鄭華 王新剛 朱勵霖

關鍵詞 降維打擊;高斯積分;矩陣行列式;諧振子;生成函數(shù)

科幻作家劉慈欣的代表作《三體》一書中，“降維打擊”是指外星人將太陽系由三維空間降至二維空間的一種攻擊方式。《三體》小說和與之相應的影視作品讓“降維打擊”這一名詞被大家所熟知。這一概念也被人們在生活中使用，表明碾壓式的優(yōu)勢。在教學過程中，如果能將具體問題與這種時髦且大家耳熟能詳?shù)母拍罱Y合，勢必能引起學生的興趣與共振，助力課堂教學。

分析力學比牛頓力學優(yōu)越的地方之一是引入了抽象的廣義坐標的概念，并與系統(tǒng)自由度相對應。實際是一種抽象維度的概念。在物理學中，有很多問題實例涉及維度的概念，由于有些老師在授課中只是具體問題具體分析，同時學生局限于對知識深度的認知，學生未能理解這一類問題的聯(lián)系或?qū)@類問題形成比較清晰的認識。本文的目的就是通過具體實例凝練出物理學中“降維打擊”這一概念，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，同時在物理學教育同行中起到拋磚引玉的作用。

一般而言，在處理復雜物理問題時，為簡化問題，人們都是把高維問題向低維轉(zhuǎn)化，即降維，使得問題能得到解決，例如物理學中的質(zhì)點近似、抓主要矛盾忽略次要矛盾等思想。但對有些具體問題時，處理方式卻恰好相反，是將問題向高維度轉(zhuǎn)化從而使低維問題得解。雖然聽上去有些奇怪，但邏輯上是完全可行的，高維比低維包含更多的信息，有可能將在低維上看不清或解決不了的問題給出答案。這個操作實際是升維，但升維的目的是解決低維的問題。針對上面提及的兩種改變維度的做法，筆者認為，“降維打擊”這一概念都是適用的。以此為契機，本文將以物理學中常見的幾個問題：高斯積分、兩個矩陣乘積的行列式等于兩個矩陣行列式的乘積、量子力學中一維諧振子波函數(shù)的歸一化、物理學中常用的特殊函數(shù)或多項式的生成函數(shù)，展示在同維度的情況下難以解決的問題，可以通過變換一種思維方式，將問題向高維度轉(zhuǎn)化從而使問題能得以解決。在物理學教學中明確提出“降維打擊”這一概念，給學生種下發(fā)散思維的種子，以期提高學生的創(chuàng)新、思辨等能力。

1 高斯積分

在文獻[1]中，作者對物理學中常用的高斯及類高斯型積分進行了詳述。作者也正是在文獻[1]中開始提及在當前維度下如果解決不了問題時，可以發(fā)散性的將問題向高維轉(zhuǎn)化的這種想法。此為本文中強調(diào)的物理學中“降維打擊”這一概念的萌芽。

物理學中非常重要的高斯積分為

整個計算過程的關鍵是將高斯積分轉(zhuǎn)化成二維積分，即對問題進行升維，借助高維的優(yōu)勢（此具體問題是能解析積分），完成對低維問題的求解。

高斯積分僅僅是積分類問題中的一個特例，更典型的是利用留數(shù)定理去計算一維實函數(shù)積分，這一過程是將一維積分轉(zhuǎn)化成二維復平面空間中的積分。

2 兩個矩陣乘積的行列式等于兩個矩陣行列式的乘積

矩陣在物理學與數(shù)學問題中均被廣泛地應用。矩陣非常重要的性質(zhì)之一是兩個矩陣乘積的行列式等于兩個矩陣行列式的乘積，即

det（AB）=det（A）det（B） （4）

作為矩陣這一性質(zhì)的特例，在量子力學的矩陣表示中，如果存在兩個力學量算符彼此對易，則這兩個力學量算符具有共同的本征函數(shù)系，這兩個力學量的矩陣表示能同時對角化[2，3]。在他們的本征表象中，兩個力學量的矩陣表示是對角化的，完全滿足式（4）。作為對式（4）的一般性證明，線性代數(shù)書上是通過構造更高維度的分塊矩陣，使矩陣A ，B 分別是對角線上的分塊矩陣[4]。此證明為線性代數(shù)書中的標準過程，在此我們不再重復。我們強調(diào)的是一般性證明中運用的“降維打擊”的思維方式。

其他的特殊函數(shù)或多項式的生成函數(shù)就不在此羅列了?？梢钥闯觯厥夂瘮?shù)或多項式的生成函數(shù)的共性是自變量的個數(shù)比特殊函數(shù)或多項式的自變量多1。毋庸置疑的是在涉及特殊函數(shù)或多項式的計算過程中，其生成函數(shù)會頻繁使用，即“降維打擊”思想的運用。

5 結語

在處理具體物理問題時，有時候需要“變多為少”，對系統(tǒng)進行降維;而有的時候則需要“變少為多”，對系統(tǒng)進行升維。那么什么時候該“降”，什么時候該“升”呢？ 降維的意義和應用場景在當前物理教材中已描述得很詳細，這里不再贅述。以文中所舉的幾個例子而言，筆者認為以下幾種情況下可以考慮升維：（1）當在低維空間中進行數(shù)學分析遇到困難時，如高斯積分;（2）當系統(tǒng)的行為和特征在低維空間中看不清楚時，如矩陣行列式性質(zhì)的一般性證明;（3）當需要寫出系統(tǒng)不同狀態(tài)下的通項公式時，如波函數(shù)的歸一化系數(shù)和特殊函數(shù)的生成函數(shù)。當然，在處理具體物理問題的時候，如何升維以及升維多少又是另外兩個非常關鍵的問題，其解決方案依賴于對物理問題的深刻認識，有時也依靠直覺和運氣。

本文通過討論物理學中對維度改變求解問題的現(xiàn)象，明確地將“降維打擊”這一概念引入物理學教學過程中，給學生種下發(fā)散思維的種子，以期提高學生的創(chuàng)新、思辨等能力，同時在物理學教育同行中起到拋磚引玉的作用，助力課堂教學。