洪云云

(江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)，江蘇 南通 226300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教育活動(dòng)的實(shí)施、設(shè)計(jì)要堅(jiān)持教學(xué)指導(dǎo)綱要的引導(dǎo)，除了挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之外，更要基于理性的探索過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法.基于這一教學(xué)要求，必須將學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)用起來(lái)，推動(dòng)課堂上的有效互動(dòng)，構(gòu)建全新的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式.教師要嘗試建立從數(shù)學(xué)課程指向數(shù)學(xué)教學(xué)的全新指導(dǎo)體系，圍繞著課程要求與教學(xué)要求挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行分析，對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

1 類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

1.1 知識(shí)點(diǎn)整合優(yōu)勢(shì)

要提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，必須改變單打獨(dú)斗的教學(xué)現(xiàn)狀，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力、數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的同時(shí)創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法，打破知識(shí)點(diǎn)之間的隔閡問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展自身的數(shù)學(xué)技能.但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)以單一板塊為發(fā)力點(diǎn)，并不考慮學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交互問(wèn)題，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量得不到保障.基于類比推理的數(shù)學(xué)教學(xué)模式則創(chuàng)新了高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法，其以對(duì)比數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為目標(biāo)，在實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的同時(shí)對(duì)各類知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納匯總，提升高中生的數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，讓學(xué)生在“溫故”的過(guò)程中逐步“知新”，把握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，基于類比推理視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)渾然一體，已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)可以成為啟發(fā)學(xué)生思考的金鑰匙，尚未完全解讀的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)被加工為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課堂的工具.在現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，積極推動(dòng)類比推理活動(dòng)的落實(shí)，幫助學(xué)生更為全面的掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

1.2 數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練優(yōu)勢(shì)

丹麥教育學(xué)家肯尼斯將類比定義為一種“借由比較、分析來(lái)認(rèn)知學(xué)科知識(shí)的思維能力”，其指出，類比下的部分教育活動(dòng)可能比傳統(tǒng)的教學(xué)方式更為高效，學(xué)生可以對(duì)知識(shí)與概念進(jìn)行對(duì)比，依靠舊的知識(shí)點(diǎn)引出新的學(xué)習(xí)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生更為出色的學(xué)習(xí)能力.

1.3 教學(xué)方法優(yōu)勢(shì)

類比推理依靠對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)比、分析培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與數(shù)學(xué)推理能力，將數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)化為一個(gè)認(rèn)知、應(yīng)用的過(guò)程.在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、嘗試創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的過(guò)程中，借由類比推理可以進(jìn)一步優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，教師可以將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)概念帶入到數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中，基于直觀認(rèn)知的視角開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).在幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，基于數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)理解視角創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)理解能力，為高中生的后續(xù)學(xué)習(xí)提供新的實(shí)踐支持.

2 類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 類比數(shù)學(xué)問(wèn)題，確定教學(xué)突破口

正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)的“提出一個(gè)問(wèn)題遠(yuǎn)比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要.”對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)來(lái)說(shuō)，提出問(wèn)題是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生分析、整合數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，其對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力與數(shù)學(xué)理解能力提出了更高的學(xué)習(xí)要求，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.在借由類比推理法開(kāi)展高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問(wèn)題的整合、對(duì)比問(wèn)題，建立指向?qū)W生數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)思維發(fā)展的教學(xué)框架，類比關(guān)鍵性教學(xué)資源與數(shù)學(xué)知識(shí)，打造全新的教學(xué)指導(dǎo)模塊.

