文|俞田剛

一、問(wèn)題與探討

《鴿巢問(wèn)題》是六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，教材中編排了三個(gè)例題，旨在通過(guò)具體的實(shí)例，借助實(shí)際操作向?qū)W生滲透鴿巢問(wèn)題的一般原理，讓學(xué)生理解鴿巢問(wèn)題的特點(diǎn)，建立鴿巢問(wèn)題的一般模型，并運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。教材編排的三個(gè)例題有著各自不同的作用。

在教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)《鴿巢問(wèn)題》有這些特點(diǎn)：

1.數(shù)字不大，內(nèi)容難。

2.語(yǔ)言不多，說(shuō)理難。

3.變式較多，建模難。

“抽屜原理”之所以難，一是難在模型的建立上，學(xué)生不能靈活、準(zhǔn)確地使用特定的術(shù)語(yǔ)（“總有”“至少”）來(lái)表述結(jié)論。二是難在它的具體應(yīng)用，如何找到一些實(shí)際問(wèn)題與“抽屜原理”模型之間的聯(lián)系，如何來(lái)思考一些變式的情況，有時(shí)學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手，也就是“物品”和“抽屜”不明顯，如13 個(gè)人當(dāng)中至少有2 個(gè)人在同一個(gè)月過(guò)生日。

利用問(wèn)題提出的方式進(jìn)行教學(xué)可以突破難點(diǎn)，讓學(xué)生自己在初步感知模型的情況下，進(jìn)行大膽猜測(cè)所要研究的類(lèi)型并通過(guò)自主編題來(lái)驗(yàn)證結(jié)果，學(xué)生在自己的感悟、猜想、驗(yàn)證和自我肯定、否定中，自主建立模型，并進(jìn)行運(yùn)用模型。

這次我們嘗試在五年級(jí)下冊(cè)上《鴿巢問(wèn)題》，所以我把教學(xué)目標(biāo)定位為：

經(jīng)歷“抽屜原理”（鴿巢問(wèn)題）的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)運(yùn)用“抽屜原理”解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

通過(guò)“抽屜原理”的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對(duì)邏輯推理、模型思想的體驗(yàn)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

讓學(xué)生體驗(yàn)猜想與編題驗(yàn)證的過(guò)程，對(duì)“抽屜原理”有更深入的理解，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

根據(jù)目標(biāo)要求，設(shè)計(jì)的教學(xué)流程如下：

獨(dú)立探究，初步感悟

↓

猜想驗(yàn)證，編題驗(yàn)證

↓

初次建模，提出問(wèn)題

↓

再次建模，運(yùn)用模型

在第一環(huán)節(jié)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立探究“4 支筆放進(jìn)3 個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少有（ ）支筆”，初次感知模型后，讓學(xué)生根據(jù)得到的模型創(chuàng)編能用學(xué)到的本領(lǐng)解決的問(wèn)題。然后繼續(xù)猜想還有其他類(lèi)型的鴿巢問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的思維具有極大的挑戰(zhàn)與思考，從一開(kāi)始的“a+2”、“2a”，一直到“na+m”，學(xué)生的思維層次大大得到了提高。第三環(huán)節(jié)中學(xué)生從自己的猜想中選擇一個(gè)類(lèi)型自主編題，驗(yàn)證自己猜想的結(jié)果是否成立。最后根據(jù)學(xué)生的猜想進(jìn)行分類(lèi)，全班同學(xué)根據(jù)自己編題的類(lèi)型，自主成立研究小組，探究鴿巢問(wèn)題的本質(zhì)。學(xué)生從初步感悟——形成猜想——個(gè)人編題驗(yàn)證——小組綜合驗(yàn)證的過(guò)程，對(duì)鴿巢問(wèn)題進(jìn)行深入獨(dú)立的研究，最終自己得到數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、實(shí)踐與思考

任務(wù)一：獨(dú)立探究，初次建模

1.出示研究題目：把4 支筆放進(jìn)3 個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少有（ ）支筆。

師：“總有”“至少”怎么理解？

生：“總有”就是一定有、肯定有，“至少”就是最少。

師：4 支筆放進(jìn)3 個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少有幾支筆呢？請(qǐng)獨(dú)立探究。要求：先寫(xiě)出結(jié)論，再用不同的方法表示自己的想法。

