方菲

［摘 要］以人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)中的“繩捆圓柱的周長問題”為例，通過課前思考、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思開展教學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)學(xué)生研究用膠帶捆扎2罐、3罐、4罐薯片的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算膠帶總長的方法以及將薯片罐捆成正方形更節(jié)約膠帶的規(guī)律，從而對(duì)“繩捆圓柱的周長問題”有更加全面的理解。

［關(guān)鍵詞］一題一課；周長；繩捆圓柱

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）05-0051-03

一題一課，就是教師在一節(jié)課上帶領(lǐng)學(xué)生圍繞一道數(shù)學(xué)題或者一類數(shù)學(xué)題展開深入的交流討論，實(shí)現(xiàn)“做一題通一類”的教學(xué)效果。一題一課不僅能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，還能讓教學(xué)走向深入。

一、課前思考

為方便銷售，售貨員將啤酒瓶捆成如圖1所示的形狀（從瓶底方向看），如果每組分別捆5圈繩子（接頭處不計(jì)），每組至少需要多長的繩子？你發(fā)現(xiàn)了什么？

這是人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第66頁中的一道練習(xí)題，學(xué)生在解決這道練習(xí)題的過程中，需要發(fā)現(xiàn)繩子的長度是由一個(gè)圓的周長和若干條直徑組成的，最外圈有多少個(gè)圓柱形物體，就有多少條直徑。在一題一課的課堂上，教師不應(yīng)只教學(xué)這道練習(xí)題，還要從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，幫助學(xué)生將此問題轉(zhuǎn)變成若干個(gè)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，為后期要學(xué)習(xí)的知識(shí)做好鋪墊。為此，筆者梳理了小學(xué)階段有關(guān)周長的教學(xué)內(nèi)容（見表1）。

筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在三年級(jí)接觸的平面圖形的周長以及在五年級(jí)接觸的立體圖形的棱長總和，涉及的線都是直的，而在六年級(jí)接觸的圓的周長和圓柱的底面周長，涉及的線是彎曲的。同時(shí)，筆者以這道練習(xí)題對(duì)六年級(jí)其中兩個(gè)班級(jí)共90名學(xué)生進(jìn)行前測：捆2瓶啤酒需要的繩子長度為（3.14×7+2×7）×5=179.9（厘米），學(xué)生解答正確率是64.4%；捆3瓶啤酒需要的繩子長度為（3.14×7+3×7）×5=214.9（厘米），學(xué)生解答正確率是50%；捆4瓶啤酒需要的繩子長度為（3.14×7+4×7）×5=249.9（厘米），學(xué)生解答正確率是32.2%。

隨著啤酒瓶數(shù)量的增加，學(xué)生計(jì)算的正確率為什么會(huì)降低？筆者嘗試圍繞這道練習(xí)題設(shè)計(jì)了一節(jié)“繩捆圓柱的周長問題”的課，以幫助學(xué)生更好地用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.確定教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生要正確解決這道題，需要具備語文閱讀理解能力和將文字轉(zhuǎn)變成圖、圓的周長公式等能力，如此才能發(fā)現(xiàn)捆扎的規(guī)律。對(duì)此，筆者確立了“繩捆圓柱的周長問題”一課的教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷提出問題和分析、解決問題的過程；（2）溝通數(shù)學(xué)規(guī)律和生活原型，探索解決問題的方法和策略；（3）在解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

2.確定教學(xué)過程

（1）分析并解決問題

題目：超市在開展促銷活動(dòng)，薯片“買一送一”。售貨員用膠帶將2罐薯片緊緊地捆在一起，薯片罐的底面直徑是7厘米，只捆1圈（接頭處不計(jì)），需要用多長的膠帶？

師：你能想象出將2罐薯片捆扎在一起，從底面看是什么形狀嗎？在紙上畫一畫。

生1：從底面看是兩個(gè)緊緊貼在一起的圓形。

師：那捆綁的膠帶是什么形狀？膠帶的長度是多少呢？

生2：捆綁的膠帶的圖形可以看成是2個(gè)半圓和1個(gè)正方形的組合圖形。

生3：膠帶的長度是3.14×7+4×7=49.98（厘米），我的理解是2個(gè)半圓拼起來是一個(gè)圓，這個(gè)圓的周長是3.14×7，再加4條直徑的長度。

