聶應(yīng)才 付先貴

(1.江西省南豐縣第一中學(xué);2.江西省南豐縣第二中學(xué))

輕桿(繩)連接體運(yùn)動(dòng)習(xí)題需要綜合運(yùn)用解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的三個(gè)基本觀點(diǎn)而備受命題人青睞,解題者要有較高的科學(xué)思維才能解答此類問(wèn)題。

1 系統(tǒng)機(jī)械能守恒

能量守恒定律是十九世紀(jì)三大發(fā)現(xiàn)之一,是自然界普遍遵守的法則。力學(xué)中的連接體問(wèn)題,表現(xiàn)為系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

圖1

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2 系統(tǒng)機(jī)械能守恒,動(dòng)力學(xué)視角

【例2】(多選)如圖2,滑塊a、b的質(zhì)量均為m,a套在固定直桿上,與光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接。不計(jì)摩擦,a、b可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度大小為g。則

圖2

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A.a落地前,輕桿對(duì)b一直做正功

C.a下落過(guò)程中,其加速度大小始終不大于g

D.a落地前,當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí),b對(duì)地面的壓力大小為mg

【變式1】(多選)如圖3,豎直墻面和水平面均光滑,可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1、m2(m1、m2相差不是很大)的A、B兩球用輕桿連接,開(kāi)始時(shí)A球靠在豎直墻面上,B球放在水平面上,桿與豎直方向的夾角為θ=37°。由靜止釋放兩球,當(dāng)桿與豎直方向的夾角為53°時(shí),B球仍做加速運(yùn)動(dòng),此時(shí)小球B的速度為v。已知重力加速度大小為g,sin37°=0.6,A、B兩球始終在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng),在A球落地之前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,下列判斷正確的是

圖3

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A.小球A不會(huì)一直沿著墻面向下運(yùn)動(dòng)

B.小球A沿墻面向下運(yùn)動(dòng)的加速度不可能大于g

【質(zhì)疑】例2、變式1題目中兩物體質(zhì)量大小有什么要求?

物體質(zhì)量大小本身沒(méi)有要求,但是質(zhì)量間不能相差太大,因?yàn)橄嗖钐髸?huì)造成失去題意。如滑塊a(A球)比滑塊b(B球)大得多,系統(tǒng)質(zhì)心幾乎與a(A)重心重合,a將做自由落體運(yùn)動(dòng),A球不會(huì)離開(kāi)墻面;反之,b(B)比a(A)大得多,系統(tǒng)質(zhì)心幾乎與b(B)重心重合,系統(tǒng)仍近似保持靜止?fàn)顟B(tài)。

【創(chuàng)新】球B獲得水平速度v從功能關(guān)系看,是球A重力做功的原因,但從動(dòng)量角度看,是系統(tǒng)外的墻面對(duì)球A的沖量作用。

3 系統(tǒng)機(jī)械能守恒,動(dòng)力學(xué)視角,分動(dòng)量觀

如果墻壁不存在,連接體物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律如何?

【例3】(多選)如圖4所示,質(zhì)量分別為m、2m的小球A、B用一根長(zhǎng)為l的輕桿通過(guò)鉸鏈相連,豎直放置在光滑水平地面上。擾動(dòng)輕桿使小球A向左傾倒,小球B在水平地面上向右運(yùn)動(dòng)。小球A落地后不反彈,重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是

圖4

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A.A球機(jī)械能一直增加

C.小球B對(duì)地面的壓力大小不可能小于2mg

D.A球下落過(guò)程中,A、B兩球的水平加速度大小之比始終為2∶1

【變式2】(多選)如圖5所示,質(zhì)量均為m的小球A、B用一根長(zhǎng)為l的輕桿通過(guò)鉸鏈相連,豎直放置在光滑水平地面上,質(zhì)量也為m的小球C挨著小球B放置在地面上。擾動(dòng)輕桿使小球A向左傾倒,小球B、C在同一豎直面內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)桿與地面有一定夾角時(shí)小球B和C分離。已知C球的最大速度為v,小球A落地后不反彈,重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是

圖5

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A.球B、C分離前,A、B兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能逐漸減小

B.球B、C分離時(shí),球B對(duì)地面的壓力大小為2mg

【拓展】如果開(kāi)始小球C離小球B有一定距離,則它們可以彈性碰撞多少次?

【變式3】(多選)如圖6所示,用鉸鏈將三個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B、C與兩根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿相連,B、C置于水平地面上。在輕桿豎直時(shí),將A由靜止釋放,B、C在桿的作用下向兩側(cè)滑動(dòng),三小球始終在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。忽略一切摩擦,重力加速度為g,則此過(guò)程中

圖6

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A.球A的機(jī)械能一直減小

D.球B對(duì)地面的壓力可小于mg

4 系統(tǒng)機(jī)械能守恒,動(dòng)力學(xué)視角,動(dòng)量觀

物體放在水平面上,將幾個(gè)物體用輕繩連接,當(dāng)某物體有速度后,將如何牽連其他物體運(yùn)動(dòng)?

【例4】如圖7所示,三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v0,方向與繩垂直。小球相互碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失,輕繩不可伸長(zhǎng)。求:

圖7

(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí),小球B的速度;

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),小球B的速度;

(3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球A的最大動(dòng)能EkA和此時(shí)兩根繩的夾角θ;

(4)當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí),繩中的拉力F的大小。

【思維導(dǎo)向】三球組成系統(tǒng)機(jī)械能守恒,動(dòng)量守恒。設(shè)沿水平初速度v0方向?yàn)樨Q直方向,垂直初速度v0方向?yàn)樗椒较?這兩個(gè)方向動(dòng)量皆守恒。

【拓展1】第(1)中去掉“第一次”限制條件,小球B的速度如何?

【拓展2】小球A的動(dòng)能EkA最大時(shí),小球B處于什么位置?

【拓展3】求三個(gè)小球相鄰兩次處在同一直線上的過(guò)程中兩繩對(duì)小球B的沖量大小。

【質(zhì)疑】小球有一定的體積,當(dāng)A、C相碰時(shí),三球不會(huì)在同一豎直直線上,B的速度就跟球半徑有關(guān),這應(yīng)該偏離了命題者的意圖。為了避免這種分歧,小球均可視為質(zhì)點(diǎn)。

【變式4】如圖8所示,三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球(小球均可視為質(zhì)點(diǎn))用兩根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)同時(shí)給兩邊的小球A、C一個(gè)水平初速度v0,方向與繩垂直。小球相互碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失,輕繩不可伸長(zhǎng)。求:

圖8

(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí),小球B的速度;

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),小球B的速度;

(3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球B的最大動(dòng)能EkB和此時(shí)兩根繩的夾角θ;

(4)當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí),繩中的拉力F的大小。