設(shè)計(jì)多元問(wèn)題，可以加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力.以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材《全集、子集、補(bǔ)集》的教學(xué)為例，可以基于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念開(kāi)展類比推理教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探究數(shù)學(xué)知識(shí)，以“方程”的有關(guān)知識(shí)為例，對(duì)于這類計(jì)算問(wèn)題，學(xué)生并不陌生，在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中已經(jīng)掌握了一定的學(xué)習(xí)技巧.教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“方程”的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行匯總，從而引出對(duì)于“集合”的討論：方程包含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等不同的方程類型，不同的方程之間存在著不同的數(shù)學(xué)關(guān)系，在“集合”當(dāng)中，是否也存在這樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？在引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)分析之后，基于數(shù)學(xué)認(rèn)知視角開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，要求學(xué)生從集合的關(guān)系入手展開(kāi)推導(dǎo)：集合之間可能存在著包含關(guān)系，也可能存在著對(duì)等關(guān)系.在類比數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，將“集合相等”“真子集”“子集”“空集”等概念整理出來(lái)，結(jié)合“方程”的有關(guān)知識(shí)幫助學(xué)生進(jìn)行理解：對(duì)于“方程”這個(gè)概念來(lái)說(shuō)，一元一次方程就是方程的真子集；二次函數(shù)屬于方程的空集.借由數(shù)學(xué)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考，可以精準(zhǔn)鎖定數(shù)學(xué)教學(xué)的突破口，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力.

2.2 類比數(shù)學(xué)方法，掌握數(shù)學(xué)差異性

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展情況不同，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)也存在著較大的差異.在高中數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生會(huì)嘗試?yán)貌煌臄?shù)學(xué)方法來(lái)整合數(shù)學(xué)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.在嘗試推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，可基于教學(xué)要求建立全新的類比教學(xué)框架：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)本身帶有的工具性與差異性特點(diǎn)，歸納并分析數(shù)學(xué)知識(shí)；整合數(shù)學(xué)教學(xué)材料與教學(xué)資源，進(jìn)行數(shù)學(xué)資源的匯總和應(yīng)用.幫助學(xué)生在課堂上掌握“最簡(jiǎn)解題方法”，才能讓類比推理教學(xué)發(fā)揮出價(jià)值.

以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材《函數(shù)的單調(diào)性》的教學(xué)為例，在基于類比推理視角開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，可基于數(shù)學(xué)教學(xué)要求為對(duì)學(xué)生提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)：對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行匯總分析，思考函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)該如何進(jìn)行判斷？學(xué)生以不同的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行互動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行匯總，如下列方法所示：

(1)根據(jù)函數(shù)解析式畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)求解函數(shù)的最小值或最大值，在極值的左右兩端分別給自變量取值，觀察函數(shù)值的變化，確定函數(shù)的單調(diào)性.

學(xué)生依靠不同的數(shù)學(xué)方法來(lái)整理數(shù)學(xué)知識(shí)，教師要發(fā)揮出引導(dǎo)作用，對(duì)學(xué)生所給出的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行驗(yàn)證.對(duì)于方法(1)過(guò)程較為繁瑣，但在確定幾個(gè)關(guān)鍵坐標(biāo)點(diǎn)之后，依靠函數(shù)圖像來(lái)表示函數(shù)的單調(diào)性，確定教學(xué)方向；對(duì)于方法(2)雖然失去了函數(shù)圖形的直觀引導(dǎo)，但能夠基于數(shù)學(xué)計(jì)算角度對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，簡(jiǎn)化學(xué)生的計(jì)算過(guò)程.對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，兩種方法滿足不同素質(zhì)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，在一定程度上保障了數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的有效性.

2.3 類比數(shù)學(xué)知識(shí)，建立課堂新框架

部分高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在著一定的相似性特點(diǎn)：其不僅與當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)息息相關(guān)，更涉及以往數(shù)學(xué)知識(shí)的表達(dá)、應(yīng)用.在借由類比推理法推動(dòng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的過(guò)程中，應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行比對(duì)：建立指向理性知識(shí)結(jié)構(gòu)的教學(xué)框架，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)要素進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)歸納能力.

重視數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)比，將高中數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)化為一個(gè)“求同存異”的過(guò)程，創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)框架，促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí).以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材《抽樣》的教學(xué)為例，可以基于數(shù)學(xué)情境幫助學(xué)生類比推理數(shù)學(xué)知識(shí)，營(yíng)造全新的教學(xué)模塊.如下列數(shù)學(xué)情境所示：某工廠生產(chǎn)了30000臺(tái)電機(jī)，現(xiàn)在要對(duì)電機(jī)的質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，要求在30分鐘內(nèi)出具檢測(cè)結(jié)果，如果是你負(fù)責(zé)質(zhì)檢任務(wù)，你會(huì)如何安排工作？

