摘" 要：從測評工具設計、測評題目與解析、測評結果與分析、測評反思與啟示等四個方面介紹了對高中生開展數(shù)學核心素養(yǎng)測評的實踐，并從中歸納出幾點思考.

關鍵詞：高中數(shù)學；核心素養(yǎng)；學習評價

有內在邏輯關系的數(shù)學單元是一個相對獨立的內容結構，往往被作為培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的基本教學單位進行整體設計與組織教學. 在單元學習結束后開展數(shù)學核心素養(yǎng)測評，是及時檢測學生數(shù)學核心素養(yǎng)達成度及評價與改進單元整體教學的必要手段. 為調查了解高中數(shù)學新課程實施后高中生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)情況，筆者以某地區(qū)學生為對象，以“平面向量的運算”單元為載體，進行了數(shù)學核心素養(yǎng)測評研究. 下面從測評工具設計、測評題目與解析、測評結果與分析、測評反思與啟示等四個方面進行闡述.

一、測評工具設計

數(shù)學核心素養(yǎng)測評的方式有很多，這里采用測試卷以紙筆測試的方式進行測評. 為了更好地分析和評價學生數(shù)學核心素養(yǎng)的達成度，根據(jù)單元數(shù)學核心素養(yǎng)測評特點對測試卷的命制進行如下設計.

在對素養(yǎng)的考查上，根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求，將“平面向量的運算”單元需要重點提升的數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學抽象等素養(yǎng)作為考查內容，參照數(shù)學核心素養(yǎng)的水平劃分，命制體現(xiàn)各數(shù)學核心素養(yǎng)三個水平的試題；在知識分布上，以平面向量數(shù)量積為主，覆蓋平面向量加、減、數(shù)乘運算；在情境設計上，采用數(shù)學情境，體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)水平一、水平二、水平三的試題分別選用簡單情境、較復雜情境、復雜情境；在題量安排上，命制三道題，每道題分別指向對數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的考查，每道題設置三道小題，并按題序從小到大分別對應數(shù)學核心素養(yǎng)從低到高的三級水平；在題型設置上，每道題均為綜合題，由選擇題、判斷題、填空題、解答題等形式組合而成；在試題賦分上，各核心素養(yǎng)按相同權重考查，每道小題均賦10分，滿分90分；在評價標準上，每道小題評分設兩檔，答對的評滿分，視為達到相應水平，未答全對的評零分，視為未達到相應水平；在測試時間上，按平均每道題20分鐘計，測試時間共60分鐘.

二、測評題目與解析

題目1" 對于向量[a，b，] 探求[a]與[a+b]的夾角[θ]的解.

（1）已知[a=1， b=2，] [a · a-b=2]，求[θ;]

（2）從下列條件中選出若干個作為一組條件，使得[θ]有唯一解：①[a=1，] ②[b=2，] ③[a]與[a-b]的夾角為60°，④[a-b=4.] 試寫出所選條件（只需一組）的序號，并求[cosθ]的值；

（3）是否可以從（2）所列條件中選出若干個作為一組條件，使得[θ]恰有兩個解？回答“是”或“否”，并簡要闡述思路.（可以不求出具體值.）

【命題意圖】此題以平面向量數(shù)量積運算為主要載體，通過在不同情境下運用所學知識求向量的夾角考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，三道小題依次反映數(shù)學運算素養(yǎng)的三個水平.

第（1）小題主要考查學生能否在簡單的平面向量情境中，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算規(guī)則分析運算問題，建立求夾角的運算思路，并求得正確結果.

第（2）小題主要考查學生能否在與平面向量有關的較復雜的情境中，確定運算對象，運用平面向量運算法則和性質等分析運算問題、選擇運算方法、設計運算程序，通過合理步驟求得正確運算結果.

第（3）小題主要考查學生能否在第（2）小題的基礎上，明確運算方向、設計運算程序，用程序化的思想理解平面向量運算問題.

解：（1）由[a · a-b=2，] 得[a2-a · b=2.]

解得[a · b=-1.]

從而得[a · a+b=a2+a · b=0.]

所以[θ=90°.]

評價標準：若學生解答過程較完整，能反映正確的運算思路，答案正確，得10分，可以認為達到數(shù)學運算素養(yǎng)水平一.

（2）（方法1）選擇①③④，可求得[cosθ=0.]

由條件，可得[a · a-b=aa-bcos60°=2.]

由（1），可得[cosθ=0.]

（方法2）選擇①②③，可求得[cosθ=7-13226-213.]

由③，得[a · a-baa-b=12.]

由①，知[a=1.]

所以有[1-a · ba-b=12.]

