孫宇軒 曾定方

關(guān)鍵詞 平方反比力場;奇異振蕩;量子現(xiàn)象的經(jīng)典對應(yīng);廣義相對論的牛頓對應(yīng)

1 物理源起

量子電子的經(jīng)典軌道和黑洞熵微觀起源的半經(jīng)典解讀是兩個典型的教科書水平物理問題，流行的觀點普遍認為它們不可能有說得通的答案，持這種觀點的教科書和參考文獻非常多。為避免打擊同行，我們在本文中不對這些文獻給出明顯的引用，而是將核心引文局限于作者本人的研究[1-6]，跟這些研究在特定問題上持類似看法的另外三篇論文[7-9]以及關(guān)于Einstein-Ritz爭論的一篇歷史文獻和現(xiàn)代綜述[10，11]，當然還有作為本文前傳的另一篇教學(xué)研究[12]。

對前者，人們認為量子粒子根本就沒有軌道概念或者不允許軌道解讀，類似氫原子核外電子這樣的對象必須而且只能使用波函數(shù)和電子云圖像進行描述。這種描述的必要性源于氫原子作為一個中性對象是穩(wěn)定的這一客觀事實，如果核外電子看作一個擁有軌道的經(jīng)典對象，其向心加速度必然導(dǎo)致持續(xù)的電磁輻射和能量損耗而墜入原子核中。因此，核外電子的經(jīng)典軌道圖像跟電動力學(xué)的基本原理之間存在矛盾，避免矛盾的唯一出路是放棄軌道圖像，代之以波函數(shù)概念和電子云圖像。然而本文希望闡明的是，核外電子的量子波函數(shù)不僅允許軌道解讀，而且這些軌道還都是一些平方反比力驅(qū)動的一維直線，是它們角度指向的不確定性導(dǎo)致了一個有效的三維圖像。

對后者，人們認為將黑洞熵理解為其內(nèi)容物運動模式的多樣性明顯屬于在牛頓引力禁區(qū)內(nèi)開展的以牛頓引力為基礎(chǔ)的研究。譬如視界面內(nèi)部時空觀念的變化和牛頓引力定律的失效將使得，對黑洞內(nèi)容物在其中運動模式的探討完全就是一個毫無意義的無知行為。然而本文將指出的是，對黑洞內(nèi)容物的視界內(nèi)運動，廣義相對論和牛頓引力理論的運動方程數(shù)學(xué)形式完全相同，動力學(xué)本質(zhì)都是平方反比力驅(qū)動下的一維振蕩，二者唯一的差別在于物理解釋。

事實上，平方反比力驅(qū)動的一維振蕩運動不僅是一個定義良好的數(shù)學(xué)問題，而且有普遍的物理適用場景。對理解類氫原子電子波函數(shù)的經(jīng)典軌道圖像和黑洞熵的微觀起源和其內(nèi)容物的經(jīng)典/半經(jīng)典運動有非常重要的價值。因此在本文中，我們將拋棄將這個問題認定為理論禁區(qū)的做法，從純經(jīng)典和非相對論角度細致地討論平方反比力驅(qū)動下的一維振蕩運動及其量子力學(xué)和相對論解讀。論文的核心思想在研究論文[1-6]中已正式發(fā)表過，在此以中文形式二次發(fā)表的動機主要是希望激發(fā)普通物理水平的教學(xué)研究討論以及面向物理學(xué)大同行的普及推廣。

2 數(shù)學(xué)內(nèi)核

在牛頓力學(xué)框架內(nèi)，當考慮氫原子核外電子直線軌道運動或者自引力塌縮球體內(nèi)部跟球體同步的任意代表性球?qū)拥倪\動時，我們面對的本質(zhì)上是同一個問題，即平方反比力驅(qū)動的檢驗粒子一維運動學(xué)問題。這個問題在數(shù)學(xué)上是良好定義的，即下述常微分方程求解問題

