文|曹 炯 沈 杰

《平行四邊形的面積》是圖形與幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是學(xué)生第一次接觸“用轉(zhuǎn)化的方式”解決圖形面積問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)通過(guò)對(duì)比、轉(zhuǎn)化等活動(dòng)突顯度量的數(shù)學(xué)價(jià)值和思想方法。筆者基于教學(xué)與學(xué)生實(shí)際情況，概括了以下四方面的教學(xué)現(xiàn)象和誤區(qū)：

現(xiàn)象一：視角差異——空間直覺(jué)的牛角尖

五年級(jí)的學(xué)生，受限于認(rèn)知思維水平，缺乏空間知覺(jué)的加工意識(shí)與能力，對(duì)形體的表象描述還比較依賴于感覺(jué)器官的直觀體會(huì)，還無(wú)法自覺(jué)建立圖形在大腦中的正確映射與對(duì)應(yīng)表征。在本案例中，當(dāng)教師出示木質(zhì)平行四邊形隨著向下拉動(dòng)，詢問(wèn)學(xué)生面積變化時(shí)，竟有一半的學(xué)生認(rèn)為面積沒(méi)有改變，理由是向斜角凸出的部分和向下減少的部分是相等的。這說(shuō)明學(xué)生的空間直覺(jué)對(duì)面積的感知還存在較大偏差，對(duì)平行四邊形面積的本質(zhì)缺乏認(rèn)識(shí)，造成思維在非本質(zhì)因素間徘徊游蕩。

現(xiàn)象二：結(jié)構(gòu)干擾——鄰邊乘底的負(fù)遷移

無(wú)論是動(dòng)手操作還是空間想象，學(xué)生對(duì)圖形的感知一般都會(huì)偏重于對(duì)象直觀性較強(qiáng)的屬性特征部分，而忽略了對(duì)象圖形中其他內(nèi)隱、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)特征的解讀與揣摩。在本案例中，鄰邊與底邊相接，在視覺(jué)感官方面給學(xué)生帶來(lái)了負(fù)遷移的直觀沖擊，直接影響了空間判斷能力，導(dǎo)致學(xué)生誤認(rèn)為鄰邊所具有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)意義與長(zhǎng)方形中的寬相一致，進(jìn)而做出“鄰邊×底”的面積推導(dǎo)結(jié)論。說(shuō)明長(zhǎng)方形面積的結(jié)構(gòu)性干擾對(duì)平行四邊形的面積推導(dǎo)的確存在負(fù)遷移作用，較多學(xué)生對(duì)面積的概念還停留于感官的基礎(chǔ)上。

現(xiàn)象三：理解模糊——公式表面的知其然

在傳統(tǒng)教學(xué)中，整個(gè)教學(xué)過(guò)程只是為了求得公式，在對(duì)“讓學(xué)生充分經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、分析、提出、解決問(wèn)題”“嘗試進(jìn)行合情推理的歸納概括過(guò)程”等方面教學(xué)缺少相應(yīng)的力度和深度，只針對(duì)一種“最容易想到的割補(bǔ)法”探討，忽視學(xué)生自我構(gòu)建、合作交流多種形式割補(bǔ)方法的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中所感受的數(shù)學(xué)活動(dòng)、積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、生成的數(shù)學(xué)思維大打折扣，割補(bǔ)方法的多樣性與有效性及其背后面積單位的密鋪原理的一知半解，最終數(shù)學(xué)思考、核心素養(yǎng)的落地亦會(huì)成為空中樓閣。

現(xiàn)象四：遷移乏力——模塊構(gòu)筑的假面具

《平行四邊形的面積》是學(xué)生第一次接觸“用轉(zhuǎn)化的方式”解決圖形面積問(wèn)題，而且這種轉(zhuǎn)化的方法將一直推廣到三角形、梯形、圓等圖形面積的學(xué)習(xí)，具有較強(qiáng)的普適性、連續(xù)性。但轉(zhuǎn)化背后數(shù)學(xué)的核心本質(zhì)——面積單位密鋪原理，如果不解釋清楚、不探究明白，那學(xué)生的思維層次只能停留于面積公式的應(yīng)用水平，解決一些簡(jiǎn)單機(jī)械的計(jì)算問(wèn)題，無(wú)法將這種轉(zhuǎn)化方法上升到數(shù)學(xué)思維水平，并遷移類推到其他平面圖形的面積中。這樣窄化、固化式的學(xué)習(xí)結(jié)果使得學(xué)生有效構(gòu)筑模塊型、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)空間能力體系變得毫無(wú)力度、渠道日趨減少，最后只能淪為惰性知識(shí)，增加學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)。