我的研究：

4 支筆放進(jìn)3 個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少有幾只筆？要求：先寫(xiě)出結(jié)論，再用不同的方法表示自己的想法。images/BZ_72_244_2013_802_2099.png我的結(jié)論：總有一個(gè)抽屜里至少有（2）支筆。images/BZ_72_235_2182_555_2301.pngimages/BZ_72_567_2196_810_2277.png

【設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)簡(jiǎn)單的情境直接切入主題，在理解了兩個(gè)關(guān)鍵詞語(yǔ)后，讓學(xué)生自己通過(guò)不同的方法表示出自己的想法，就是想讓每個(gè)學(xué)生從自己的知識(shí)起點(diǎn)和能力起點(diǎn)出發(fā)，表達(dá)出自己的真實(shí)想法，以便教師能更好地進(jìn)行引導(dǎo)和因材施教。不同層次的學(xué)生在反饋的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)一一列舉、盡量平均分、除法算式等等思路，并能圖式結(jié)合進(jìn)行理解，從不同的知識(shí)和能力起點(diǎn)，在互相的碰撞中，形成對(duì)“鴿巢問(wèn)題”的初次感悟和理解?！?/p>

2.用自己喜歡的方式解決問(wèn)題。（四人小組內(nèi)學(xué)生隨機(jī)發(fā)放不同的練習(xí)題）

10 個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)9 個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少有（ ）個(gè)蘋(píng)果。

6 只鴿子飛進(jìn)5 個(gè)鴿籠，總有一個(gè)籠子里至少有（ ）只鴿子。

8 本書(shū)放進(jìn)7 個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少有（ ）本書(shū)。

師：請(qǐng)抽取到每一類(lèi)型題目的同學(xué)說(shuō)說(shuō)思路。

（教師根據(jù)學(xué)生回答，整理板書(shū)上的表格）

師：剛才我們研究的事情有什么規(guī)律嗎？

生：蘋(píng)果、鴿子、筆、書(shū)的數(shù)量都比抽屜、鴿籠要多1。

生：結(jié)果都是“總有一個(gè)抽屜里至少有2”。

師：我們把蘋(píng)果、鴿子等這些數(shù)量叫做物體數(shù)，抽屜、鴿籠的數(shù)量叫做抽屜數(shù)。我們?cè)谘芯窟^(guò)程中發(fā)現(xiàn)物體數(shù)都比抽屜數(shù)多1，而這樣放了以后，我們總有一個(gè)抽屜里至少有2 個(gè)數(shù)量。這一類(lèi)問(wèn)題就是我們數(shù)學(xué)上很有名的鴿巢問(wèn)題，也叫抽屜原理。

師：我們能不能用學(xué)過(guò)的方式來(lái)表達(dá)這種關(guān)系？

生：如果把抽屜數(shù)表示成a，那么物體數(shù)就是a+1，至少數(shù)就是2。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾個(gè)不同具體情境的探究，學(xué)生找到這些看似不一樣的題目，其本質(zhì)是一樣的，從而自主發(fā)現(xiàn)：把a(bǔ)+1 個(gè)物體放進(jìn)a 個(gè)抽屜里，至少數(shù)都是2。初次得到鴿巢問(wèn)題的模型。】

3.提出可以用這個(gè)規(guī)律解決的問(wèn)題

師：剛才我們找到了鴿巢問(wèn)題的一個(gè)規(guī)律，你能提出用這個(gè)規(guī)律解決的問(wèn)題嗎？

生：老師有5 顆糖，獎(jiǎng)給4 個(gè)同學(xué)，總有一個(gè)同學(xué)至少有（ ）顆糖。

生：100 只鴿子，飛進(jìn)99 個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠里至少有（ ）只鴿子。

【設(shè)計(jì)意圖：初步感知模型后，讓學(xué)生自己再提出這類(lèi)問(wèn)題，進(jìn)一步理解模型的本質(zhì)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中理解，在理解中應(yīng)用?！?/p>

