雷 星

一、 引言

高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)部分比較抽象，需要學(xué)生重點理解和吸收。如果教師僅依靠口述或者文字，那么學(xué)生就會很難理解，對函數(shù)的學(xué)習(xí)浮于表面。而數(shù)形結(jié)合思想將函數(shù)的虛擬問題轉(zhuǎn)換為清晰可見的圖形，幫助學(xué)生建立圖形概念，并且可以通過圖形將生活中的內(nèi)容聯(lián)系起來建立更加清晰的數(shù)學(xué)模型，從而促進(jìn)學(xué)生深層次吸收函數(shù)內(nèi)容，掌握函數(shù)學(xué)習(xí)的規(guī)律，幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和學(xué)習(xí)效果。

二、 數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)數(shù)學(xué)中的概述

(一)數(shù)形結(jié)合思想的概念

數(shù)形結(jié)合思想，顧名思義指的是將數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)字、符號或者等式等內(nèi)容以圖形或者曲線的形式直觀地表現(xiàn)出來，實現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的化繁為簡，促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)內(nèi)容的深度理解。

數(shù)形結(jié)合思想重要的是建立數(shù)字和圖形的轉(zhuǎn)換思維。利用圖形解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題確實會更加高效便捷，但是學(xué)生進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換需要較高的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力會存在一定的差距，有的學(xué)生計算能力和邏輯能力有限，因此要想數(shù)形結(jié)合思想利用得好，就需要進(jìn)行刻意練習(xí)，不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。而教師在教學(xué)過程中要著重反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，從而幫助學(xué)生深化對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)知。

(二)數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)教學(xué)中的重要性

1. 深化學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)屬于重要的組成部分，也可以說起到了基礎(chǔ)性的作用。因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要格外注重函數(shù)的學(xué)習(xí)。但是，函數(shù)內(nèi)容相對虛擬，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力。函數(shù)問題如定義、奇偶性、不等式、三角函數(shù)等如果只用文字描述，學(xué)生會對函數(shù)產(chǎn)生相對模糊的概念，不具備具體性和清晰性。因此，要在函數(shù)問題中引入圖形這一工具，從而將抽象問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的內(nèi)容，將復(fù)雜變?yōu)楹唵?，便于學(xué)生更為深刻地理解函數(shù)問題，在腦海中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)對數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用，做到舉一反三。

2. 提升學(xué)生的解題速度和正確率

數(shù)形結(jié)合思想作為解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題的一種有效手段，可以很大程度上提升學(xué)生的解題速度和正確率。數(shù)形結(jié)合將函數(shù)轉(zhuǎn)換為圖形，使得問題變得更為具體，將復(fù)雜的文字語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言，從而可以幫助學(xué)生更快獲取有效的信息，排除一些無用的信息，掌握圖形中的規(guī)律，得出更為準(zhǔn)確的答案。另外，在利用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)問題時，也可以將圖形問題轉(zhuǎn)換為學(xué)生可以清晰理解的等式或者數(shù)量關(guān)系，兩者的相互轉(zhuǎn)換，使得學(xué)生可以更加快速深入地理解函數(shù)問題。學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題時，需要具備較為細(xì)致的觀察力、較強(qiáng)的邏輯思維能力，以及仔細(xì)分析題目保證圖形繪制無誤，因此數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

3. 提升教師的教學(xué)效果

高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)時首先需要考慮的就是如何通過較為淺顯的數(shù)學(xué)語言幫助學(xué)生理解較為深刻的數(shù)學(xué)問題，保證學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。從這一角度看，教師引入數(shù)形結(jié)合思想是必要的途徑和手段。數(shù)形結(jié)合本身就是相互轉(zhuǎn)換的，看到函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為圖形問題，看到圖形問題也可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題，從中選擇出更容易理解的方法。因此，在面對函數(shù)問題時，可以通過建立數(shù)形之間的相互聯(lián)系、相互證明以及相互補(bǔ)充，從而充分保證學(xué)生對數(shù)學(xué)題目的理解。高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的含義、邏輯以及解題思路，從而培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，提升教學(xué)效果。

三、 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用現(xiàn)狀

數(shù)形結(jié)合思想是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要手段，但是在其應(yīng)用過程中會有一些問題。而問題主要集中在兩個方面，即教師和學(xué)生。