3 氫原子電子波函數(shù)的經(jīng)典軌道解讀

認為原子核外電子的軌道模型不正確幾乎是量子力學(xué)中一個已成共識的結(jié)論，原因是繞核旋轉(zhuǎn)的電子會因為加速度不為零而輻射電磁波，從而導(dǎo)致軌道衰變及電子墜入原子核的災(zāi)難性后果，換句話說，這種理論模型描述的原子無法維持穩(wěn)定。本文目的并非要推翻量子力學(xué)發(fā)展過程中人們已形成的共識，但并不回避對量子波函數(shù)允許經(jīng)典軌道描述這一觀點的批評，前提當然是給出正確的軌道描述。

首先，我們指出，傳統(tǒng)上人們大力批評或認為不可接受的那種軌道圖像包含一個重要錯誤，即認為那些軌道是以原子核為中心或焦點的一些圓或橢圓，這是一個極大錯誤。量子波函數(shù)所描述核外電子的經(jīng)典軌道是一些通過核正電中心的直線而非圓或橢圓軌道，由于我們無法確定電子到底在哪條直線上振蕩，所以只能接受通過正電荷中心的每一條直線都可能。這意味著我們擁有一個由大量徑向軌道形成的軌道系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的不同成員在角度方向被實現(xiàn)的概率差異對應(yīng)各種不同角動量量子數(shù)的球諧函數(shù)Y_lmθ，? ，參考圖3。

對一個球狀正電荷原子核，控制Y_lmθ，? 函數(shù)形式的不是特定動力學(xué)機制，而是一定程度上完全由測量者偏好設(shè)定或選擇的正交函數(shù)族。與此形成鮮明對比的是，核外電子的經(jīng)典軌道運動為平方反比力驅(qū)動奇異振蕩的事實決定了波函數(shù)徑向因子的函數(shù)形式。由于在經(jīng)典直線軌道的兩端，電子的速度為零，因此它們在那里停留的時間相對在軌道中間的其他位置更長。圖3中那些橢圓是我們在無法確定這些電子到底沿哪條直徑運動情況下使用其速度為零因而出現(xiàn)概率最大的端點集合疊加角度方向不確定性之后形成的一個有效圖像。在量子描述中，這對應(yīng)波函數(shù)模方的極大值點。通過經(jīng)典軌道描述對量子波函數(shù)各種特征的復(fù)現(xiàn)，我們可以清楚地看到這一事實。

再次特別強調(diào)，這里的軌道是通過原子核中心的直線而非以原子核為焦點的橢圓，因此它們的軌道半徑實際上是直線兩端到中心的距離。

支持核外電子量子波函數(shù)所描述的經(jīng)典軌道應(yīng)該是一些通過原子核中心的直線而非以其正電荷中心為焦點的橢圓的最后一個簡單到匪夷所思但幾乎從未被關(guān)注過的證據(jù)是，s-波電子的軌道角動量等于零。如果跟這種波函數(shù)對應(yīng)的經(jīng)典軌道是以原子核的正電荷中心為圓心的一些圓，則電子的軌道角動量不可能為零。有些讀者可能會說，正像我們在這里所說的那樣，由波函數(shù)角動量量子數(shù)s，p，d，f，…所量化的角動量跟電子的經(jīng)典軌道運動沒有關(guān)系，而是量子電子在不同方向上被測量到的概率的差異。我們的回應(yīng)是，既然如此，為什么還要認為量子波函數(shù)所描述電子的經(jīng)典運動軌道是一些以原子核正電荷中心為焦點的橢圓而不是通過原子核正電荷中心的直線呢？

