俞航斌

摘 要：函數(shù)貫穿整個(gè)初高中階段，不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，更是考察的熱點(diǎn).在傳統(tǒng)函數(shù)問題解答中，學(xué)生常常面臨諸多問題，致使其頻頻失分.鑒于此，即可借助數(shù)形結(jié)合思想，旨在借助直觀的圖形，將復(fù)雜的函數(shù)問題簡(jiǎn)單化、具體化，拓展學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生的解題效率.本文就以此視角切入，結(jié)合一定的例題，針對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)合思想在函數(shù)問題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地探究，具備一定的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)問題；數(shù)形結(jié)合；解題路徑

函數(shù)問題貫穿初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).針對(duì)初中階段來說，函數(shù)占據(jù)很大的比重，包括一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等.同時(shí)，在最新的初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，也對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)提出了新的目標(biāo)：理解并掌握函數(shù)概念、解析式、圖象性質(zhì)特點(diǎn)，建立函數(shù)與方程不等式之間的函數(shù)，將函數(shù)知識(shí)靈活應(yīng)用到實(shí)際生活中等.在這一背景下，初中函數(shù)已成為考察的重點(diǎn).在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)當(dāng)前初中生函數(shù)問題解答能力比較低，致使學(xué)生在解答函數(shù)問題時(shí)常常面臨諸多困難，甚至頻頻出現(xiàn)失分現(xiàn)象.鑒于此，唯有靈活融入數(shù)形結(jié)合思想，將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其變得更加簡(jiǎn)單、具體，能夠幫助學(xué)生撥開云霧，迅速找到解題的思路.

1 數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)問題解題

函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)中的重要組成，學(xué)生在解答這一類型的問題時(shí)，不僅僅要掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)具備一定的解題技巧.在諸多函數(shù)解題技巧中，數(shù)形結(jié)合思想尤為常見.數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種非常重要的數(shù)學(xué)解題工具.關(guān)于數(shù)學(xué)這一學(xué)科來說，“數(shù)”和“形”是基本的研究對(duì)象，兩者相輔相成、缺一不可，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科的研究要素.同時(shí)，在最新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，也對(duì)其提出了明確的要求，即：在組織和開展數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，并關(guān)注學(xué)生的直觀幾何性，借助圖形這一工具，對(duì)問題進(jìn)行描述和分析，最終完成數(shù)學(xué)問題的解答.可以說，數(shù)形結(jié)合思想以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)在函數(shù)問題、不等式問題、方程問題中得到了廣泛的應(yīng)用，不僅促進(jìn)了抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，也在很大程度上促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展.

經(jīng)課堂教學(xué)實(shí)踐證明，將數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)問題融合到一起，可借助數(shù)形結(jié)合思想化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為具體，并發(fā)散學(xué)生的解題思維，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.除此之外，在數(shù)形結(jié)合思想的輔助下，還可將原本抽象的函數(shù)概念和性質(zhì)等直觀地展示出來，使得學(xué)生在形象感知中，對(duì)其形成深刻地理解和記憶，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，為日后的函數(shù)解題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；另外，數(shù)形結(jié)合解題訓(xùn)練也是一種數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練模式，可促使學(xué)生在訓(xùn)練中，逐漸形成從多個(gè)角度分析問題的能力，不僅促進(jìn)了思維的發(fā)展，也實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用［1］.

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)解題中的具體應(yīng)用

2.1 數(shù)形結(jié)合，開拓解題思路

在日常函數(shù)解題教學(xué)中，存在一個(gè)常見的現(xiàn)象：相關(guān)的例題講了很多，但是學(xué)生的函數(shù)解題能力始終停留在教師所講解的題目中，只要條件稍微改變一下，學(xué)生便無從下手.導(dǎo)致這一現(xiàn)象的主要原因：教師在教學(xué)時(shí)，常?！熬皖}論題”，忽視了“授之以魚不如授之以漁”，致使學(xué)生在學(xué)習(xí)中并未真正領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，難以在學(xué)習(xí)中形成明確的解題思路.鑒于此，為了提升學(xué)生的函數(shù)解題能力，就必須要在日常解題教學(xué)中，適時(shí)融入數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生在圖形的輔助下，形成一定的數(shù)學(xué)解題思維.

例1 若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）三點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=2/x圖象上，且A、B、C三點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系是x1＜x₂＜0＜x₃，則y₁、y₂、y₃三者的大小關(guān)系是（ ?）.

A. y₃＞y₁＞y₂

B. y₁＞y₂＞y₃

C. y₂＞y₁＞y₃

D. y₃＞y₂＞y₁

解析：這一題目考察的點(diǎn)是“反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征”，學(xué)生在解答這一問題時(shí)，唯有結(jié)合反比例函數(shù)y=2/x，并將其圖象畫出來（如圖1所示），并對(duì)函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷，結(jié)果為：該函數(shù)圖象分布在第一、第三象限之內(nèi).隨即，學(xué)生即可結(jié)合函數(shù)圖象所在的象限，判斷出y值伴隨著x的增加而逐漸減小.同時(shí)，再結(jié)合題目中所給的條件x₁＜x₂＜0＜x₃，即可精準(zhǔn)判斷出y₁、y₂、y₃三者之間的關(guān)系為y₃＞y₁＞y₂.