平行四邊形屬于二維圖形，它與線段等一維圖形度量的最大差別在于動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換。線段的長(zhǎng)度只要借助合理測(cè)量工具和單位長(zhǎng)度連續(xù)疊加就能完成測(cè)量，而二維平面圖形面積并不是都能直接運(yùn)用單位面積進(jìn)行連續(xù)疊加，特別是一些不具備直角的不規(guī)則非對(duì)稱平面圖形，測(cè)量起點(diǎn)與面積單位無(wú)法有效重合，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化為具備單位面積連續(xù)疊加的圖形方能進(jìn)行后續(xù)測(cè)量。為此，平行四邊形面積的學(xué)習(xí)是學(xué)生空間結(jié)構(gòu)化的一次飛躍，是從簡(jiǎn)單靜止對(duì)稱圖形的測(cè)量思考轉(zhuǎn)向更復(fù)雜動(dòng)態(tài)非對(duì)稱圖形的測(cè)量思考，其意義深遠(yuǎn)重大。夯實(shí)平行四邊形面積學(xué)習(xí)能對(duì)之后三角形、梯形、圓等二維圖形，甚至是長(zhǎng)方體、圓柱等三維圖形的內(nèi)容起到拋磚引玉、舉一反三、遷移類推的數(shù)學(xué)思考方法示范作用。

一、樹立核心理念——轉(zhuǎn)換的根本目的是度量

在實(shí)際新授教學(xué)中，能想到借助割補(bǔ)三角形的方法求平行四邊形面積的學(xué)生不占少數(shù)。但是當(dāng)學(xué)生提出這個(gè)方案之后，緊接著馬上就出示底和高或動(dòng)態(tài)演示割補(bǔ)法，學(xué)生就真的理解“平行四邊形的面積就是底×高”了嗎？從哲學(xué)角度分析理解有兩重含義：一是意義復(fù)原，就是針對(duì)理解對(duì)象本身的深入剖析達(dá)到認(rèn)知重構(gòu)；二是視界融合，將理解對(duì)象放置在特定的認(rèn)知環(huán)境中，與其他同等類似對(duì)象產(chǎn)生結(jié)構(gòu)意義上的關(guān)聯(lián)。顯然，這樣匆忙的割補(bǔ)過(guò)程，學(xué)生無(wú)法真正理解其實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)意義。

數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)常常是一些隱藏著的、決定數(shù)學(xué)現(xiàn)象的基本概念、一般原理、特定方法等，具有較強(qiáng)的內(nèi)隱性與抽象性。當(dāng)學(xué)生面臨推理瓶頸、歸納無(wú)序時(shí)，教師可以依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯發(fā)展軌跡，由表及里地引導(dǎo)學(xué)生觸及探究對(duì)象所處的認(rèn)知脈絡(luò)和結(jié)構(gòu)源頭?；谶@樣考慮，不妨在講解直角三角形割補(bǔ)之后，放慢一下教學(xué)腳步，靜靜聆聽(tīng)學(xué)生思維拔節(jié)的聲音。從辯證思維角度入手，設(shè)置兩個(gè)值得深入辨析的問(wèn)題：切割的三角形有什么具體要求？為什么要拼成長(zhǎng)方形？通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題的思考與討論，不斷接近、指向圖形面積計(jì)算實(shí)質(zhì)——度量面積單位個(gè)數(shù)。轉(zhuǎn)化只是數(shù)學(xué)行為，而度量才是這個(gè)特定數(shù)學(xué)行為背后的真正意義。只有讓學(xué)生聚焦于度量，揭示直角三角形轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)方形背后的數(shù)學(xué)意義，從直觀上理解平行四邊形的面積其實(shí)是包含了度量單位（如1 平方厘米）的個(gè)數(shù)，才能更好地感悟轉(zhuǎn)化的價(jià)值和平面圖形面積的類推法則。