4 跟經(jīng)典電動力學(xué)的矛盾

接受氫原子核外電子的經(jīng)典軌道是一些通過原子核中心的直線而非以原子核為焦點的橢圓，我們就能避免電磁輻射導(dǎo)致的經(jīng)典軌道衰減和中性原子無法長壽命存在疑難嗎？ 答案是，這個問題跟氫原子核外電子軌道的形狀沒有直接關(guān)系，而是跟另一件事情即經(jīng)典輻射的時間反演對稱性相關(guān)。這件事情最早以Ritz和Einstein辯論的形式出現(xiàn)[10，11]。Ritz認為，加速粒子行為由輻射而非吸收主導(dǎo)不僅是一個客觀事實而且是一個基本物理學(xué)規(guī)律。Einstein最開始的觀點與此相反，認為這種輻射壓倒吸收只是一種衍生/統(tǒng)計效果而非基本規(guī)律。但他后來改變了觀點，認為也許存在某種基本的物理原因?qū)е铝溯椛涓盏牡匚徊粚Φ??？芍钡浇裉?，人們也并未在這個問題上達成共識并完全理解其中的物理原因。

我們的觀點是，做加速運動的電子，確實會輻射電磁波，可是它繞著轉(zhuǎn)的原子核完全可能把那些電磁波吸收掉并產(chǎn)生適當反沖從而保持二者之間的平均相對距離不變，反過去也一樣。反映在經(jīng)典電動力學(xué)的基本定律中，這僅僅是D＇Alermbert方程同時允許推遲解和超前解的基本事實

第一項是推遲項，描述電磁波的輻射;第二項是超前項，描述電磁波的吸收。那種認為核外電子會因為加速度不為零而輻射電磁波從而導(dǎo)致軌道不穩(wěn)定的論證忽略了附近原子核的吸收效應(yīng)。對一個中性原子，如果核外電子輻射的電磁波總是被中心的原子核吸收，則不管核外電子的軌道形狀是否直線，整個系統(tǒng)就可能總是穩(wěn)定的，衰變不是必然結(jié)論，參考圖4。

顯然，在一個加速運動的電子周圍，如果不存在探測器，則其輻射和吸收效應(yīng)完全可能互相抵消并呈現(xiàn)一種動態(tài)平衡。這里的探測器泛指任何可能跟來自或奔向加速電子的電磁波相互作用的物理對象，譬如原子核。如果電子附近存在探測器，則僅當探測器抓住了相對電子外行的電磁波或者探測到了附近真空中消失的奔向電子的電磁波時，我們才能說電子發(fā)生了輻射或吸收。只有當我們可以持續(xù)地探測到凈輻射或凈吸收時，才能說原子是不穩(wěn)定的。

對一個中性原子，如果核外電子因為加速度非零而輻射的電磁波在很短時間內(nèi)就被原子核吸收了，那么因為吸收導(dǎo)致的原子核反沖將使得核-電子間的平均距離保持為常數(shù)即整個系統(tǒng)保持穩(wěn)定。相反如果我們有一個微觀探測器，總是能夠在電磁波被原子核回收之前將電子發(fā)射的電磁波截胡，那么整個系統(tǒng)確實會因為持續(xù)的電磁輻射而失穩(wěn)。

關(guān)于Einstein-Ritz爭論，一種廣泛流傳的看法認為延遲解符合因果律而超前解則相反。我們不同意這種看法，理由非常簡單，即QED 的作用量中不存在破壞時間反演對稱性的項，延遲解和超前解的物理地位是對等的。選擇延遲解描述輻射同時選擇超前解描述吸收是一種人為做法，我們完全也可以反過來做。這種選擇類似于對稱性自發(fā)破缺，基本理論的作用量擁有一種對稱性譬如U（1）旋轉(zhuǎn)不變性，但自然界選擇的真空是破壞旋轉(zhuǎn)不變性的。只不過在對輻射/吸收現(xiàn)象的描述中，描述者替代了選擇真空的上帝——自然界——的角色。但描述者畢竟只是描述者，不是被描述者。選用延遲解描述輻射并不是物理現(xiàn)實強制的唯一選擇，物理現(xiàn)實允許相反的描述方案。在QED中，導(dǎo)致紫外發(fā)散的電子自能修正圖就是一種典型的電子先發(fā)射再吸收光子過程，和紫外發(fā)散同樣重要的還有韌致輻射導(dǎo)致的紅外發(fā)散。紅外修正截面中的發(fā)散跟紫外修正振幅虛部中的發(fā)散在由光學(xué)定理決定的抵消效應(yīng)下保證了理論預(yù)言的有限性。在氫原子的情形，我們只是需要把氫核+電子作為一個束縛態(tài)整體，電子發(fā)射的電磁波可以被自己回收，也可以被氫核回收，總效果只是對氫原子自能的修正。如果我們有一架探測器能夠?qū)⒚恳粋€由電子發(fā)射但尚未被其自身或附近的氫核回收的光子抓住，則我們看到的不僅僅是電子軌道的不穩(wěn)定性，還有氫原子整體質(zhì)量或能量的尺度依賴性。