結(jié)合本題考查的知識(shí)點(diǎn)，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解答，常常需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精神，不宜成為該題目的解答方式.在這一背景下，借助數(shù)形結(jié)合思想，在y=2/x函數(shù)圖象的輔助下，即可精準(zhǔn)確定y₁、y₂、y₃三者的關(guān)系.

2.2 數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)解題思維

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)集數(shù)和形于一體，一個(gè)函數(shù)可以用解析式進(jìn)行表示，也可以用圖形進(jìn)行表示.這一點(diǎn)，不僅僅凸顯了函數(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，也是學(xué)生解答函數(shù)問題的重要方法.在解決函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生唯有融入數(shù)形結(jié)合思想，才能將原本抽象、復(fù)雜的函數(shù)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而形成明確的解題思路.

例2 如圖2所示，點(diǎn)A在雙曲線y=k/x上，且AB⊥x軸，垂足為B點(diǎn)，且△AOB的面積為2，則k的值為多少？

解析：這一函數(shù)題目主要圍繞“反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義”進(jìn)行考察，將函數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)融為一體，難度系數(shù)有所增加.在具體解答這一問題時(shí)，結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k存在的幾何意義，以及函數(shù)所屬第二、四象限的性質(zhì)，即可將其確定出來.具體來說，結(jié)合題目中所給的條件，得知S_△AOB=2，因此k=4.又因?yàn)閥=k/x的圖象分布在第二、第四象限之內(nèi)，因此反比例函數(shù)系數(shù)k＜0，即：k=-4.這一類型的題目在日?？荚囍杏葹槌Ｒ姡鲱}的關(guān)鍵就在于正確理解k的幾何意義，并結(jié)合圖象分析進(jìn)行解答［3］.

例3 如圖3所示，直線l1的解析式為：y=x+1，直線l2的解析式為：y=mx+n，兩條直線相交于點(diǎn)P（a，2），那么，關(guān)于x的不等式x+1≥mx+n的解集是多少？

解析：這一題目將一次函數(shù)與不等式知識(shí)完美地融合到一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn).在解答這一問題時(shí)，如果按照傳統(tǒng)的解題思路進(jìn)行，學(xué)生需要結(jié)合兩條直線的解析式，求出a的值，但是無法確定出m、n的值，只能得出兩者的關(guān)系.面對(duì)這一現(xiàn)狀，在引導(dǎo)學(xué)生解答該題目時(shí)，就可借助數(shù)形結(jié)合思想，將l1縱坐標(biāo)大于l2的部分標(biāo)出來，就可直接發(fā)現(xiàn)，包括P點(diǎn)在內(nèi)的右側(cè)部分，均是符合題目要求.同時(shí)，解題題目中所給的條件，因?yàn)镻點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，且a=1.由此即可得出答案，該不等式的解集為x≥1.由此可見，在部分函數(shù)題目中，單純地借助數(shù)學(xué)思維進(jìn)行解題，常常會(huì)陷入到一定的思維困境中.此時(shí)，就可融入函數(shù)圖象這一工具，通過圖形分析，由圖轉(zhuǎn)數(shù)，最終即可輕松得出答案.

例4 證明方程（x-m）（x+n）=1必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1＞m，x2＜m.

解析：這一道證明題，如果按照常規(guī)的解題思路，先將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為一元二次方程，然后再通過判別式的大小，對(duì)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，最后求解并與m進(jìn)行比較.這種解題思路顯然比較困難.此時(shí)，就可融入數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)方程轉(zhuǎn)化成為函數(shù)，并畫出函數(shù)圖象.具體來說，假設(shè)y=（x-m）（x+n）-1，此時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得出該函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，因此該函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，又因?yàn)楫?dāng)x=m時(shí)，y=-1，因此，點(diǎn)（m，-1）在x軸的下方，據(jù)此就可將該函數(shù)的圖象畫出來（如圖4所示）.假設(shè)該拋物線與x軸存在兩個(gè)交點(diǎn)，分別為A（x₁，0）B（x₂，0），且這兩點(diǎn)位于（m，-1）的兩側(cè)，則存在x₂＜m＜x₁，且x₁、x₂則為方程的解.在本題目中，常規(guī)證明思路常常會(huì)受阻，唯有借助數(shù)形結(jié)合思想，將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造二次函數(shù)，并據(jù)此畫出圖象，結(jié)合其性質(zhì)進(jìn)行證明.

2.3 數(shù)形結(jié)合，解決實(shí)際問題

新課程下，倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“學(xué)以致用”.函數(shù)問題在生活中也尤為常見.鑒于函數(shù)問題的特點(diǎn)，一旦遇到生活問題，將是難上加難，致使不少學(xué)生都出現(xiàn)失分的現(xiàn)象.針對(duì)這一現(xiàn)狀，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題時(shí)，就可融入數(shù)形結(jié)合思想，徹底攻克這一難題.

