董廷燦

(安徽省明光中學)

斜面上物體的動力學問題,一直是高中物理力學中的重難點,在高考和平時的考試中經(jīng)常會涉及。本文通過一道典型例題,求解分析并加以變式,供各位老師和同學們參考。

【原題】一斜劈靜止于粗糙的水平地面上,在其斜面上放一滑塊m,若給m一個向下的初速度v0,則m正好保持勻速下滑。如圖1所示,現(xiàn)在m下滑的過程中再加上一個力,則以下說法正確的是

圖1

( )

A.在m上加一豎直向下的力F1,則m將保持勻速運動,M對地沒有摩擦力的作用

B.在m上加一個沿斜面向下的力F2,則m將做加速運動,M對地有水平向左的靜摩擦力的作用

C.在m上加一個水平向右的力F3,則m將做減速運動,在m停止前M對地有向右的靜摩擦力的作用

D.無論在m上加什么方向的力,在m停止前M對地都無靜摩擦力的作用

一、問題的解決

1.物體沿斜面勻速下滑的條件

當物體放在傾角為θ的斜面上剛好能勻速下滑,對其受力分析如圖2所示。

圖2

由平衡條件可得f=mgsinθ=μFN,FN=mgcosθ,解得μ=tanθ。

由上式可以得出:如果一個物體恰好可以在斜面上勻速下滑,那么減小或者增大物體的質(zhì)量后物體照樣可以恰好在斜面上勻速下滑(見圖3),即物體能沿斜面下滑與物體的質(zhì)量無關,只與物體和斜面間的動摩擦因數(shù)有關。

圖3 原來能沿斜面勻速下滑的物體上再輕放一個重物,仍勻速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。對物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖4所示。

圖4

由平衡條件得F地=(M+m)g,f地=0。

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖5所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖5

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=(M+m)g。

2.給原來勻速下滑的物體施加一個豎直向下的力,物體仍能勻速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個豎直向下的力F1,對物體進行受力分析如圖6所示。

圖6

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=(mg+F1)cosθ

在沿著斜面方向上,得

f=μFN=(mg+F1)tanθcosθ=(mg+F1)sinθ

它恰好等于重力和力F1沿斜面向下的分力的合力,因此物體恰能沿斜面勻速下滑(見圖7)。

圖7 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一個豎直向下的力,仍勻速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。對物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖8所示。

圖8

由平衡條件得F地=F1+(M+m)g>(M+m)g,f地=0。

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖9所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖9

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=F1+(M+m)g。

3.給原來勻速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力,物體將勻加速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力F2,對物體進行受力分析如圖10所示。

圖10

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ

結合摩擦力和正壓力的關系f=μFN

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ+F2-f=F2=ma

因此物體沿斜面勻加速下滑(見圖11)。

圖11 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一沿斜面向下的力,物體將勻加速下滑

因為斜面的受力情況沒有發(fā)生改變,所以與不加力F2的情況完全相同。即F地=(M+m)g,f地=0。

4.給原來勻速下滑的物體施加一個水平向右的力,物體將勻減速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個水平向右的力F3,對物體進行受力分析如圖12所示。

圖12

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結合摩擦力和正壓力的關系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ-F3cosθ-f=ma

圖13 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一水平向右的力,物體將勻減速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。因為物塊和斜劈的運動狀態(tài)不一致,所以不建議選取整體作為參考系。對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖14所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖14

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=(M+m)g+F3tanθ>(M+m)g。

【點評】通過以上討論可得:當物塊勻速下滑時,在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會改變物塊的運動狀態(tài);但在物塊向下運動的過程中,斜面的受力個數(shù)相同,即只受重力、物塊對斜面的壓力、物塊對斜面的摩擦力、地面的支持力,不受地面的摩擦力。故原題選AD。

二、問題的延伸

1.斜面上的物體在未加力F時勻加速下滑

未加力F時,且當物體沿斜面勻加速下滑時,突然加上如圖1所示的三種力時情況又如何呢?

(1)物體沿斜面勻加速下滑的條件

當物體放在傾角為θ的斜面上以加速度a勻加速下滑時,對其受力分析,由牛頓第二定律可得mgsinθ-μmgcosθ=ma,解得a=g(sinθ-μcosθ)>0;進一步得到μ

由上式可以得出:如果一個物體沿斜面方向勻加速下滑,那么減小或者增大物體的質(zhì)量后,物體照樣以同樣的加速度沿斜面方向勻加速下滑(見圖15),即物體能沿斜面下滑與物體的質(zhì)量無關,只與物體和斜面間的動摩擦因數(shù)有關。

圖15 原來能沿斜面勻加速下滑的物體上再輕放一個重物,仍能以相同加速度勻加速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖16所示,再對物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖17所示。

圖16

圖17

對系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上(M+m)g-F地=masinθ

解得F地=(M+m)g-masinθ

水平方向上f地=macosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖18所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖18

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ

(2)給原來勻加速下滑的物體施加一個豎直向下的力,物體將以更大的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個豎直向下的力F1,對物體進行受力分析,由牛頓第二定律可得