5 球?qū)ΨQ質(zhì)量殼層的自引力塌縮

但我們發(fā)現(xiàn)[1-4]，通過將一個球?qū)ΨQ黑洞分解成大量由其內(nèi)容物構(gòu)成的同心嵌套球?qū)?，將黑洞微觀態(tài)看作全部嵌套球?qū)硬ê瘮?shù)的直積，球?qū)臃纸夥桨傅亩鄻有院徒o定分解方案下不同球?qū)硬ê瘮?shù)激發(fā)方式組合的多樣性會導(dǎo)致整個系統(tǒng)波函數(shù)的高度簡并。當將所有球?qū)訚M足的愛因斯坦場方程量子化之后，這兩個因素導(dǎo)致的多樣性將是離散而且可數(shù)的，計數(shù)結(jié)果恰好能夠給出跟貝肯斯坦-霍金熵相融的面積律公式。

我們的工作為黑洞熵的微觀起源提供了一種半經(jīng)典甚至基本的解釋。其唯一要求是，在視界內(nèi)部，黑洞內(nèi)容物并不是靜態(tài)地堆積在奇點上啥也不干或呈現(xiàn)為一個永恒奇點，而是在其中以“奇點”為中心做對穿振蕩或者以分層化視界面為邊界做無視每層視界面內(nèi)部空間存在性的對穿振蕩，參考圖5。這一要求跟奇點定理并不矛盾，因為縮進視界面的內(nèi)容物確實會在有限固有時間內(nèi)落到中心點上，只不過落到那里之后會繼續(xù)向?qū)敺较虬l(fā)散開去，從而令奇點變成了一個被黑洞內(nèi)容物周期性對穿的等時超曲面而不是背景空間中的一個點，這完全符合奇點定理中“奇點”概念的幾何本質(zhì)，參考圖6下部的彭羅斯-卡特圖表示[5，6]。

在本文中，我們并不準備對上述波函數(shù)簡并度的計數(shù)過程進行完整介紹，而只選擇從表示黑洞內(nèi)容M_tot 的大量同心球?qū)又谐槌鲆粋€質(zhì)量為mi的代表作為研究對象，展示其一維經(jīng)典振蕩的本質(zhì)和量子化波函數(shù)描述方案。參考圖5，按基爾霍夫定律，我們所關(guān)注球?qū)觤_i的經(jīng)典運動只受其本身及內(nèi)側(cè)其他球?qū)淤|(zhì)量之和M_i的影響。如果我們考慮的是一個空心球殼，即m_i =Mi 的情形，則球殼內(nèi)部時空是平坦的而外部由一個內(nèi)邊界半徑時間依賴的史瓦西度規(guī)描述。該球?qū)由先我怏w元的測地線方程都可以用來表征整個球?qū)影霃降难莼?/p>

在球?qū)颖粡囊暯缑嫱獠酷尫诺那闆r下，我們不需要將式（14）～式（16）中的積分參數(shù)γi 選為虛數(shù)，參考圖5右邊的部分，但球?qū)釉谕獠坑^察者有限遠的未來落不到視界上，即塌縮會一直進行，永遠也完不成。但在將視界面上的點做了對徑點認同之后，我們在下面馬上將討論的對穿振蕩會跨越視界面內(nèi)部的空間區(qū)域直接發(fā)生在視界面的東西兩半球之間。