兩邊平方，整理，得[4a · b2-6a · b-1=0.]

解得[a · b=3-134]（舍去大于1的值）.

所以[cosθ=a · a+baa+b=7-13226-213.]

評價標準：若學生選擇①③④，并求得[cosθ=0;]或選擇①②③，并求得[cosθ=7-13226-213]（答案可以不是最簡），可以認為達到數(shù)學運算素養(yǎng)水平二.

（3）否，簡要思路如下.

選擇一個或兩個條件作為一組條件時，都有無數(shù)個解，不符合題意.

選擇三個條件作為一組條件的情況共有4種. 當選擇①②④或選擇②③④時，均無解；當選擇①③④或①②③時，均有一個解.

選擇四個條件作為一組條件時，因為選擇三個條件作為一組條件求解的答案要么只有一個解，要么無解，故當增加第四個條件時，會造成條件多余或矛盾，而不會出現(xiàn)兩個解的情況.

綜上所述，答案是否定的.

評價標準：若學生回答“否”，且能比較清晰地說明各類條件組合下都沒有兩個解的情況（不要求寫出求解詳細過程和求出具體值），可以認為達到數(shù)學運算素養(yǎng)水平三.

題目2" 設[a，b]為不共線的兩個單位向量，[OP=][xa+yb x，y∈R.]

（1）[a，b]與點[O]的位置關系如圖1所示. 若[OA=][a， OB=b， OP=AP+PB，] 試根據(jù)平面向量運算的幾何意義表示出點[P]的位置.

（2）[a，b]與點[O]的位置關系如圖2所示. [a，b]的夾角為[150]°，若[y=2，] 求[OP]的最小值. 用圖形呈現(xiàn)分析過程，在圖上用字母[M]標出[OP]取得最小值時點[P]的位置，并直接寫出[OP]的最小值.

（3）[a，b]的位置關系如圖3所示. [a⊥b，] 若[x，y]均為不大于[2]的正數(shù)，且[2x+y≤]4，求[x+y]的最大值. 用圖形呈現(xiàn)分析過程，并直接寫出[x+y]的最大值.

【命題意圖】第（1）小題主要考查學生能否在簡單的平面向量運算情境中，通過圖形直觀認識平面向量的加法運算法則和幾何意義，用圖形表達熟悉的平面向量加法運算.

第（2）小題主要考查學生能否在較復雜的情境中，在理解平面向量的運算規(guī)則和幾何意義的基礎上，想象并構建相應的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量的關系，通過直觀想象明確運算問題，探求運算思路，探索運算規(guī)律，掌握研究的基本方法，形成數(shù)形結合思想.

第（3）小題主要考查學生能否在復雜的情境中，根據(jù)平面向量運算的幾何意義，綜合利用圖形與數(shù)量的關系解決平面向量運算問題，通過想象對復雜的平面向量運算問題進行直觀表達，抓住本質，解決問題.

解：（1）略.

評價標準：若學生正確表示出點[P]的位置，可以認為達到直觀想象素養(yǎng)水平一.

（2）作圖略，[OP]的最小值為1.

評價標準：若學生正確寫出[OP]的最小值，并準確標出此時點[P]的位置，可以認為達到直觀想象素養(yǎng)水平二.

（3）作圖略，[x+y]的最大值為3.

評價標準：若學生正確寫出[x+y]的最大值，呈現(xiàn)的圖形能基本準確反映分析思路，可以認為達到直觀想象素養(yǎng)水平三.

題目3" 已知[a，b]為互相垂直的單位向量，[OA=][a， OB=b，C]為不在直線[OB]上的一點，設以[OC，OB]為鄰邊的平行四邊形的面積為[S.]

（1）求下列情況下[S]的值，將結果直接寫在相應橫線上：

① 當[OC=2a+b]時，[S]的值為"_______ ；

② 當[OC=2a-2b]時，[S]的值為____ ；

③ 當[OC=-2a+3b]時，[S]的值為"_____ ；

④ 當[OC=xa+yb x，y∈R]時，[S]的值為______（結果用字母表示）.

（2）設[OC=c，] 用[a，c]表示[S.]

（3）定義向量的一種新運算“*”：對于不共線的向量[m，n，] 作[OM=m， ON=n，m * n]表示以[OM，ON]為鄰邊的平行四邊形面積.

① 對于上述向量[a，b， a+b * a-b]的值為"______（將結果直接寫在橫線上）；

② 設[z]為與[m，n，m+n]都不共線的向量，判斷下面兩個等式是否正確. 若正確，在其后面的括號內打“√”，并加以證明；若不正確，在其后面的括號內打“×”，并舉反例進行說明.

