摘" 要：通過四個案例闡述了利用[GeoGebra]軟件[3D]功能開展探究的過程，以及案例的關鍵操作步驟. [GeoGebra]軟件[3D]功能與立體幾何的深度融合，能實現(xiàn)傳統(tǒng)教學難以達到的效果，是發(fā)展學生幾何直觀和空間想象能力的利器.

關鍵詞：直觀想象；[GeoGebra]軟件[3D]功能；立體幾何；案例

一、問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提升數(shù)形結合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識. 由此可見，直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學的重要培育目標.

立體幾何要求學生能通過直觀感知、操作確認及推理論證等方法認知和探索空間圖形的相關性質，形成空間觀念. 教學中可以借助實物模型或信息技術呈現(xiàn)空間幾何體，由具體到抽象，由整體到局部，并掌握在平面上解決空間圖形問題的技能和方法. 然而，在實際教學中，部分學生不知道如何識圖、作圖，不知道如何深度思考，更談不上嚴謹?shù)耐评?、準確的運算了. 根本原因是學生的空間想象能力不足，即缺乏觀察實物模型在大腦中形成空間幾何體的表象并用二維圖形描述空間幾何體的能力，進而脫離實物模型，按照語言文字的描述在大腦中構想空間幾何體. 再者不能對大腦中建立的表象進行加工或操作以便構建新的表象. 突破空間想象的障礙，有時只靠一塊黑板、一支粉筆這種“紙上談兵”的方式很難實現(xiàn)，如復雜的組合體、動態(tài)變化的立體圖形、幾何體的截面等，甚至實物模型有時也無法展示.

[GeoGebra]軟件從5.0版本開始增加了[3D]功能，可以通過工具欄或輸入指令的方式構造出各種幾何體（如曲面、相交曲線、垂面、位似）及計算面積和體積等. 拖動鼠標能實現(xiàn)立體圖形的旋轉，方便從不同的視角觀察立體圖形. [GeoGebra]軟件[3D]功能最大的優(yōu)勢是動態(tài)展示立體圖形，能將知識發(fā)展和形成的過程清晰地展現(xiàn)在學生面前，如輸入指令“展開圖（lt;多面體gt;，lt;展開程度gt;）”，通過滑動條控制展開程度，即可動態(tài)實現(xiàn)多面體的展開. 學生借助[GeoGebra]軟件[3D]功能觀察圖象或者實際操作探究能實現(xiàn)從抽象想象到直觀感受的質變，以突破空間想象的瓶頸，提升空間意識和空間觀念.

二、案例研究

1. [GeoGebra]軟件[3D]功能用于概念教學

在立體幾何教學中，學生在沒有視覺感知的情況下，僅憑教師的語言或者對靜態(tài)圖片的觀察，有時很難對空間幾何體有一個全面、清晰的認識. 例如，學習棱柱、棱臺和棱錐時，如何理解它們之間的內在聯(lián)系與區(qū)別呢？從動態(tài)變化的角度來看，當棱柱的上底變小時轉化為棱臺，縮為一個點時轉化為棱錐，如圖1所示（以三棱柱、三棱臺和三棱錐為例）.

關鍵操作步驟如下.

（1）在[3D]繪圖區(qū)新建[△ABC].

（2）新建滑動條（最小值為0，最大值為1）用于控制位似比；輸入指令“位似（lt;幾何對象gt;，lt;位似比gt;，lt;位似中心gt;）”，并將新得到的三角形上移.

（3）構造側面，拖動滑動條即可實現(xiàn)多面體之間的動態(tài)變換.

2. [GeoGebra]軟件[3D]功能用于正方體截面

正方體具有豐富的幾何關系，是經典的空間幾何體，也是高考試題的熱點命制載體. 正方體截面問題對學生的抽象思維能力和空間想象能力要求較高，因傳統(tǒng)教學無法動態(tài)展示得到截面的過程，學生想象出具體情形具有一定的困難，使得教學效果大打折扣.《標準》教學評價第11個案例中給出了6種正方體截面圖形的示意圖，并設計了一系列問題串，引導學生探究完成正方體截面的形狀和截面的面積等問題. [GeoGebra]軟件[3D]功能可以直觀、快捷和動態(tài)地展示各種截面，如圖2所示. 但是觀察不能代替證明，教師仍然要讓學生通過觀察形成猜想，進而證明結論，通過逐步深入探究，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和推理論證的能力.

關鍵操作步驟如下.

（1）在[3D]繪圖區(qū)新建正方體[ABCD-EFGH].

（2）在線段[AG]上取點[J]，以點[J]為球心構建球，并在球面上取點[K].

（3）過點[J]構造直線[JK]的垂面，利用相交曲線工具構建垂面和正方體的截面多邊形.

（4）拖動點[J]改變平面的位置，拖動點[K]改變平面的傾斜角度.

高考試題再現(xiàn)：2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第12題如下.