(一)教師問題

在高中函數(shù)的實際教學(xué)中，大部分教師對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)都頗為重視，但是學(xué)生在應(yīng)用過程中出現(xiàn)達(dá)不到教學(xué)目標(biāo)的現(xiàn)象，而造成這一結(jié)果的原因有以下幾個方面。

1. 高中數(shù)學(xué)教師的經(jīng)驗不足

教師都是通過考試加面試進(jìn)入學(xué)校的，近年來更多年輕化的教師參與教學(xué)，加上高中的教學(xué)對教師本身的要求就偏高，教師的經(jīng)驗不足，對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況了解不足或者教學(xué)經(jīng)驗不夠，都容易產(chǎn)生數(shù)形結(jié)合效果不明顯的情況。

2. 教學(xué)方式不當(dāng)

數(shù)學(xué)本身就是比較抽象的，函數(shù)問題尤是。因此，教師要選取學(xué)生容易理解和接受的方式進(jìn)行教學(xué)，但是具體的教學(xué)方式需要教師在實踐中進(jìn)行探索，這中間會產(chǎn)生一定的誤差。

3. 教師對教材內(nèi)容的準(zhǔn)備不足

教師在講解函數(shù)問題前，要進(jìn)行備課，這需要教師做到充分理解教材中的內(nèi)容，但是存在有的教師抱著對教材內(nèi)容已經(jīng)很熟悉了，于是就忽略了備課這一習(xí)慣。教材的內(nèi)容可以長時間使用，但是一些具體的實例是在不斷變化的，教師在備課中，要注意學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，教學(xué)有側(cè)重。

4. 教師本身不具備數(shù)形結(jié)合思想

教師的教學(xué)水平會直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，而在教學(xué)中存在極個別教師本身就不具備數(shù)形結(jié)合思維，這也難以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

(二)學(xué)生問題

1. 學(xué)生的邏輯和推理能力不足

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就注重邏輯和推理能力，而函數(shù)的學(xué)習(xí)尤其注重，這就對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提出了較高的要求。部分高中學(xué)生對函數(shù)的定義、轉(zhuǎn)換或者應(yīng)用缺乏足夠的掌握力，而對函數(shù)的認(rèn)知也相對較弱，在實際的應(yīng)用中難以做到很好的數(shù)形結(jié)合。

2. 學(xué)生的構(gòu)圖能力不足

數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是將數(shù)字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，有的學(xué)生因為計算能力較差，雖然能繪制出圖形，但是會出現(xiàn)一定的偏差，難以為解題提供正確的依據(jù)。

四、 數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用

高中函數(shù)對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在函數(shù)的求值、函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)和其融合應(yīng)用等方面，因此要強(qiáng)化這些模塊的數(shù)形結(jié)合思想。

(一)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)求值方面的應(yīng)用

函數(shù)的求值問題在函數(shù)學(xué)習(xí)中占據(jù)了重要的部分，其包括函數(shù)值的個數(shù)、范圍以及極值等，要想快速解決這些問題，就要用到數(shù)形結(jié)合思想。在具體的函數(shù)求值問題上往往會涉及較多的數(shù)字、變量或者符號，如果只用文字進(jìn)行理解，往往會給學(xué)生造成理解上的困難。反之，將其結(jié)合圖形，則會直觀簡單很多。因此教師在講解函數(shù)求值相關(guān)問題時，需要引入圖形，并且要注意繪制圖形的準(zhǔn)確性。

例如，教師在解答“y=|x+3|-|x-2|”的最大值和最小值時，需要充分掌握絕對值的解題規(guī)律。要想解出該題的正確答案，就需要分情況進(jìn)行討論。依據(jù)絕對值的應(yīng)用特征，也就是要考慮絕對值的零點問題。并且依據(jù)這一零點，將該問題分成三段，逐一討論、分析之后得出最大值和最小值。

首先，考慮當(dāng)兩個絕對值內(nèi)均為正值，即不變更符號的情況，可以得出當(dāng)x+3≥0，x-2≥0時，則x≥2，該數(shù)值的最大值為5。