6 從塌縮到振蕩只差一念

流行觀點雖然從未明確表示過，但實際上普遍認為因式（14）～式（17）中r 的物理含義是徑向坐標，其取值范圍只能是 0，∞ 。因此一個球?qū)硬还茉谒s到半徑為零時收縮速度多么大，它都必須立即停下來形成一個靜態(tài)、永恒的奇點或者給先前存在的奇點貢獻額外的質(zhì)量。這是一個錯誤的認知，這一認知會導(dǎo)致對奇點定理的過度解讀，即把引力塌縮現(xiàn)象中內(nèi)容物會在縮進視界面之后的有限固有時間內(nèi)落到中心點的結(jié)論過度外推到落到中心點就會停下來形成永恒奇點的說法。實際上，雖然這些方程中r 的物理含義是徑向坐標，但它的取值范圍是可以被設(shè)定為 -∞，∞ 的，唯一條件是同時讓負r 值所表示的那些空間點構(gòu)成對正r 值所表示空間點的二次覆蓋，嚴格對應(yīng)可寫作

一旦跨過了徑向坐標負值擴展和API解讀這一念之差，我們就可以把方程（17）跟方程（1）完全等同起來，從而發(fā)現(xiàn)球?qū)由先我恻c的徑向坐標演化都是一個由周期性函數(shù)（5）所描述的奇異振蕩的事實。這顯然意味引力塌縮導(dǎo)致奇點形成并不是一樁一朝發(fā)生就萬事皆休的一錘子買賣，而是一個反復(fù)地形成又瓦解的周期性現(xiàn)象。我們把這種現(xiàn)象稱作對穿振蕩，即當球?qū)釉谒s到半徑為零的時刻之后，球?qū)由蠔|半球的點會跑到西半球，西半球的點會跑到東半球。當考慮一個實心球體的自引力塌縮時，只需將整個球體看作大量同心嵌套的球?qū)?，我們就會得到完全相似的結(jié)論。因此在經(jīng)典廣義相對論水平上，對穿振蕩實現(xiàn)了對黑洞中心奇點的消解，參考圖6下半部灰色粗多邊形區(qū)域內(nèi)的彭卡圖子圖。

在純經(jīng)典廣義相對論水平上，一個自引力球體確實是無法在外部觀察者的時間定義域內(nèi)縮進由自己的質(zhì)量所定義的視界面內(nèi)部的。因此發(fā)生在視界面內(nèi)部的對穿振蕩實際發(fā)生在外部觀察者無窮遠未來的未來[5，6]。不確定原理本質(zhì)是將這種無窮遠未來的未來才可能發(fā)生的視界內(nèi)振蕩事件通過系統(tǒng)的思想放到了外部觀察者看得見的未來，即在這些觀察者面前設(shè)置一個由大量球殼構(gòu)成的系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中不同的成員當前時刻演化到什么階段未準確限定，但其中有一些確實已經(jīng)落進視界面內(nèi)并在那里振蕩，有一些還在處視界外并努力往里縮，當然也有一些不僅尚在視界外，而且還在往外擴張。在量子化之后，我們可以證明，那些已經(jīng)縮進視界面的成員的數(shù)量恰好跟其視界面面積的指數(shù)化成正比。我們在研究中首次引入了擴展的彭卡圖將這些成員的集合表示在類似圖6下部那樣的圖片中。

7 對穿振蕩模糊球

上述基于經(jīng)典廣義相對論和不確定原理給出的自引力球?qū)訉Υ┱袷巿D像幾乎已經(jīng)是其量子力學(xué)描述所能給出的全部，現(xiàn)在我們唯一需要補充的是寫出這種量子化描述的數(shù)學(xué)形式。為此我們在方程（17）的兩側(cè)同時乘以球殼質(zhì)量并將之改寫成哈密頓約束的形式