已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面[α]所成的角都相等，則[α]截此正方體所得截面面積的最大值為（" " ）.

（A）[334] （B）[233]

（C）[324] （D）[32]

如圖2，所求截面面積的最大值即為與平面[CFH]平行的截面面積的最大值. 若先求出截面面積的解析式，再求最大值，費時費力，并且難以求得正確結果. 而如果學生能準確想象出與平面[CFH]平行的截面的變化情況，再確定面積最大值的位置，問題將迎刃而解. 難點在于如何準確想象圖形的變化，這需要在日常教學中，利用信息技術增加教師展示或學生參與操作數(shù)學實驗的機會，使得學生在大腦中形成空間圖形變化的表象. 在上述課件中，將點[K]放在直線[AG]上，拖動點[J]，[GeoGebra]軟件可以準確地作出該題所需截面圖形，并自動計算面積，學生通過觀察能感知圖形的變化情況，形成新的表象.

3. [GeoGebra]軟件[3D]功能用于折疊問題

立體幾何折疊問題具有從平面到空間動態(tài)變化的屬性，解決此類問題的關鍵是認清翻折前后圖形位置的變化及翻折前后對應的數(shù)量關系，對學生的觀察與分析、對比與想象和空間想象能力有較高的要求.

高考試題再現(xiàn)：2015年高考數(shù)學浙江卷理科第8題如下.

如圖3，已知[△ABC]中，[D]是[AB]的中點，沿直線[CD]將[△ACD]折成[△ACD]，所成二面角[A-CD-B]的平面角為[α]，則（" " ）.

（A）[∠ADB≤α] （B）[∠ADB≥α]

（C）[∠ACB≤α] （D）[∠ACB≥α]

探究1：點[A]在平面[BCD]內的射影與折痕[CD]之間的關系是什么？

探究2：點[A]的運動軌跡是什么？

逐步深入的探究可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、作圖表達和推理論證的能力. 如圖4，過點[A]作垂直于[CD]的直線，垂足為點[E]. 折疊過程中，[AE⊥CD]的關系不變，故點[A]在平面[BCD]內的射影與折痕[CD]垂直，且落在直線[AE]上. 點[A]在以點[E]為圓心、[EA]為半徑的圓上，且圓所在平面與[CD]垂直，延長線段AE交圓E于點F. 由二面角的定義知[∠AEF=α]. 在圓[E]中，[∠AEF=2∠AAE]. 在以點[D]為圓心、[AD]為半徑的圓中，[∠ADB=2∠AAD]. 又因為等腰三角形[AAE]和等腰三角形[AAD]的底邊相同，[AE≤AD，] 所以[∠AAE≤][∠AAD.] 故答案選[B].

如何利用[GeoGebra]軟件[3D]功能呈現(xiàn)上述折疊過程呢？關鍵操作步驟如下.

（1）在[3D]繪圖區(qū)新建[△ABC]，構建線段[AB]的中點[D]，過點[A]作直線[CD]的垂線[AF]，AF與[CD]的交點為點[E].

（2）利用工具欄構建過點[E]且垂直于[CD]的垂面，并在該平面內繪制以點[E]為圓心、[EA]為半徑的圓.

（3）在圓上取點[A]，新建[△ADC]，拖動點[A]即可動態(tài)展示折疊過程.

以此圖形為載體，可以進一步開展探究.（利用[GeoGebra]軟件的計算功能，讓學生直觀觀察，再推理論證.）

探究3：已知[△ABC]中，[D]是[AB]的中點，[AB=4]，[CD=3]，沿直線[CD]將[△ACD]折成[△ACD]，二面角[A-CD-B]的平面角為[∠ACB]，求三棱錐[A-BCD]體積的最大值.

探究4：已知[△ABC]中，[D]是[AB]的中點，[AB=4]，[CD=3]，沿直線[CD]將[△ACD]折成[△ACD]，求二面角[A-BC-D]的正切值的最大值.

4. [GeoGebra]軟件[3D]功能用于探究學習

[GeoGebra]軟件[3D]功能具有動態(tài)性，可以完成抽象幾何圖形的繪制，為彌補實物模型的不足、創(chuàng)設有利學習情境、增強學生對圖形的直觀感知提供保障.

例" 已知異面直線a，b成[60°]角，其公垂線段[MN]的長為[2]，線段[PQ]的兩個端點分別在直線a，b上運動，且[PQ=4]，則線段[PQ]的中點[E]的軌跡為

（" " ）.

（A）橢圓 （B）雙曲線

（C）圓 （D）以上都不是

該題以異面直線為載體，考查動點的軌跡問題. 常規(guī)思路是將空間的點、線、面關系轉移到某一平面內，再結合平面幾何或解析幾何的知識解決問題，對學生的空間想象力有較高要求.

學生可以借助[GeoGebra]軟件[3D]功能開展探究學習，如圖5所示（具體操作步驟見圖5左側代數(shù)區(qū)）.

關鍵操作步驟如下.