二、布局認(rèn)知沖突——大小的判斷依據(jù)是度量

皮亞杰的兒童空間概念發(fā)展研究理論表明：兒童對(duì)空間概念發(fā)展及空間關(guān)系的認(rèn)識(shí)是一個(gè)從模糊、拓?fù)錉顟B(tài)向間接、概括反映的發(fā)展過(guò)程，從低到高依次分為拓?fù)?、歐式圖形學(xué)習(xí)、測(cè)量和射影幾何四個(gè)空間概念水平層次，并與其認(rèn)知發(fā)展理論中的感知運(yùn)動(dòng)（0—2 歲）、前運(yùn)算（2—7 歲）、具體運(yùn)算（7—11 歲）、形式運(yùn)算（11—16 歲）階段相匹配。上述理論呈現(xiàn)出“測(cè)量”與“具體運(yùn)算”之間緊密的聯(lián)動(dòng)性。具體而言，測(cè)量物體的“形”，然后用“數(shù)”或“數(shù)的運(yùn)算結(jié)果”表示形的某個(gè)屬性的大小。測(cè)量是用單位數(shù)值化的過(guò)程，是構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的橋梁，能有效補(bǔ)充數(shù)與運(yùn)算概念。

在本案例中，平行四邊形面積的推導(dǎo)過(guò)程應(yīng)當(dāng)充分落實(shí)測(cè)量與具體運(yùn)算的雙軌學(xué)習(xí)機(jī)制。既要有長(zhǎng)方形和平行四邊形面積用數(shù)來(lái)刻畫量的比較過(guò)程，也應(yīng)有平行四邊形面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形面積的公式推理過(guò)程?；谶@樣的想法，可以在新課的引入部分，出示一個(gè)可拉動(dòng)的平行四邊形，傾斜方向?yàn)樽?，讓學(xué)生指一指平行四邊形的面積。緊接著將這個(gè)平行四邊向右拉動(dòng)，形成一個(gè)“等底等鄰邊不等高”的平行四邊形，讓學(xué)生判斷哪個(gè)面積大。

測(cè)量的主旨是為了確定某個(gè)具有可測(cè)量性的量的大小。當(dāng)學(xué)生無(wú)法從視角空間直觀判斷兩個(gè)平行四邊形的實(shí)際大小時(shí)，往往會(huì)采用已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法和經(jīng)驗(yàn)嘗試解決面積大小問(wèn)題，思維水平也從直觀辨認(rèn)向探索特征邁進(jìn)，教師需要及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生思考往單位面積方向靠攏。因而上述“拉動(dòng)”過(guò)程，不僅僅是事實(shí)性學(xué)習(xí)材料的生成過(guò)程，更是以任務(wù)的方式驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)平行四邊形面積大小從數(shù)學(xué)直觀走向理性思考，打破視覺(jué)空間對(duì)學(xué)生思維的局限與干擾，由淺入深，突破意識(shí)表層，將學(xué)生帶入深刻而又理性思考的數(shù)學(xué)完美世界中。

三、演繹運(yùn)動(dòng)三性——方格的思維價(jià)值是度量

張奠宙先生認(rèn)為，對(duì)于面積本質(zhì)的真正理解，需要借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測(cè)度理論。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)意義上的面積測(cè)量，其實(shí)質(zhì)是要對(duì)某些平面圖形指定一個(gè)合適的數(shù)，而這個(gè)數(shù)表達(dá)的數(shù)學(xué)意義需要滿足運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特性，即正則性、有限可加性、運(yùn)動(dòng)不變性。在平面圖形面積領(lǐng)域，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)特性與單位面積計(jì)量密切相關(guān)，是刻畫圖形運(yùn)動(dòng)軌跡、度量圖形面積變化的重要依據(jù)與原理。