因此按照一個球?qū)蛹匆粋€集體運動模式提供一個比特熵的估算，全部球?qū)油耆梢蕴峁〣ekenstein-Hawking熵面積律公式所要求的那么多數(shù)量。在本系列中文物理教學(xué)/普及推廣論文的第一篇[12]中，我們已強調(diào)過這種集體運動模式質(zhì)量不等于黑洞內(nèi)容物原子/分子質(zhì)量這一事實對理解面積上律熵為何不特殊的重要價值。

由直積波函數(shù)式（27）所描述的對象雖然在經(jīng)典水平擁有視界，但是每個球?qū)釉谝暯缤獗粶y量到的概率都不為零，因此從測量的角度來看，將其稱作對穿振蕩模糊球更為恰當。就我們所知，這是到目前為止，唯一既可寫出經(jīng)典度規(guī)又可以寫出量子波函數(shù)的模糊球黑洞。天文學(xué)上的黑洞是否由這種模型刻畫有可能通過對其陰影照片的高精度觀測和分析比對證實或證否，也有可能通過其雙體合并的引力波信號特征進行識別。

8 結(jié)語

通過上面的介紹，我們希望讀者獲得的認知如下：氫原子核外電子的量子波函數(shù)允許經(jīng)典軌道解讀，那些軌道是一些通過原子核正電荷中心的直線，其運動本質(zhì)是一些平方反比力驅(qū)動的一維奇異振蕩，奇異并不是運動函數(shù)本身在特定點上的突變或者發(fā)散，而是其驅(qū)動力場在中心點含有發(fā)散特征。由于角度方向的不確定性，我們無法確定電子到底在這些一維直線軌道的哪一條上運動，因此即便對一個電子，我們也需要引入一個由大量一維直線軌道組成的系統(tǒng)。系綜中每個成員即每條直線軌道的兩端都是電子被測到概率最大的位置，原因是電子在那里的速度為零因此停留的時間相對于軌道中間的其他位置更長。系統(tǒng)中不同成員被實現(xiàn)概率的差異導(dǎo)致核外電子的波函數(shù)擁有不同的角向依賴性并表現(xiàn)為不同角動量模式。

一個自引力塌縮球體，在純經(jīng)典廣義相對論水平上，視界和奇點的形成都只會發(fā)生在外部觀察者無窮遠未來的未來，即他們的時間定義域之外。在這種意義上外部觀察者能夠觀察到的只是一個半徑無限接近于由星體質(zhì)量所定義視界半徑的凍星而無法觀察到帶有嚴格意義上視界和奇點的黑洞。

當考慮不確定原理導(dǎo)致的量子漲落時，一個自引力塌縮球體可以在外部觀察者的有限時間未來形成視界從而呈現(xiàn)為一個黑洞。從經(jīng)典廣義相對論角度，這種黑洞只能看作一個由大量其內(nèi)容物塌縮到什么階段未被準確限定的星體組成的系綜，系綜中每個成員的內(nèi)容物都在視界面內(nèi)做對穿振蕩，依賴于量子化波函數(shù)的邊界條件選擇，這種對穿可以系統(tǒng)中心為對穿點，也可以分層化視界面為邊界無視內(nèi)部體積直接進行。所有成員的內(nèi)容物均可分解為大量同心球?qū)?，每個球?qū)拥倪\動都是一些平方反比力驅(qū)動的對穿振蕩。量子化的結(jié)果表明，球?qū)臃纸夥桨负徒o定分解方案下不同球?qū)訉Υ┱袷幠Ｊ絻蓚€要素多樣性的計數(shù)可以給出面積律特征的熵公式。量子化同時意味著通過引力塌縮形成的黑洞的視界面是模糊的，其內(nèi)容物在視界面外被測量到的幾率不為零會令其表現(xiàn)為一種模糊球類型的天文學(xué)對象，這種圖景是否符合事實有可能通過天文觀測證實或證否。

天文學(xué)上的黑洞都擁有非平庸的內(nèi)容物運動模式，但這些模式都發(fā)生在外部觀察者無窮遠未來的未來，它們需要在統(tǒng)計系綜的水平上被理解和描述，史瓦西/克爾度規(guī)只描述它們被理想化的視界面外部的時空幾何。