其次，考慮當(dāng)兩個絕對值均為負(fù)值，即全部變更符號的情況，就可以得出當(dāng)x≤-3時，該等式的最小值為-5。

最后，探討中間部分，其中一個變號，另一個不變號的情況，即“y=(x+3)+(x-2)”，由此得出在-3

將三段情況探討之后就可以將所有的點連接起來，從而得出該函數(shù)的最大值和最小值。

分段討論函數(shù)的求值問題是函數(shù)求值中經(jīng)常遇到的問題，學(xué)生需要對這些問題進(jìn)行分析，反復(fù)練習(xí)，形成思維慣性。當(dāng)在函數(shù)中看到絕對值、平方或者不等式等問題時，可以第一時間察覺出題者的意圖，直接用數(shù)形結(jié)合的思想來解決這一類問題，做到舉一反三，從而盡快解決求值問題，提升解題的效率和保證其正確性。

(二)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用

數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)是一個長期的過程，從小學(xué)到高中是一以貫之的。其實早在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生就接觸過關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的問題。函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)隨著變量的增大而逐漸增大，則稱為單調(diào)遞增；而在某一區(qū)間內(nèi)隨著變量的增大而逐漸減小，則稱為單調(diào)遞減。在初中接觸的是較為簡單的函數(shù)單調(diào)問題，而在高中函數(shù)的學(xué)習(xí)中則會相對比較復(fù)雜，會出現(xiàn)分區(qū)間進(jìn)行討論的情況。而要考查不同區(qū)間的函數(shù)單調(diào)問題，則可以通過畫圖的形式直觀展示出來。

例如，在研究最簡單的二次函數(shù)“f(x)=x2”時，教師可以畫出其圖形。

首先，看到關(guān)于平方的問題，就要進(jìn)行關(guān)于零點問題的討論。

針對函數(shù)單調(diào)性的考查，可以幫助學(xué)生更快地理解函數(shù)數(shù)值的大小對比，并且理解函數(shù)之間的關(guān)系，直觀展示出函數(shù)的運(yùn)動變化情況，從而幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的變化。并且學(xué)生在理解函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步理解關(guān)于函數(shù)的對稱性、奇偶性等內(nèi)容，可以將這些函數(shù)問題做到充分的融合理解，從而建立一個整體的數(shù)學(xué)概念模型，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

(三)數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)方面的應(yīng)用

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)重點考查的內(nèi)容，加上學(xué)生在高中之前并未接觸過該學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以三角函數(shù)也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，需要做到重點突破。三角函數(shù)涉及的內(nèi)容很多，如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等，每種函數(shù)都有其對應(yīng)的函數(shù)圖形，并且三角函數(shù)也會在基礎(chǔ)的函數(shù)圖形上加以變換，這就使得學(xué)生需要掌握其變換規(guī)律，做到舉一反三，靈活運(yùn)用。

針對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該首先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會繪制最基礎(chǔ)的三角函數(shù)，如正弦函數(shù)，明確其定義域、值域、上下平移或者左右平移等內(nèi)容。在學(xué)生掌握最基礎(chǔ)的三角函數(shù)內(nèi)容后，再加以升級如討論函數(shù)的周期性、三角函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換等內(nèi)容。

三角函數(shù)的數(shù)形結(jié)合對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有較高的要求，并且其中涉及的公式和定理內(nèi)容很多，學(xué)生除了需要熟記其轉(zhuǎn)換的規(guī)律，還要掌握其圖形變換的特點，從而通過給出的信息，繪制出正確的圖形，進(jìn)而充分理解三角函數(shù)。

(四)數(shù)形結(jié)合思想在不同函數(shù)問題之間的應(yīng)用

函數(shù)問題是一個大的數(shù)學(xué)問題，其中具有較多的分支。但是這些小的函數(shù)問題之間并不是相互割裂的，而是可以在應(yīng)用中彼此融合，教師在函數(shù)問題上要幫助學(xué)生建立函數(shù)的思維導(dǎo)圖，建立函數(shù)之間的聯(lián)系。遇到不同的函數(shù)問題時，可以將不用的圖形繪制到同一個圖形之上，更為直觀明晰地解決函數(shù)問題，提升解決函數(shù)問題的速度，保證解題的效率。