[m * n=n * m]（" " ）；[m+n * z=m * z+n * z]（" " ）.

【命題意圖】第（1）小題主要考查學生能否從簡單的情境中通過具體運算抽象出運算規(guī)則，從運算結果中概括出一般結論.

第（2）小題主要考查學生能否從與平面向量運算有關聯(lián)的情境中，理解平面向量運算與其他相關運算之間的聯(lián)系，通過推理得出用向量運算式表示的結論，理解平面向量運算的符號表示.

第（3）小題主要考查學生能否理解與平面向量運算有關的新定義運算，并加以應用；能否從新運算情境中抽象出運算法則，并在理解新運算與平面向量運算關系的基礎上對其進行證明.

解：（1）① [2;] ② 2； ③ 2； ④ [x.]

評價標準：若④填寫正確，①②③中有兩個或三個填寫正確，得10分，可以認為達到數(shù)學抽象素養(yǎng)水平一；若④填寫不正確，其他無論幾個填寫正確，都不得分，且不認為達到數(shù)學抽象素養(yǎng)水平一.

（2）（方法1）設向量[OC， OB]的夾角為[α， OC，] [OA]的夾角為[θ，]

則由[a，b]為互相垂直的單位向量，得

[S=][OCOBsinα=cacosθ=ca.]

（方法2）設[c=xa+yb x，y∈R，]

由（1）的求解過程可知，[S=][x=OC ? OA=ca.]

評價標準：若學生求出正確結果，求解過程能反映正確的分析思路，得10分，認為達到數(shù)學抽象素養(yǎng)水平二.

（3）① 2；

②[m * n=n * m]（ √ ）；[m+n * z=m * z+n * z]（ × ）.

理由：對于[m * n=n * m.] 由運算的定義可知，[m * n]和[n * m]表示相同平行四邊形的面積，故[m * n=n * m.]

對于[m+n * z=m * z+n * z.] 取[m=n=z=1，m，n]夾角[120°]，[m，z]夾角[90°]，[n，z]夾角[30°]，則[m+n * z=]

[m+n · m=m2+m · n=12.] 而[m * z+n * z=m2+m · n=32.]所以可知此結論不成立.

評價標準：若學生能得出①的正確結果，對②的兩個結論做出正確判斷，并能給出證明和舉反例說明，得10分，認為達到數(shù)學抽象素養(yǎng)水平三.

三、測評結果與分析

1. 測評結果

（1）測評總體狀況.

測評對象是采用分層抽樣的方法在某地區(qū)高一學生中選取的容量為285人的樣本. 實測平均分18.21分，得分率20.23%；得30分以上的學生很少，得60分及以上的學生僅有5人. 由此可知，每個數(shù)學核心素養(yǎng)都達到水平二要求的學生僅占1.75%；得10分的學生最多，達146人，表明只達到一個數(shù)學核心素養(yǎng)水平一要求的學生占51.23%. 從總體上來看，多數(shù)學生在數(shù)學核心素養(yǎng)上的表現(xiàn)不佳. 具體如表1和表2所示.

（2）學生在數(shù)學核心素養(yǎng)水平維度上的表現(xiàn).

測評數(shù)據(jù)表明，60%以上學生尚未達到數(shù)學核心素養(yǎng)水平一的要求，達到數(shù)學核心素養(yǎng)水平三的要求的學生非常少（具體見表3）.

（3）學生在數(shù)學核心素養(yǎng)維度上的表現(xiàn).

由測評數(shù)據(jù)可知，數(shù)學運算素養(yǎng)的平均分高于數(shù)學抽象素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng)的平均分又比前兩者都高出較多. 由此可知，學生在直觀想象素養(yǎng)上表現(xiàn)最佳，在數(shù)學抽象素養(yǎng)上表現(xiàn)最差（具體見表4）. 但從數(shù)學抽象素養(yǎng)水平二、水平三的達標率高出數(shù)學運算素養(yǎng)來看，不是所有學生的數(shù)學運算素養(yǎng)水平都高于數(shù)學抽象素養(yǎng)水平，或者說學生在這兩個素養(yǎng)上的表現(xiàn)與相應測試題的難度有關.

（4）不同性別學生在數(shù)學核心素養(yǎng)及其水平維度上的表現(xiàn).

由測評數(shù)據(jù)可知，男生在各個數(shù)學核心素養(yǎng)及整體上的表現(xiàn)均優(yōu)于女生. 其中，直觀想象素養(yǎng)上的表現(xiàn)男生比女生高出最多，且水平一達標率男生比女生高出最多. 具體如表5和表6所示.