任務(wù)二：猜想驗(yàn)證，再次建模

1.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，猜想鴿巢問(wèn)題的其他類(lèi)型

師：同學(xué)們，鴿巢問(wèn)題除了剛才研究的這一類(lèi)型，還會(huì)研究其他類(lèi)型嗎？

生：a+2。

師：非常好，新的猜想。還會(huì)有其他的嗎？

生：a+3。

師：物體數(shù)會(huì)比抽屜數(shù)多幾？可以用字母來(lái)表示嗎？

生：a+n。

師：對(duì)這個(gè)n 有什么要求？

生：n＜a。

生：倍數(shù)關(guān)系，比如2a、3a……

師：又有新的猜想，從多幾想到了倍數(shù)，非常了不起。還會(huì)有其他類(lèi)型嗎？

生：我覺(jué)得還可以是幾倍多幾，比如2a+1。

師：幾倍多幾可以怎么來(lái)表達(dá)？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)前面簡(jiǎn)單鴿巢問(wèn)題的研究，初次建模。然后引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想鴿巢問(wèn)題的其他類(lèi)型，學(xué)生一邊猜想，一邊還能歸納出字母式，并在討論中得到取值范圍?！?/p>

任務(wù)三：編題驗(yàn)證，運(yùn)用模型

1.個(gè)人驗(yàn)證

師：選擇剛才猜想的一種類(lèi)型，編題驗(yàn)證結(jié)果。

2.分組驗(yàn)證

師：請(qǐng)尋找“志同道合”的小伙伴——選擇相同類(lèi)型的同學(xué)一起討論研究。

師：我們先看看可以分成幾種類(lèi)型？

生：第一類(lèi)a+n，第二類(lèi)ma，第三類(lèi)ma+n。

師：每組領(lǐng)取研究任務(wù)、確定好場(chǎng)地、推選出組長(zhǎng)。

3.分組匯報(bào)結(jié)果

師：小組討論很認(rèn)真，請(qǐng)匯報(bào)你們的討論結(jié)果。

第一組：我們研究的是a+n的情況，我們發(fā)現(xiàn)只要a 大于n，不管物體數(shù)和抽屜數(shù)取多少，至少數(shù)都是2。

師：請(qǐng)問(wèn)你們的表格中，為什么一開(kāi)始寫(xiě)著3，后來(lái)修改成了2？

生：第一個(gè)匯報(bào)的同學(xué)選了物體數(shù)是8，抽屜數(shù)是6，余數(shù)是2。他一開(kāi)始覺(jué)得是2+1=3。

師：那后來(lái)怎么改了呢？

生：余數(shù)2，為了做到至少，也要平均分。

師：其他同學(xué)怎么看？有沒(méi)有同學(xué)能解釋得更具體一些？

生：余數(shù)是2，如果都放在同一個(gè)抽屜里，得到的結(jié)果就不是最少的數(shù)量，必須把多余的物體也平均分，這樣得到的結(jié)果才是至少數(shù)。

第二組：我們研究的是物體數(shù)是抽屜數(shù)倍數(shù)關(guān)系的情況。我們小組發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，只要是倍數(shù)關(guān)系，放進(jìn)抽屜的至少數(shù)都是那個(gè)倍數(shù)。比如2 倍，至少數(shù)就是2，5 倍至少數(shù)就是5。

師：你們的研究很深入，匯報(bào)簡(jiǎn)單易懂，同學(xué)們的掌聲是對(duì)你們最好的肯定。

第三組：我們組研究的情況是ma+n 的情況。我們匯合了整個(gè)組同學(xué)的想法后，得到的結(jié)論是：不管物體數(shù)是抽屜數(shù)的幾倍多幾，只要a 大于n，至少數(shù)都是m+1。

生：（補(bǔ)充）因?yàn)榍懊娴膍a，相當(dāng)于就是第二組研究的倍數(shù)情況，多幾，就是第一組研究的情況，所以綜合前兩個(gè)組的意見(jiàn)，我們組就是他們兩組的結(jié)合。

（全班同學(xué)和聽(tīng)課教師給予了熱烈的掌聲）

師：同學(xué)們的學(xué)習(xí)能力真是太強(qiáng)大了。在個(gè)人獨(dú)立編題驗(yàn)證過(guò)程中，已經(jīng)有了初步的驗(yàn)證結(jié)果；在小組討論后，更加確定；并且群策群力后得到了更明確的結(jié)論，具有一定的高度，老師為你們這樣的學(xué)習(xí)精神點(diǎn)贊。