例如，教師在解答“直線y=x和函數(shù)y=sinx的交點個數(shù)”這一問題時，就需要同時用到函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的知識點。教師在講解該問題時，首先要將直線y=x和函數(shù)y=sinx的圖形進(jìn)行繪制，從圖形上直觀地顯示出交點個數(shù)。因為這兩個圖形的繪制較為容易，學(xué)生也可以在圖形中直觀展示個數(shù)，因此學(xué)生在基礎(chǔ)掌握該內(nèi)容之后就需要教師再做一些難度的升級，由此可以做到函數(shù)學(xué)習(xí)的鞏固提高。

比如該題的解法，還可以直接用到導(dǎo)數(shù)的知識。假設(shè)f(x)=x-sinx，x≥0，求導(dǎo)則可以得到f′(x)=1-cosx，我們也可以將導(dǎo)數(shù)函數(shù)進(jìn)行圖形繪制。則可以得到當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增的，所以我們知道f(x)≥f(0)，也就是中間出現(xiàn)一個交點。但是當(dāng)x<0時，沒有交點。再加上通過圖形我們可以知道兩個函數(shù)都是奇函數(shù)，因此，這兩個函數(shù)只有一個交點。

不同函數(shù)的融合使用，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維，用不同的方法解決同一個數(shù)學(xué)問題，在最快的時間選擇最適合的解題方法，幫助學(xué)生順利解決函數(shù)問題，并且在其過程中，不斷培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和計算推理能力。同時，函數(shù)問題的融合使用，也可以為其他數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。而在不同函數(shù)問題中引入數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的問題簡單化，可以直觀清晰地解決數(shù)學(xué)問題。

五、 數(shù)形結(jié)合思想引入高中函數(shù)問題中的策略

針對數(shù)形結(jié)合思想在實際教學(xué)中的發(fā)展現(xiàn)狀，師生需要共同努力，做到有的放矢，重點突破。

(一)教師方面

教師的教學(xué)水平和質(zhì)量可以直接決定學(xué)生對知識點的學(xué)習(xí)吸收情況，因此，教師要不斷提升自身的教學(xué)水平。針對教學(xué)經(jīng)驗不足的問題，有的教師是因為剛剛參加工作，缺少經(jīng)驗，每個教師都是從缺乏經(jīng)驗走過來的，因此，教師要在教學(xué)中不斷積累經(jīng)驗，也可以讓學(xué)生或者其他教師指出教學(xué)中存在的問題以便加以改進(jìn)，從而提升教學(xué)質(zhì)量。對教學(xué)準(zhǔn)備方面的問題，教師要做到充分備課，教材內(nèi)容相同，但是在備課中可以選用當(dāng)下的熱點問題或者依據(jù)本班學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，打造適用于學(xué)生的課堂。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)不斷向?qū)W生強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想可以有效解決函數(shù)問題，通過反復(fù)強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生形成慣性記憶，從而將數(shù)形結(jié)合思想滲透到學(xué)生心中。

(二)學(xué)生方面

數(shù)學(xué)具有其獨有的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，對學(xué)生的要求較高。函數(shù)問題較為抽象，有的學(xué)生理解起來確實會存在一定的難度，因此更需要相對簡便的方法來理解這一問題。學(xué)生針對函數(shù)的學(xué)習(xí)，首先要理解和掌握函數(shù)的定理和推論，并將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題上。在掌握了基礎(chǔ)的定理之后，再通過教師的講解以及反復(fù)的數(shù)學(xué)練習(xí)建立數(shù)形結(jié)合思想，從而幫助學(xué)生將函數(shù)問題簡單化，提升其學(xué)習(xí)效果。另外，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果關(guān)鍵在于學(xué)生本人，學(xué)生應(yīng)該充分發(fā)揮其能動性，找尋規(guī)律。

六、 結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容相對來說較為抽象，單純依靠文字講解學(xué)生難以做到充分理解知識點。因此，引入數(shù)形結(jié)合思想是非常有必要的。通過將抽象概念轉(zhuǎn)化為具體圖形，直觀展示數(shù)學(xué)問題，可以提升學(xué)生的邏輯推理能力和思考能力。并且在數(shù)形結(jié)合思想的實際教學(xué)中會存在一定的問題，需要教師和學(xué)生的共同努力。函數(shù)問題重點會考查函數(shù)的求值、單調(diào)性和三角函數(shù)等內(nèi)容，教師和學(xué)生都要對此內(nèi)容不斷加以強(qiáng)化，做到舉一反三，靈活應(yīng)用。