解析：該數(shù)學(xué)問(wèn)題是一個(gè)“計(jì)算產(chǎn)品合格率”的過(guò)程，如果對(duì)整體樣本全部進(jìn)行檢測(cè)，則工作壓力過(guò)大，難以節(jié)約檢測(cè)成本.在類比推理視角下，可嘗試將多元化數(shù)學(xué)知識(shí)帶入到數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中：基于抽樣、普查兩個(gè)視角開(kāi)展數(shù)學(xué)討論活動(dòng)，分析不同數(shù)學(xué)調(diào)查方法對(duì)于調(diào)查活動(dòng)所產(chǎn)生的影響：如果采取普查，則需要對(duì)30000臺(tái)電機(jī)共同開(kāi)展質(zhì)檢，在沒(méi)有足夠的質(zhì)檢人員與設(shè)備的情況下，很難按規(guī)定時(shí)間完成質(zhì)檢任務(wù).但如果采取抽樣調(diào)查，則可以在30000臺(tái)電機(jī)當(dāng)中選擇對(duì)應(yīng)數(shù)量的樣本進(jìn)行檢測(cè).當(dāng)學(xué)生給出數(shù)學(xué)觀點(diǎn)之后，幫助學(xué)生確定抽樣檢測(cè)的具體思路：將30000臺(tái)電機(jī)分成100組，每組由300臺(tái)電機(jī)組成，在300臺(tái)電機(jī)當(dāng)中抽取30臺(tái)電機(jī)進(jìn)行隨機(jī)檢測(cè)，評(píng)估電機(jī)質(zhì)量.

2.4 類比數(shù)學(xué)概念，找準(zhǔn)教學(xué)發(fā)力點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)、參與數(shù)學(xué)課堂的基礎(chǔ)前提條件.在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維數(shù)學(xué)推理能力等關(guān)鍵素養(yǎng)的過(guò)程中，要嘗試建立指向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念的全新教學(xué)模式：找準(zhǔn)數(shù)學(xué)課堂上的發(fā)力點(diǎn)，提出具體化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，深度開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)課堂.從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念入手設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，可以構(gòu)建低難度的數(shù)學(xué)教學(xué)模塊，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析、匯總，從而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，使其形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維，讓數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)逐步發(fā)揮育人價(jià)值.

以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材《圓的方程》的教學(xué)為例，可以基于數(shù)學(xué)概念視角開(kāi)展類比推理教學(xué).教師為學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題：方程中未知數(shù)可以幫助我們掌握全新的數(shù)學(xué)關(guān)系，而圓的位置、大小與圓心的位置和半徑的長(zhǎng)度有關(guān)，思考一下，能否將方程中的兩個(gè)未知數(shù)表示為圓的圓心和半徑，從而確定圓的方程？在類比數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立自主的探究式學(xué)習(xí)：一方面，說(shuō)明圓的方程的應(yīng)用價(jià)值：借由圓的方程開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，可以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題與關(guān)鍵數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，確定具體化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，了解圓的一般規(guī)律；另一方面，說(shuō)明圓的特點(diǎn)：基于方程視角探究表示圓的一般公式，在課堂上展開(kāi)交流活動(dòng)，分享關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn).作為教師，要基于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)應(yīng)用視角引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)類比推理活動(dòng)：現(xiàn)在有兩個(gè)同心圓，一個(gè)圓的半徑為9，一個(gè)圓的半徑為4，如何列出圓的方程？在類比推理的過(guò)程中，教師僅負(fù)責(zé)提出數(shù)學(xué)思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)由學(xué)生獨(dú)立完成，在教學(xué)環(huán)節(jié)，要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)探究技能的訓(xùn)練.

綜合來(lái)看，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展類比推理活動(dòng)確實(shí)能夠在一定程度上提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率，在整合數(shù)學(xué)知識(shí)、分享數(shù)學(xué)資源的過(guò)程中，學(xué)生與教師可以及時(shí)進(jìn)行交流，對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行整合歸納.教師要解開(kāi)學(xué)生的思維枷鎖，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，基于學(xué)、用、算的全新視角分享數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，打造全新的數(shù)學(xué)課堂.引導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)中分享數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，重新理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)技能的深度發(fā)展.