【設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)槭菍W(xué)生自己提出的猜想，所以讓他們自己來(lái)驗(yàn)證結(jié)果，學(xué)生很有興趣，在編題的過(guò)程中，學(xué)生都試圖從前面的題型中去尋找情境，然后自主選擇好研究類(lèi)型進(jìn)行編題。對(duì)學(xué)生們來(lái)說(shuō)，這是一種自我提問(wèn)。在個(gè)人獨(dú)立驗(yàn)證，有了初步的結(jié)論后，尋找“志同道合”的小伙伴，就是研究同一類(lèi)型的同學(xué)，一起驗(yàn)證。這個(gè)時(shí)候，同學(xué)們都覺(jué)得是同一陣線(xiàn)的戰(zhàn)友，有共同話(huà)題，思維方式也很接近，討論很快就進(jìn)入角色，不僅驗(yàn)證了小組內(nèi)每個(gè)同學(xué)的結(jié)果，最終還都討論出了一般模型，真不簡(jiǎn)單?！?/p>

三、收獲與啟示

本節(jié)課以問(wèn)題提出為主線(xiàn)開(kāi)展教學(xué)，試圖通過(guò)“猜想、驗(yàn)證”的方式來(lái)建立模型，并且通過(guò)個(gè)人自主驗(yàn)證和同類(lèi)型題目合并新小組來(lái)共同驗(yàn)證的過(guò)程，解決不同層次學(xué)生問(wèn)題提出的有效互動(dòng)。主要體現(xiàn)以下幾個(gè)層面：

1.猜想是思維的出發(fā)點(diǎn)

如果說(shuō)從“a+1”到“問(wèn)題提出”是學(xué)生激活經(jīng)驗(yàn)、建立聯(lián)系的過(guò)程，是讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)特的思維活動(dòng)的話(huà)，那么“猜想”則孕育著數(shù)學(xué)思維與推理，從獨(dú)立探究有了初步的感知以后，讓學(xué)生根據(jù)大量的同類(lèi)型題目進(jìn)行充分感知，然后得出規(guī)律，并提出用這個(gè)規(guī)律解決問(wèn)題的題目，學(xué)生在自我提問(wèn)的過(guò)程中，再自我解答驗(yàn)證，第一次建模就順理成章了。

而根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)“猜想”鴿巢問(wèn)題可能還有的規(guī)律，學(xué)生從最基礎(chǔ)的“a+2”開(kāi)始，逐漸地放開(kāi)思維，如“a+3”“a+4”等等，在這個(gè)過(guò)程中，教師不停地追問(wèn)：“物體數(shù)比抽屜數(shù)多幾？最多可以多幾個(gè)？”學(xué)生慢慢從隨意的猜測(cè)中思考，“a+n”中a 和n 的大小，必須是a 比n 大。教師繼續(xù)追問(wèn)：“如果一樣大呢？”學(xué)生異口同聲得出“物體數(shù)是抽屜數(shù)倍數(shù)的可能，2a”。突破了倍數(shù)的概念后，很多學(xué)生的思路被打開(kāi)，他們不滿(mǎn)足于多幾和幾倍，開(kāi)始大膽猜想幾倍多幾的可能，并且很自然地用字母式表示自己的想法。在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生的思路是開(kāi)放的，也是活躍的，一直在挑戰(zhàn)，一直被超越，一直在迸發(fā)火花。

2.驗(yàn)證是思維的保障機(jī)

在經(jīng)歷了充滿(mǎn)挑戰(zhàn)的猜想后，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被點(diǎn)燃，因?yàn)檫@些猜想都是他們自己發(fā)現(xiàn)的，自己創(chuàng)造的，不是書(shū)本直接呈現(xiàn)的，也不是教師直接給出的。所以教師得“潑點(diǎn)冷水”：這么多的猜想都是正確的嗎？誰(shuí)來(lái)驗(yàn)證這些猜想？主人就是你們自己。

