起點(diǎn).

問題3：能否用定義圓切線的方式來定義拋物線的切線？

此時(shí)給學(xué)生充分的討論時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生用上一節(jié)課處理瞬時(shí)速度的方法去解釋這個(gè)問題. 如圖3，切線[l2]的切點(diǎn)為[P01，1，] 過點(diǎn)[P0]的一條割線與拋物線[C]交于另一點(diǎn)[P，] 發(fā)現(xiàn)在交點(diǎn)[P]不斷逼近點(diǎn)[P0]的過程中，拋物線[C]的割線逐漸逼近拋物線[C]的切線[l2.]

問題4：是否可以用刻畫瞬時(shí)速度的方式來刻畫這個(gè)事實(shí)？

設(shè)點(diǎn)[P1+Δx，f1+Δx，] 則計(jì)算平均速度的方法在這里就變成了求割線[P0P]的斜率，即[kP0P=f1+Δx-f11+Δx-1=]

[1+Δx2-12Δx=Δx+2.]

類比平均速度的概念，可以稱之為函數(shù)的平均變化率. 我們可以不斷縮短橫坐標(biāo)間隔[Δx]來提高近似表示的精確度. 師生共同探究，得到表1.

【設(shè)計(jì)意圖】通過表1中的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感知當(dāng)[Δx]無限趨近于0時(shí)，即無論[x]從小于1的一邊還是從大于1的一邊無限趨近于1時(shí)，割線[P0P]的斜率[kP0P]都無限趨近于2.

問題5：平均變化率能否進(jìn)一步轉(zhuǎn)變成瞬時(shí)變化率？它的幾何意義是什么？

當(dāng)[Δx→0]時(shí)，[Δx+2]的極限值就是函數(shù)的瞬時(shí)變化率，即[limΔx→0kP0P=limΔx→0Δx+2=2.] 其幾何意義是拋物線[y=x2]在點(diǎn)[P01，1]處的切線的斜率.

問題6：對(duì)于拋物線[y=x2]上任意一點(diǎn)[Mx0，x02，] 如何求其切線方程？

拋物線[y=x2]上任意一點(diǎn)[Mx0，x02]處的切線的斜率是其在點(diǎn)[Mx0，x02]處的瞬時(shí)變化率，即[k切=][limΔx→0x0+Δx2-x02Δx=limΔx→0Δx+2x0=2x0.] 利用點(diǎn)斜式方程，可以求得拋物線[y=x2]上任意一點(diǎn)[Mx0，x02]處的切線方程為[y-x02=][2x0x-x0.]

問題7：對(duì)于曲線[C：y=fx]上任意一點(diǎn)[Mx0，fx0，] 如何求其切線方程？

曲線[C：y=fx]上任意一點(diǎn)[Mx0，fx0]處的切線的斜率是其在點(diǎn)[Mx0，fx0]處的瞬時(shí)變化率，即[k切=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx.] 利用點(diǎn)斜式方程，可以求得曲線[C：y=fx]上任意一點(diǎn)[Mx0，fx0]處的切線方程為[y-fx0=k切x-x0.]

【設(shè)計(jì)意圖】在先前經(jīng)驗(yàn)的引導(dǎo)下，由特殊到一般，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng). 類比由平均速度過渡到瞬時(shí)速度的過程，得到一般曲線切線的定義，讓學(xué)生在瞬時(shí)速度后再次體驗(yàn)極限思想，感受這種“導(dǎo)出”的數(shù)，也為后續(xù)引出導(dǎo)數(shù)概念提供必要的認(rèn)知和心理準(zhǔn)備. 整個(gè)過程讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了進(jìn)一步的發(fā)生發(fā)展.

3. 鞏固落實(shí)

例1" 求拋物線[C：fx=3x2-4x-1]在點(diǎn)[P2，3]處的切線方程.

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)熟悉一般曲線切線的求法.

例2" 若曲線[C：fx=x2+ax+b]在點(diǎn)[P0，b]處的切線方程是[x-y+1=0，] 求[a]和[b]的值.