（1）在[3D]繪圖區(qū)[x]軸上取點[B]，將點[B]繞原點[A]在水平面逆時針旋轉[60°]得點[B].

（2）將直線[AB]上移2個單位得直線[f].

（3）以點[B]為球心、4為半徑構建球；作出球與直線[f]的交點[C]，[D].

（4）作出線段BC，[BD]的中點E，F(xiàn)；以點[B]為控制點構建軌跡.

根據直觀觀察，可知軌跡為橢圓. 為進一步推理證明，在[3D]繪圖區(qū)拖動鼠標，從俯視的角度觀察圖形，如圖6所示.

下面證明線段[PQ]中點的軌跡為橢圓.

如圖7，過公垂線[MN]的中點[O]分別作兩條異面直線的平行面，再分別過點P，Q向平行面作垂線，垂足分別為點H，G，則[∠HOG=60°]，[HE=GE=3]. 以[∠HOG]的角平分線為[x]軸（該題的難點，從圖6可以得出）、[O]為坐標原點建立平面直角坐標系.

設[Gx1， 33x1]，[Hx2，-33x2]，

則中點[Ex，y]滿足[x=x1+x22]；[y=3x1-x26].

因為[GH=23=x1-x22+13x1+x22]，

所以[x29+y2=1].

故線段[PQ]中點的軌跡為橢圓.

解題過程中注意到線段[GH]的長度為定值，兩個端點在兩條相交直線上，為提升學生的學習興趣，可以利用[GeoGebra]軟件繼續(xù)探究.

探究1：已知異面直線a，b所成的角為[α]，其公垂線段[MN]的長為2，線段[PQ]的兩個端點分別在直線a，b上運動，且[PQ=4]，則線段[PQ]的中點[E]的軌跡是什么？

探究2：已知異面直線a，b成[60°]角，其公垂線段[MN]的長為2，線段[PQ]的兩個端點分別在直線a，b上運動，且[PQ=4]，[E]為直線[PQ]上的一個定點（不與點P，Q重合），則點[E]的運動軌跡是什么？

探究3：特別地，如圖7，[∠HOG=90°]，點[E]在線段[GH]的延長線上時，引導學生探究“橢圓規(guī)”的構造及原理.

三、反思和總結

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學課程的四條主線之一，形與數(shù)的結合能讓學生更好地感悟數(shù)學知識之間的聯(lián)系，進而優(yōu)化課堂教學，以及學生的學習方式和方法. 史寧中教授曾說過，數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確定依賴于推理. 史教授認為，直觀能力是“悟”出來的，而非“教”出來的，并且認為“經驗”可以促使優(yōu)秀的直觀能力的形成. 從直觀想象素養(yǎng)的概念可知，“空間想象”產生于“幾何直觀”，可以將其看作“幾何直觀”的高水平層次. 同樣地，“幾何直觀”也可以視為“空間想象”的前提條件，它們相輔相成、互相促進、共同發(fā)展. 了解空間圖形的各種位置關系，有利于學生發(fā)現(xiàn)問題，然后用圖形語言描述并提出問題，用形與數(shù)的聯(lián)系分析問題，最后建構直觀模型解決問題.

在教育信息化時代，信息技術對數(shù)學教育產生了深刻的影響. [GeoGebra]軟件應用于教學之中，為師生之間、生生之間和人機之間搭建了交流平臺，是學生探究學習和教師教學的重要輔助手段. 在使用[GeoGebra]軟件時，無論是在繪圖區(qū)對幾何對象進行調整，還是在代數(shù)區(qū)對代數(shù)對象的屬性進行修改，都會使得代數(shù)區(qū)的數(shù)量關系及繪圖區(qū)的圖形相應改變，真正實現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的關系在界面上的清晰呈現(xiàn). [GeoGebra]軟件[3D]功能與高中立體幾何的深度融合，能實現(xiàn)傳統(tǒng)教學難以達到的效果，更是提升學生空間想象能力的利器. 在課堂上，教師利用[GeoGebra]軟件[3D]功能呈現(xiàn)不同的立體模型，讓學生直觀感知圖形的特征，能使抽象且難以理解的數(shù)學知識變得具體和生動，并通過想象提升學生的識圖和用圖能力，為下一次開展學習提供意象支持. 從不同角度動態(tài)展示立體模型，可以為學生繪圖提供幫助，解決學生畫圖和作圖中存在的問題，避免“眼高手低”. 在課外，學生通過[GeoGebra]軟件實際操作，開展學習探究，會給他們提供便捷和優(yōu)秀的學習條件，通過“親身經歷”提升自己的直觀理解能力，增強學習意識，提升學習的積極性和主動性.

參考文獻：

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基金項目：安徽省宿州市基礎教育科學研究課題——基于STEAM理念的高中數(shù)學教學實踐研究（JKY2022014）.

作者簡介：高凱（1980— ），男，中學高級教師，主要從事高中數(shù)學教學和數(shù)學試題研究.