(mg+F1)sinθ-f=ma′

FN-(mg+F1)cosθ=0

f=μFN

由上面三式解得

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F1有關,施力后物體的加速度將增大,與給物體增加質(zhì)量不再等價。

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖19所示,再對物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖20所示。

圖19

圖20

對系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上(M+m)g+F1-F地=ma′sinθ,

解得F地=(M+m)g+F1-ma′sinθ

水平方向上f地=ma′cosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖21所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖21

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ

(3)給原來勻加速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力,物體將以更大的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力F2,對物體進行受力分析,

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ

結合摩擦力和正壓力的關系f=μFN

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ+F2-f=ma′

由以上三式解得

這說明物體的加速度與沿斜面向下施加的力F2有關,施力后物體的加速度將增大。

因為斜面的受力情況沒有發(fā)生改變,所以與不加力F的情況完全相同,即F地=(M+m)g-masinθ<(M+m)g;f地=ma′cosθ,方向水平向左。

(4)給原來勻加速下滑的物體施加一個水平向右的力,物體可能沿斜面減速、勻速或者以更小的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個水平向右的力F3,對物體進行受力分析。

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結合摩擦力和正壓力的關系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ-F3cosθ-f=ma′

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ

【點評】通過以上討論可得:當物塊勻加速下滑時,在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會改變物塊的運動狀態(tài);但在物塊向下運動的過程中,斜面的受力個數(shù)相同,即受重力、物塊對斜面的壓力、物塊對斜面的摩擦力、地面的支持力和地面的摩擦力;地面對斜面的摩擦力方向不變。

2.斜面上的物體在未加力F時勻減速下滑

未加力F,且當物體沿斜面勻減速下滑時,突然加上如圖1所示的三種力時情況又如何呢?

(1)物體沿斜面勻減速下滑的條件

當物體放在傾角為θ的斜面上以加速度a勻減速下滑時,對其受力分析,由牛頓第二定律可得μmgcosθ-mgsinθ=ma,解得a=g(μcosθ-sinθ)>0;進一步得到μ>tanθ。

由上式可以得出:如果一個物體沿斜面方向勻減速下滑,那么減小或者增大物體的質(zhì)量后,物體照樣以同樣的加速度沿斜面方向勻減速下滑(見圖22),即物體能沿斜面下滑與物體的質(zhì)量無關,只與物體和斜面間的動摩擦因數(shù)有關。

圖22 原來能沿斜面勻減速下滑的物體上再輕放一個重物,仍能以相同加速度勻減速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度沿水平、豎直方向分解如圖23所示,再對物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖24所示。

圖23

圖24

對系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上F地-(M+m)g=masinθ,

解得F地=(M+m)g+masinθ

水平方向上f地=macosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖25所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖25

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右。

(2)給原來勻減速下滑的物體施加一個豎直向下的力,物體將以更大的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個豎直向下的力F1,對物體進行受力分析,由牛頓第二定律可得

f-(mg+F1)sinθ=ma′

FN-(mg+F1)cosθ=0

f=μFN

由上面三式解得

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F1有關,施力后物體的加速度將增大,與給物體增加質(zhì)量不再等價。

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖26所示,再對物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖27所示。

圖26

圖27

對系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上F地-(M+m)g-F1=ma′sinθ,

解得F地=(M+m)g+F1+ma′sinθ

水平方向上f地=ma′cosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖28所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖28

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右。

(3)給原來勻減速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力,物體可能沿斜面加速、勻速或者以更小的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力F2,對物體進行受力分析,由牛頓第二定律得

μmgcosθ-mgsinθ-F2=ma′

因為斜面的受力情況沒有發(fā)生改變,所以與不加力F的情況完全相同,即F地=(M+m)g+masinθ>(M+m)g;f地=macosθ,方向水平向右。

(4)給原來勻減速下滑的物體施加一個水平向右的力,物體將以更大的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個水平向右的力F3,對物體進行受力分析。

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結合摩擦力和正壓力的關系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

F3cosθ+f-mgsinθ=ma′

解得

這說明物體的加速度與水平向右施加的力F3有關,施力后物體的加速度將增大。

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg。

【點評】通過以上討論可得:當物塊勻減速下滑時,在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會改變物塊的運動狀態(tài);但在物塊向下運動的過程中,斜面的受力個數(shù)相同,即受重力、物塊對斜面的壓力、物塊對斜面的摩擦力、地面的支持力和地面的摩擦力;地面對斜面的摩擦力方向不變。

三、另辟蹊徑

若只需定性判斷地面對斜面體的摩擦力方向,則可通過摩擦角的角度去分析。

1.什么是摩擦角

當物體處于滑動的臨界狀態(tài)時,靜摩擦力Ff達到最大值Fm,此時支持力FN與最大靜摩擦力(或滑動摩擦力)Fm的合力FR稱為接觸面對物體的全反力,FR方向與FN方向的夾角φ稱為摩擦角。

2.利用摩擦角解決斜面定性分析問題

圖29

圖30

圖31

圖32

圖33

圖34