開放評審意見

高思杰：作者對量子力學(xué)中電子軌道的傳統(tǒng)解釋及廣義相對論中自引力塌縮球體的描述提出挑戰(zhàn)，給出了新的解釋。論文視角新穎，想法大膽，但存在諸多值得商榷的問題。

關(guān)于氫原子波函數(shù)的經(jīng)典解釋，我認為一個運動的波包在一定條件下是可以對應(yīng)經(jīng)典運動軌道的，而通常的電子能級和波函數(shù)是薛定諤方程的定態(tài)解，當然不對應(yīng)一個運動的經(jīng)典電子。作者認為核外電子的波函數(shù)對應(yīng)經(jīng)典力學(xué)中通過核中心的直線軌道，我認為該結(jié)論缺乏依據(jù)。作者并沒有從滿足薛定諤方程的解出發(fā)，通過分析波函數(shù)的經(jīng)典極限得到該結(jié)論，而是從不確定關(guān)系出發(fā)進行不嚴格的論證。不確定關(guān)系在量子力學(xué)體系建立前是獨立存在的，但后來已成為量子力學(xué)的推論，因此完全可以由薛定諤方程進行嚴格論證。作者認為能級公式（11）中的普朗克常數(shù)趨于零就是經(jīng)典極限，從而得到能級可以趨于負無窮大。該結(jié)論顯然不成立，因為方程（11）中的每個量都是確定的，因此能級是固定的，不存在普朗克常數(shù)取極限后發(fā)散的問題。通常的經(jīng)典極限，是普朗克常數(shù)與公式中出現(xiàn)的同量綱物理量相比很小時所做的近似，方程（11）不存在這種近似。

關(guān)于相對論中的自引力塌縮，作者的分析基于薛定諤方程（22）。但這只是定態(tài)薛定諤方程，如果想描述一個塌縮的動態(tài)球殼，應(yīng)該由定態(tài)解的疊加構(gòu)成波包，分析其運動。而作者得出的對穿振蕩圖像顯然沒有計算波包的運動。另外文中對奇點概念的理解也與廣義相對論不同。作者認為物質(zhì)可以穿過奇點做對穿振蕩，且這一圖像與奇點的概念不矛盾。事實上，經(jīng)典廣義相對論的奇點并不是時空中的點，它不屬于時空，或者說是時空的終結(jié)。如果物質(zhì)可以穿過奇點，那么這個奇點就已經(jīng)不是傳統(tǒng)廣義相對論中的奇點了。

吳潔強：作者在氫原子和引力塌縮球體兩個系統(tǒng)中，基于平方反比力所驅(qū)動的一維振蕩模型，討論了一系列有趣的問題。文章整體具有一定程度的啟發(fā)性和建設(shè)意義。

在氫原子中，作者試圖從半經(jīng)典角度對能譜、氫原子穩(wěn)定性等問題進行闡釋。這種基于更樸素的觀點所進行的討論當然是非常有價值的。除去一維空間的點粒子，在任何其他稍微復(fù)雜一點的模型中，我都不知道一個系統(tǒng)地做半經(jīng)典近似的處理方法。因此，我認為任何關(guān)于半經(jīng)典近似的任何討論都是有一定價值的。

具體到作者的討論，作者構(gòu)造了一個角動量為零的經(jīng)典軌道，并進一步論證出氫原子的能譜和半徑。我認為，如果允許調(diào)整物理常數(shù)的取值，在合適的情況下，這個經(jīng)典軌道是可以有物理意義并理解為一個半經(jīng)典的波包的。而對于現(xiàn)實中的物理常數(shù)，我并不確定這種近似是否合理，作者也許需要更仔細地考察并解釋這種近似處理的合理性。作者對比了這個角動量為零的經(jīng)典軌道與傳統(tǒng)所討論的橢圓軌道。我認為兩者并沒有孰優(yōu)孰劣之分，也許應(yīng)該理解為兩個不同的半經(jīng)典波函數(shù)。此外的另一個值得考慮的問題是有關(guān)能級的簡并度。作者的分析的確得到了氫原子的能級（12）。但是，在完整的量子力學(xué)中，我們還可以得到每一個能級的簡并度。如果作者的半經(jīng)典處理方法也能對簡并度給出一定的討論將會是非常有趣的。