2. 問題分析

從數(shù)學核心素養(yǎng)的內在要求看，大部分學生還沒有形成良好的思維品質. 例如，題目1的第（2）小題共有157人求出[cosθ]的值. 其中，所求值不在區(qū)間[-1，1]上的有64人，這意味著能求出[cosθ]的值的學生中，40.76%的學生都認為所求值落在區(qū)間[-1，1]外沒有不妥，或是根本未對所求值進行檢驗，說明學生思維的批判性不強. 又如，在題目3的第（1）小題四個空全部填寫正確的48人中，只有7人答對第（2）小題，這意味著在能通過具體求值再抽象概括出面積為[x]的學生中，有85.42%的學生未能抓住[c]在[a]上的投影與[x]之間關系的本質，說明絕大部分學生思維深刻性不夠. 再如，對于題目1的第（2）小題，使[θ]有唯一解的條件組合為①③④和①②③，條件組合為①③④時，得出[a · a-b=2]后即可按第（1）小題的思路求解，比條件組合①②③的求解難度小. 從測評結果看，第（1）小題求對的有106人，而第（2）小題選①③④條件組合的有53人，選①②③條件組合的有76人. 由此易知，至少50%的學生不能在已有解題過程與結果的啟發(fā)下，敏銳地選擇合適的條件組合進行分析求解，說明很多學生缺乏良好的思維敏捷性.

從數(shù)學核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)看，大部分學生數(shù)學關鍵能力不足. 例如，題目3第（1）小題前三個空都填寫正確的學生有81人，其中33人第四個空未得出正確答案[x，] 這說明其未能結合前三個空的解答求出向量為一般形式[OC=xa+yb x，y∈R]時[S]的表達式，說明至少40%的學生抽象概括的意識和能力不足. 又如，題目1第（2）小題使[θ]有唯一解的條件組合為①③④和①②③，選擇這兩個組合的共有129人，其中解答對的有18人，也就是說，條件組合選對的學生求解正確率僅為13.95%，這說明學生的運算求解能力相當薄弱. 再如，在題目3第（3）小題對第二個等式判斷為“[×]”的173人中，只有5人通過舉反例進行證明，其他給出證明的學生多數(shù)從該等式在任何情況下都不成立的角度去證明，說明絕大多數(shù)學生的推理論證能力不足.

從數(shù)學核心素養(yǎng)的形成基礎來看，學生必備知識還不夠扎實，基本技能還不夠熟練，數(shù)學思想方法掌握不好. 例如，題目2第（1）小題答錯的學生有103人，說明36.14%的學生最基本的向量加法運算沒有過關，對必備知識掌握得很不扎實. 題目1第（1）小題有131人誤解為[a，b]的夾角，說明審題存在問題，思維定式現(xiàn)象比較嚴重. 又如，題目1第（3）小題，在認為[θ]無兩個解的96人中，僅有12人按條件組合分類分析，其中3人分類完整且作答正確，說明學生應用分類與整合的思想方法分析問題的能力不強，分類意識淡薄對分析解決問題阻礙較大. 再如，題目2第（2）小題解答正確的學生僅有82人，可見71.23%的學生對數(shù)形結合思想方法掌握不到位. 問題在于學生不能將數(shù)量上的“[y=2]”轉為圖形上“點[P]”的特征，由數(shù)量[x]的變化探索點[P]的運動軌跡，進而找出使[OP]取得最小值時的點[P]的位置.

從數(shù)學核心素養(yǎng)的考查載體看，面對較復雜或較新的試題情境，學生不能較好地發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題. 例如，題目3第（3）小題，在給出向量的一種新運算“*”的定義后，要求[a+b * a-b]的值，定義不難理解，運算式子也不復雜，但答對的學生只有51人，占17.89%. 對于等式“[m * n=n * m]”，證明并不難，只要扣準定義就可以了，然而在選“√”的203人中，證明正確的僅有38人，占18.72%. 這兩道小題如此低的正確率，說明新定義運算的情境會對大部分學生造成解題障礙. 又如，題目2第（3）小題，情境涉及的數(shù)量與圖形之間的關系較為復雜，解對的學生只有31人，絕大部分學生不能建立起數(shù)量[x，y]的取值變化與向量[OP]終點[P]的位置變化之間的關系. 再如，題目1第（2）小題，要求學生從4個條件中選取若干個作為一組條件，使得[θ]有唯一解. 依據(jù)上述分析可知，條件組合①③④是最佳組合，但做出這種選擇的學生只占18.60%. 說明學生面對一個較復雜的有關選擇與決策的新情境時，不能較好地分析條件、解決問題.