生4：我不同意這個(gè)答案，膠帶的長度應(yīng)該是3.14×7+2×7=35.98（厘米），即1個(gè)圓的周長加其2條直徑的長度。

師：我們先來看看同學(xué)們畫的這兩幅圖（如圖2），你覺得哪一幅可以清楚地表達(dá)解題過程？

生5：我覺得第二幅圖好，因?yàn)樗宄禺嫵隽?個(gè)半圓和1個(gè)正方形。

【設(shè)計(jì)意圖】“繩捆圓柱的周長問題”一課讓學(xué)生經(jīng)歷了將生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程。為了解決捆扎2個(gè)圓柱所用的膠帶總長的問題，學(xué)生在畫圖中發(fā)現(xiàn)膠帶總長分為直線和曲線兩部分，直線部分是2條直徑，曲線部分是1個(gè)圓的周長，從而計(jì)算出膠帶總長。

（2）激活經(jīng)驗(yàn)，探索解題策略

【案例1：捆扎3罐薯片的方法】

師：如果捆扎3罐薯片，可以怎么捆？

學(xué)生的兩種方法（如圖3）：第一種是分成了上下兩層，從底面看像一個(gè)三角形，所用膠帶的長度等于1個(gè)圓的周長加上3條直徑，為3.14×7+3×7=42.98（厘米）；第二種是排成一排捆扎，從底面看是2個(gè)半圓和1個(gè)長方形，所用膠帶的長度等于1個(gè)圓的周長加上4條直徑，為3.14×7+4×7=49.98（厘米）。

【案例2：捆扎4罐薯片的方法】

師：如果捆扎4罐薯片，可以怎么捆？

學(xué)生的兩種方法（如圖4）：第一種是排成一排捆扎，從底面看是2個(gè)半圓和1個(gè)長方形，所用膠帶的長度等于1個(gè)圓的周長加上6條直徑，為3.14×7+6×7=63.98（厘米）；第二種是分成上下兩層，所用膠帶的長度等于1個(gè)圓的周長加上4條直徑，為3.14×7+4×7=49.98（厘米）。

【在比較中發(fā)現(xiàn)捆扎的規(guī)律】

師：觀察捆扎2罐、3罐、4罐薯片所用膠帶的長度（見表2），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：膠帶的總長都分成直線和曲線兩部分，曲線部分都是1個(gè)圓的周長。疊起來捆所用的膠帶比排成一排捆所用的膠帶少，而且每增加1罐，疊起來捆的膠帶總長就會(huì)增加1條直徑的長度。

師：你能利用這些規(guī)律快速算出捆6罐排成一排的薯片所用的膠帶總長嗎？

生2：排成一排的話，每增加1罐，膠帶總長增加2條直徑的長度，捆6罐所用的膠帶總長是3.14×7+10×7=91.98（厘米）。

通過比較，學(xué)生得出了這樣兩個(gè)捆扎結(jié)論：一是計(jì)算上不管幾罐捆在一起，所用膠帶的長度都是1個(gè)圓的周長加上若干條直徑；二是在捆扎方法上，多排捆扎比單排捆扎更節(jié)約膠帶。

【探討多排比單排捆扎更節(jié)約膠帶的原因】

師：為什么多排比單排捆扎更節(jié)約膠帶？其實(shí)這個(gè)問題我們?cè)谌昙?jí)的時(shí)候就學(xué)過了，當(dāng)時(shí)我們是研究拼16個(gè)小正方形，哪一種拼法周長最短。

生1：周長最短的圖形是正方形，因?yàn)?6個(gè)小正方形的周長是固定的，拼成4×4的時(shí)候中間的公共邊是最多的，所以外面的周長自然就短了。

師：面積相等的圖形，長和寬越接近，周長越短，在這道題中，我們可以把圓看成正方形來理解。

【設(shè)計(jì)意圖】在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷四個(gè)學(xué)習(xí)過程：研究捆扎3罐薯片的方法；研究捆扎4罐薯片的方法；在比較中發(fā)現(xiàn)捆扎的規(guī)律；探討多排比單排捆扎節(jié)約膠帶的原因。學(xué)生在獨(dú)立思考、小組學(xué)習(xí)、全班交流中體會(huì)捆扎方法的多樣性，發(fā)現(xiàn)捆扎方法中的規(guī)律。另外，為了解釋多排比單排捆扎更節(jié)約膠帶的原因，筆者通過溝通前后知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的相關(guān)性。

（3）聯(lián)系生活，逆向解決問題

師：現(xiàn)在，你們明白生活中為什么將蔬菜、小棒、鋼管等捆扎成正方形了嗎？

師（出示題目）：“啤酒節(jié)”活動(dòng)促銷賣啤酒，啤酒瓶的直徑是5厘米，膠帶只繞一圈（接頭處不計(jì)），若售貨員只有45.7厘米長的膠帶，請(qǐng)你從圖5中幫她選擇合適的捆法。