作者還試圖從半經(jīng)典的角度論證氫原子基態(tài)的穩(wěn)定性，其觀點是被發(fā)射出去的電磁波又重新被電子或原子核吸收了回來。這種想法是比較直觀和有趣的。但是，我的建議是，這里的所謂對電磁波的吸收是來自于量子力學(xué)波函數(shù)的疊加，而不是作者（13）式所寫的經(jīng)典電磁場格林函數(shù)的疊加。在傳統(tǒng)的觀點中，氫原子基態(tài)的穩(wěn)定性來自于量子化條件。如果以半經(jīng)典的圖像做類比，量子化條件指出，不是所有的經(jīng)典軌道都是被允許的，因此基態(tài)波函數(shù)沒辦法進一步躍遷到能量更低的態(tài)。即使作者從新的角度進行闡述，也應(yīng)該與傳統(tǒng)的觀點有一定的關(guān)系。我的建議是也許可以首先從疊加原理的角度理解量子化條件，再進一步解釋為什么沒有電磁波輻射。關(guān)于利用疊加原理解釋量子化條件，我期待的圖像是，只有滿足量子化條件的經(jīng)典軌道才可以通過疊加原理的方式構(gòu)造波函數(shù);而不滿足量子化條件的軌道，經(jīng)過疊加后所構(gòu)造的波函數(shù)為零。而關(guān)于解釋沒有電磁波輻射，其論證也許也是類似的。作者也許可以對自己的觀點給出更具體的論證，或沿著這一方向進行探索。

關(guān)于引力塌縮球體的討論，作者提出了奇點附近對徑點認同的觀點，以及所謂對穿振蕩機制。這種觀點與傳統(tǒng)的黑洞物理有很大的不同，對此我沒有能力去評價。

而關(guān)于黑洞熵的討論，作者將黑洞理解成多層球殼，并嘗試利用球殼的微觀自由度解釋黑洞熵的起源。這種觀點是具有一定的啟發(fā)性的，作者也許可以做更多地深入探索。以我的理解，其中的核心也許是從微觀的角度的解釋黑洞熱力學(xué)第一定律dS =dE/T 。具體來說，我們需要計算對于一個給定的黑洞，當微觀自由度增加1比特時，能量的增量是多少。如果計算得到的能量增量恰好正比于黑洞溫度，那么得到的黑洞熵就會是所期待的面積率。類似的觀點也出現(xiàn)在Susskind的一些公開講座中。

致謝：本文最初的版本曾發(fā)送給南開大學(xué)趙柳老師和濟南大學(xué)張宏升閱讀，他們向作者反饋了寶貴意見，在此對他們表示誠摯的感謝。

作者簡介

姓名：孫宇軒，男，北京工業(yè)大學(xué)2019級碩士生，在雙星動力學(xué)的現(xiàn)代場論方法領(lǐng)域技術(shù)嫻熟、概念清晰，擁有深厚的能力基礎(chǔ)和知識積累。雖未參與本文所牽涉的研究工作，但確是第二作者最優(yōu)秀的學(xué)生和論文內(nèi)容的傾聽者之一。

姓名：曾定方，男，北京工業(yè)大學(xué)副教授，主要研究方向：String Theoy and M-theory，物理教育。

在本文中的貢獻：是本文主要內(nèi)容的貢獻者和latex文檔的撰寫者。

評審人簡介

高思杰，男，北京師范物理系教授，研究方向為經(jīng)典廣義相對論，黑洞的經(jīng)典及熱力學(xué)性質(zhì)，主講量子力學(xué)和引力理論專題課程多年。

吳潔強，男，中國科學(xué)院理論物理研究所副研究員，近年來研究方向為量子引力和黑洞物理。