例5 花園中有一個(gè)圓形的噴水池，噴水池中間有個(gè)噴水柱正在噴水，水流從柱子的頂端朝著各個(gè)方向噴出，形成了條條拋物線（如圖5所示），假設(shè)點(diǎn)A為噴水柱的頂端，點(diǎn)B為噴水拋物線的最高點(diǎn)，噴出的水流恰恰在C點(diǎn)落入到水池中.假設(shè)水流的高度y（米）和水平距離x（米）之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，這一函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+5/4.

求：（1） 噴水柱DA的高度.

（2） 水流噴出的最大的高度是多少？

（3） 要想保證該噴水池中噴泉的水不會(huì)噴到外面，則圓形水池的半徑最小應(yīng)控制在多少？

解析：這一問題就是函數(shù)在生活中的應(yīng)用，以學(xué)生最為常見的噴泉作為題目素材，為學(xué)生設(shè)計(jì)了有關(guān)函數(shù)的問題.在第（1）問中，要求OA的高度，即可結(jié)合圖象得知，當(dāng)x=0時(shí)的縱坐標(biāo)即為噴水柱OA的高度，通過函數(shù)解析式即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，即0，54，因此，OA的高度為1.25米；在第（2）問的解答中，水流噴出的最大的高度即為函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此就可將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為頂點(diǎn)式，得出y=-（x-1）²+9/4，最終得出水流的最高高度為2.25米；在第（3）問的解答中，就可將水池半徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為方程-x²+2x+5/4=0的根，最終解方程得出C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2.5，0），因此水池的半徑最小應(yīng)控制在2.5米［4］.由此可見，在這一題目中，解題的關(guān)鍵就是對(duì)生活問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為數(shù)學(xué)中常見的函數(shù)問題，再在基礎(chǔ)上借助數(shù)形結(jié)合思想，利用圖象分析即可輕松解答.

2.4 數(shù)形結(jié)合，規(guī)避常見的錯(cuò)誤

在初中各種類型的考試中，函數(shù)問題尤為常見.部分學(xué)生雖然已經(jīng)掌握了相關(guān)的知識(shí)，但在解題時(shí)忽略了數(shù)形結(jié)合思想的融入，致使解題中頻頻出現(xiàn)失誤.面對(duì)這一現(xiàn)象，在引導(dǎo)學(xué)生規(guī)避解題錯(cuò)誤時(shí)，就可借助數(shù)形結(jié)合思想這一工具，引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)和幾何思維相結(jié)合的過程中，得出正確的答案.

例6 當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x²-2x-3的最大值和最小值？

解析：這是一道非?；A(chǔ)的函數(shù)最值問題，也是各大考試重點(diǎn).部分學(xué)生在解答這一問題的時(shí)候，由于其忽略了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，導(dǎo)致其出現(xiàn)錯(cuò)誤，即：分別將x=-2，x=2代入到函數(shù)解析式中，求出對(duì)應(yīng)的值.當(dāng)x=-2時(shí)，y=5；當(dāng)x=2時(shí)，y=-3.據(jù)此得出該函數(shù)的最大值為5，最小值為-3.這一解題過程卻是錯(cuò)誤的，究其主要原因就是在代數(shù)思維的影響下，直接將自變量x的最大值和最小值代入到函數(shù)式中，誤認(rèn)為其對(duì)應(yīng)的值就是函數(shù)最大值和最小值.

但是在解答問題時(shí)，如果融入了數(shù)形結(jié)合思想，就會(huì)出現(xiàn)不一樣的答案.具體來說，先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)的內(nèi)容，將函數(shù)y=x²-2x-3的圖象畫出來（如圖6所示）.

對(duì)圖象進(jìn)行觀察得知，該函數(shù)是一個(gè)開口向上的拋物線，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，很輕松得出其對(duì)稱軸為x=-b/2a=1.因此，當(dāng)x=1時(shí)，y_最小=-4.之后，再將x=-2帶入到函數(shù)解析式中，得出y=5；將當(dāng)x=2帶入到函數(shù)解析式中，得出y=-3，因?yàn)?3＜5.因此，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=x²-2x-3存在最小值，y_最小=-4；當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)y=x²-2x-3存在最大值，y最大=5.由此可見，在解答部分初中函數(shù)問題時(shí)，一旦忽視了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，按照常規(guī)的代數(shù)思維解題，就會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，而在數(shù)形結(jié)合的輔助下，則能有效規(guī)避這一現(xiàn)象，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題正確率.

3 結(jié)語

綜上所述，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)軸打開了數(shù)形結(jié)合思想的帷幕，隨之而來的不等式、函數(shù)等知識(shí)，都必須要依托于一定的數(shù)形結(jié)合思想，才能形成深刻的理解，才能靈活解決相關(guān)的問題.尤其是在新課程改革背景下，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想得到了前所未有的重視.鑒于此，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，唯有立足于具體的內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合思想融入到函數(shù)日常教學(xué)、解題訓(xùn)練中，才能促使學(xué)生在潛移默化中形成一定的數(shù)形結(jié)合思想，并在這種意識(shí)的支配下，將其靈活應(yīng)用到日常解題中.

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