生1：我是這樣想的，膠帶長度是 45.7 厘米，我就把每一種捆法的膠帶長度都算出來。第一種捆法的膠帶長度是3.14×5+7×5=50.7（厘米）；第二種捆法的膠帶長度是3.14×5+8×5=55.7（厘米）；第三種捆法的膠帶長度是3.14×5+6×5=45.7（厘米）；第四種捆法的膠帶長度是3.14×5+8×5=55.7（厘米）。因此，應(yīng)該選第三種捆法。

生2：根據(jù)剛才的捆扎規(guī)律，每種捆法都有1個(gè)圓，我先把圓的周長減掉，45.7-3.14×5=30（厘米），圓的直徑是5厘米，30÷5=6（條），膠帶只夠捆綁6條直徑的長度，而第三種捆法有6條直徑，正好符合。

【設(shè)計(jì)意圖】為了讓學(xué)生對(duì)“繩捆圓柱的周長問題”有全面深刻的理解，筆者出示的題目中告訴學(xué)生膠帶的總長，讓學(xué)生利用已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的捆扎規(guī)律選擇符合要求的捆法，這是要求學(xué)生運(yùn)用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步幫助學(xué)生鞏固捆扎的規(guī)律和計(jì)算方法。

三、教學(xué)反思

這節(jié)數(shù)學(xué)課中似乎只講了一道數(shù)學(xué)題，但是筆者通過這一道題引出相關(guān)的一類題，在層層推進(jìn)中使學(xué)生對(duì)“繩捆圓柱的周長問題”有更加深刻的理解，這就是一題一課教學(xué)活動(dòng)的優(yōu)勢，不僅挖深了主體知識(shí)，還串聯(lián)了相關(guān)知識(shí)。

1.堅(jiān)持學(xué)生立場，引發(fā)真實(shí)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)奧秘的主陣地。因此，教師在教學(xué)過程中要尊重學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)計(jì)適合他們探究的學(xué)習(xí)內(nèi)容。為了精準(zhǔn)把握學(xué)情，筆者通過課本中的一道“繩捆圓柱的周長問題”進(jìn)行前測，了解了學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)遇到的困難，使教學(xué)有更加充分的預(yù)設(shè)和鋪墊。在學(xué)習(xí)方式上，筆者放手讓學(xué)生自主探究，先暴露他們的知識(shí)盲區(qū)，再利用課堂時(shí)間進(jìn)行糾錯(cuò)，最后促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

2.整體建構(gòu)知識(shí)，拓寬思維深度

一題一課聚焦一類題，形成一節(jié)課，可拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和靈活度。在這一課中，筆者先以生活原型引出數(shù)學(xué)問題，再讓學(xué)生經(jīng)歷從簡單問題到復(fù)雜問題的解決過程，然后發(fā)現(xiàn)不同捆法的計(jì)算方法和規(guī)律，試著利用捆扎的規(guī)律逆向解決問題，整體建構(gòu)了“繩捆圓柱的周長問題”的知識(shí)框架，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成結(jié)構(gòu)性思維。

3.聯(lián)系生活實(shí)際，解決生活問題

數(shù)學(xué)源于生活，又回歸于生活。在課堂開始，筆者通過讓學(xué)生欣賞生活中的鋼管、白菜、啤酒瓶捆法等引出捆扎薯片的生活情境，再從捆扎薯片罐的底面抽象出圓形。在課堂最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算周長推測啤酒瓶的捆扎方式。整節(jié)數(shù)學(xué)課在探究中不斷將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

綜上，一題一課以一道數(shù)學(xué)題或一類數(shù)學(xué)題為學(xué)生開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新天地。在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)深入地挖掘或變換學(xué)習(xí)素材，在一類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)思維走向深刻，在求聯(lián)中溝通知識(shí)之間的關(guān)系，在拓展中促使學(xué)生走向高階思維。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 明啟文.引導(dǎo)學(xué)生在典型圓周長的測量中發(fā)現(xiàn)圓周長與直徑的關(guān)系：“圓的周長”教學(xué)賞析[J].云南教育（小學(xué)教師），2020（12）：41-42.

[2] 史勤蒙.教學(xué)現(xiàn)場的透視與教學(xué)細(xì)節(jié)的分析：以“圓周長的計(jì)算”教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2019（13）：65-67.

[3] 鄭群.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計(jì)有深度聯(lián)系的數(shù)學(xué)任務(wù)：以“圓周長的拓展練習(xí)”為例[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2020（Z4）：70-72.

（責(zé)編 覃小慧）