學(xué)生選擇一類(lèi)猜想規(guī)律，通過(guò)自己編題來(lái)驗(yàn)證是否成立。學(xué)生積極性很高，都在極力證明自己的猜想是正確的，以最簡(jiǎn)單的“a+n”為例，很多同學(xué)都在挑戰(zhàn)不同的數(shù)來(lái)驗(yàn)證，有的甚至舉出兩位數(shù)和三位數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是，情況有很多種。我覺(jué)得學(xué)生個(gè)人驗(yàn)證的力量不夠有力，學(xué)生可能也會(huì)受自己能力所限，舉的例子或者編的題目缺乏典型性，所以，在學(xué)生獨(dú)立驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，再一次讓全班同學(xué)根據(jù)剛才的猜想分成三類(lèi)，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己驗(yàn)證的類(lèi)型自發(fā)組成小組，每人發(fā)表自己的見(jiàn)解，臨時(shí)推選的組長(zhǎng)記錄大家的想法后，全組共同討論每一個(gè)例子是否正確，然后在匯報(bào)墻上記錄典型的例子，并最終討論出自己組研究的成果。

根據(jù)全班學(xué)生的分組驗(yàn)證，將學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和思維燃到了最高點(diǎn)，每個(gè)學(xué)生都是參與者，都是每組的證明者，所以每個(gè)人都積極發(fā)表見(jiàn)解，熱烈討論，并在這個(gè)過(guò)程中互相指出問(wèn)題及時(shí)修正。第一小組遇到了鴿巢問(wèn)題中余數(shù)為2 的特殊情況，前面的教學(xué)中我沒(méi)有作任何說(shuō)明，所以有學(xué)生在舉例時(shí)，余數(shù)2 直接和商相加。所以墻上的一個(gè)答案“至少數(shù)”是3。我預(yù)料到了，也覺(jué)得這是一個(gè)容錯(cuò)和學(xué)生自我糾錯(cuò)的好時(shí)機(jī)，沒(méi)有給予輔導(dǎo)和糾正，想讓他們?cè)趨R報(bào)的過(guò)程中全班同學(xué)來(lái)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤然后進(jìn)行教學(xué)?？墒菦](méi)一會(huì)兒小組內(nèi)已經(jīng)自我否定了，把“3”劃掉，改成了“2”。所以在最后匯報(bào)的時(shí)候，教師只需問(wèn)：“為什么這里3 改成了2？發(fā)生了什么小故事？”匯報(bào)的同學(xué)講完故事的時(shí)候，就把教材中的難點(diǎn)“余數(shù)為2”也需平均分的知識(shí)點(diǎn)化解了。

在學(xué)生獨(dú)立編題以后，再根據(jù)選擇同一類(lèi)型的同學(xué)臨時(shí)組建小組，就是讓不同層次的學(xué)生能有效地進(jìn)行互動(dòng)，并在“志同道合”伙伴的引領(lǐng)下，自主發(fā)表見(jiàn)解，互相修正自己的想法，并逐漸真正感悟鴿巢問(wèn)題的本質(zhì)。

學(xué)生在經(jīng)歷了猜想———驗(yàn)證之后，靈活運(yùn)用鴿巢問(wèn)題，培養(yǎng)了思維的靈活性，學(xué)生對(duì)鴿巢問(wèn)題的理解由最初的形象理解上升為抽象層面的數(shù)學(xué)模型理解。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)注重讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過(guò)程。在小學(xué)階段，雖然并不需要學(xué)生對(duì)涉及抽屜原理的相關(guān)現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，但仍可鼓勵(lì)學(xué)生用直觀的操作，比如借助學(xué)具、實(shí)物操作或畫(huà)草圖、填表格等方式，以自主探究方式對(duì)抽屜原理進(jìn)行解釋?zhuān)⒔鉀Q問(wèn)題，從而讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)方法。前面的“問(wèn)題提出、猜想驗(yàn)證、小組交流、總結(jié)規(guī)律”的過(guò)程就是在感悟數(shù)學(xué)思想，建立模型思想。很多數(shù)學(xué)廣角是相通的，鴿巢問(wèn)題就像植樹(shù)問(wèn)題一樣，它們的數(shù)學(xué)建模一般路徑都是：結(jié)論出來(lái)后，建議讓學(xué)生嘗試編題，這個(gè)過(guò)程就是運(yùn)用模型，期望學(xué)生能將具體問(wèn)題和抽屜問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，找到問(wèn)題中的具體情境和抽屜問(wèn)題的一般化模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。