【設(shè)計(jì)意圖】在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步熟悉一般曲線切線的求法. 在問題解決的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，以及由“形”到“數(shù)”的數(shù)學(xué)抽象過程，體驗(yàn)知識(shí)再創(chuàng)造和發(fā)展的過程.

4. 學(xué)以致用

探究1：在前一節(jié)課的“跳水運(yùn)動(dòng)員的速度”問題中，給出了某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度[h]（單位：m）與起跳后的時(shí)間[t]（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系[ht=-4.9t2+4.8t+11.] 其函數(shù)圖象如圖4所示. 可求得運(yùn)動(dòng)員在起跳后1 s到[1+Δt] s的平均速度[v=h1+Δt-h11+Δt-1，] 其幾何意義是什么？瞬時(shí)速度[v1]的幾何意義是什么？

探究2：某堆雪在融化過程中，其體積[V]（單位：m3）與融化時(shí)間[t]（單位：h）近似滿足函數(shù)關(guān)系：[Vt=H10-110t3]（[H]為常數(shù)），其圖象如圖5所示. 記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為[v]（單位：[m3 / h]）.

（1）求雪在融化過程中[t1]時(shí)刻的瞬時(shí)融化速度，以及雪的平均融化速度[v]；

（2）求在雪的整個(gè)融化過程中，瞬時(shí)融化速度等于[v]的時(shí)刻.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過實(shí)際情境理解平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)工具的重要性. 正如馬克思所說：一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步. 這里也為后續(xù)給出導(dǎo)數(shù)的幾何意義做了鋪墊.

5. 課后作業(yè)

作業(yè)1：求曲線[y=12x2-2]在點(diǎn)[1，-32]處的切線的傾斜角.

作業(yè)2：試求拋物線[C：fx=x2+1]在點(diǎn)[1，2]處的切線方程.

作業(yè)3：（多選題）某堆雪在融化過程中，其體積[V]（單位：m3）與融化時(shí)間[t]（單位：h）近似滿足函數(shù)關(guān)系：[Vt=H10-110t3]（[H]為常數(shù)），其圖象如圖6所示. 記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為[v]（單位：[m3 / h]）. 若[t1]，[t2]，[t3]，[t4]時(shí)刻的瞬時(shí)融化速度分別為[v1]，[v2]，[v3]，[v4，] 且[v3=v.] 則下列各式正確的是（" " ）.

（A）[v1lt;v] （B）[v2gt;v]

（C）[v2+vgt;0] （D）[v4+vlt;0]

【設(shè)計(jì)意圖】第1題是教材第70頁習(xí)題第7題，第2題是教材第64頁練習(xí)第2題的改編題，第3題是探究2的同類題. 通過3道作業(yè)題回顧和梳理整節(jié)課的學(xué)習(xí)，用好教材和課堂的素材，讓學(xué)生再次理解一般曲線的切線定義，以及其背后的幾何和物理意義，進(jìn)而達(dá)到鞏固本節(jié)課學(xué)習(xí)成果的目的.

四、課后反思

本節(jié)課用7個(gè)問題引領(lǐng)學(xué)生思考，深入剖析了拋物線切線的斜率，整個(gè)設(shè)計(jì)的重心在于如何用問題引領(lǐng)學(xué)生突破認(rèn)知沖突，進(jìn)階思維方式. 在整個(gè)教學(xué)過程中，通過以直代曲、以不變代變的手段去滲透“用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題”和“用逼近（極限）的思想來研究函數(shù)的變化趨勢(shì)”，反映了“以動(dòng)窺靜、以靜制動(dòng)”的智慧，這也為后續(xù)學(xué)生能更好地體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

整個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生突破原有的認(rèn)知基礎(chǔ)去建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在感知微積分基本思想的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的理性思維，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 在問題的引領(lǐng)下，充分暴露學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)生發(fā)展的過程，吸引學(xué)生積極參與知識(shí)再創(chuàng)造和發(fā)展的過程. 讓學(xué)生在這個(gè)過程中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)問題，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題，最終學(xué)會(huì)思考問題，致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng)，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成而教.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)1）：《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（7）：6-11.

［2］王凱，蘇有生. 基于“兩個(gè)過程”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)：以“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（6）：38-40.

作者簡介：王凱（1979— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

蘇有生（1959— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.