四、測評反思與啟示

1. 研制測評指標體系，引領數(shù)學核心素養(yǎng)的教學與評價

《標準》在各主題的“學業(yè)要求”中提出該主題要重點提升的若干個數(shù)學核心素養(yǎng)，但是未將其與該主題知識內容相結合細化具體要求. 另外，《標準》將每個數(shù)學核心素養(yǎng)劃分為三個水平，并給出了每個水平標準的描述. 但這些描述沒有結合具體的知識內容與問題情境，比較抽象、籠統(tǒng). 為了使測評有的放矢，發(fā)揮引導教學的作用，需要根據(jù)《標準》對單元數(shù)學核心素養(yǎng)的總體要求，依據(jù)“數(shù)學核心素養(yǎng)的水平劃分”對各數(shù)學核心素養(yǎng)不同水平的一般性表述，結合具體內容研制單元數(shù)學核心素養(yǎng)測評指標體系，體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)評價指標體系應具有學科知識整合性的要求，引領數(shù)學核心素養(yǎng)的教學與評價.

2. 把握測評功能定位，確保數(shù)學核心素養(yǎng)測評試題科學有效

命制科學的測評試題，是對學生數(shù)學核心素養(yǎng)水平進行準確評價的關鍵，必須牢牢把握數(shù)學核心素養(yǎng)測評的功能定位. 這就需要做到以下四個方面.

第一，指向明確. 數(shù)學核心素養(yǎng)測評要觀測的是學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 因此，測評試題的命制要著眼數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，堅持素養(yǎng)優(yōu)先，知識與方法的考查服從于素養(yǎng)的考查，做到指向明確.

第二，目標單一. 數(shù)學核心素養(yǎng)測評要比較學生不同的數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展情況. 因此，需要分別命制不同的試題考查不同的數(shù)學核心素養(yǎng). 這樣，數(shù)學核心素養(yǎng)的考查目標相對單一，便于分析診斷、準確評價. 當然，若要從整體上考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)情況，可以另外命制綜合考查幾個數(shù)學核心素養(yǎng)的試題.

第三，層次分明. 數(shù)學核心素養(yǎng)測評要評價學生某個數(shù)學核心素養(yǎng)達到各水平層次的情況. 因此，要根據(jù)數(shù)學核心素養(yǎng)測評指標體系刻畫的數(shù)學核心素養(yǎng)水平標準命制測評試題. 各水平層次的試題要緊扣所考查數(shù)學核心素養(yǎng)在該水平的主要表現(xiàn)點，力求層次分明，確保試題能夠較準確地衡量學生某個數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的水平層次.

第四，結構合理. 不同單元的數(shù)學核心素養(yǎng)目標與重點不同，內容特點與跨度不同，教學要求與時長不同. 因此，單元數(shù)學核心素養(yǎng)測評試卷要建立整體性的設計觀，根據(jù)測評目標把握考查重點、試題難度、題型設計、題量配置等，做到試卷結構合理.

3. 構建測評與教學互動機制，促進數(shù)學核心素養(yǎng)在教學中真正落實

開展數(shù)學核心素養(yǎng)測評的意義在于促進在數(shù)學教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)，提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)水平. 要有效發(fā)揮測評的作用，需要建立測評與教學互動的機制. 一方面，要通過測評發(fā)現(xiàn)問題、分析原因、尋求對策、改進教學；要通過從測評到改進的實踐，總結提煉“測評—診斷—對策”的分析模式和實施改進的操作模式. 例如，發(fā)現(xiàn)女生和男生在數(shù)學核心素養(yǎng)表現(xiàn)上的差距后，就要在科學分析的基礎上，制定相應的補救措施改進教學. 另一方面，要通過“教學改進”的實踐檢驗測評、優(yōu)化測評. 要檢驗測評的成效，就要按照“測評—診斷—對策”的模式對測評進行分析，并按其中的對策實施改進. 另外，教學可以檢驗測評指標的科學性和可操作性. 因此，要在教學改進的實踐中不斷優(yōu)化數(shù)學核心素養(yǎng)測評指標體系，進而更好地發(fā)揮其在教學中的引領作用.

參考文獻：

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［3］喻平. 發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學與評價研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

基金項目：全國教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度單位資助教育部規(guī)劃課題——區(qū)域性高中學科教學與學業(yè)質量監(jiān)測互動研究（FHB180656）.

作者簡介：陳坤其（1971— ），男，中學高級教師，福建省特級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

繆欽（1964— ），男，中學高級教師，福建省特級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

王建鋒（1972— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究.