正則性：指存在度量單位并規(guī)定度量單位為“1”?！皵?shù)方格”是小學(xué)生面積學(xué)習(xí)中最早接觸的度量策略，在數(shù)方格算圖形面積之前，往往會(huì)統(tǒng)一計(jì)量單位——1 小格是1 平方厘米，這“賦予面積值為1”的過(guò)程便是正則性。正則性的學(xué)習(xí)主要集中在面積單位和長(zhǎng)方形（正方形）面積，因而平行四邊形面積一課重點(diǎn)不在于正則性的學(xué)習(xí)，而是將它以“尺子的身份”成為度量工具，并借助方格圖這一載體進(jìn)行數(shù)學(xué)合情推理，從而突出正則性的邏輯性、功能性，基于度量單位統(tǒng)一的本質(zhì)，幫助學(xué)生提供測(cè)量工具、簡(jiǎn)化測(cè)量難度、降低測(cè)量風(fēng)險(xiǎn)。

有限可加性：以面積為例，如作為度量單位的小正方形密鋪的結(jié)果即為圖形的面積。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)有“直角三角形切割與轉(zhuǎn)化”思想萌芽之后，可以放緩出示底×高的結(jié)構(gòu)表達(dá)式。通過(guò)觀察補(bǔ)全完整的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，橫向密鋪的一行有幾個(gè)，就代表有幾個(gè)面積單位，可以用字母a 表示，又因?yàn)槊恳恍卸加衋 個(gè)面積單位，共有幾行，可以用字母h 表示，所以由平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積可以表示為a×h。這個(gè)字母結(jié)構(gòu)表達(dá)式準(zhǔn)確度量了平行四邊形大小的同時(shí)，也真實(shí)反映了有限可加性的特征。

運(yùn)動(dòng)不變性：指面積單位的移動(dòng)會(huì)引起圖形形狀的變化，但面積單位個(gè)體總數(shù)守恒。運(yùn)動(dòng)不變性不僅僅存在于“直角三角形切割”中，同樣也存在于每一行“湊整1 個(gè)面積單位”的過(guò)程中，只是在便捷程度上有所差別。在圖形空間結(jié)構(gòu)表征方面，運(yùn)動(dòng)不變性的特征顯得尤為重要。以多元開放的方式打開學(xué)生空間想象的思維盒子，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生圖形空間想象與表征、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)、結(jié)構(gòu)化思考等能力的不斷提升和完善。

布魯納在《教育的過(guò)程》中寫道：任何課程的主題應(yīng)該由發(fā)展學(xué)生的基本理解能力而確定，這種能力可以通過(guò)掌握構(gòu)成某一主題的基本結(jié)構(gòu)的潛在原理而實(shí)現(xiàn)。正則性、有限可加性、運(yùn)動(dòng)不變性正是平行四邊形面積主題的數(shù)學(xué)原理，完善演繹了幾何特點(diǎn)。借助方格紙學(xué)生充分經(jīng)歷、驗(yàn)證平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化守恒原理，在計(jì)算擺放單位面積小正方形的過(guò)程中豐滿了對(duì)面積兩個(gè)關(guān)鍵量（底和高）的概念性理解，結(jié)合度量方法深刻領(lǐng)悟圖形經(jīng)過(guò)幾何變換前后的度量變化，兩個(gè)量之間的某些變化關(guān)系，開啟直觀描述向形式演繹過(guò)渡的進(jìn)程，強(qiáng)化了對(duì)面積概念本質(zhì)和轉(zhuǎn)化意識(shí)能力等空間觀念的培養(yǎng)。

四、滲透出入相補(bǔ)——開放的多元形式是度量

出入相補(bǔ)（又稱以盈補(bǔ)虛）原理，最早由三國(guó)時(shí)代魏國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建，它是指一個(gè)幾何圖形（平面或立體）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變。平行四邊形的出入相補(bǔ)大致有六種方法，如下圖所示。

直角三角形的割補(bǔ)只是最基礎(chǔ)的一種，而其他幾種相補(bǔ)法則更為抽象，只有牢牢抓住面積單位數(shù)量運(yùn)動(dòng)不變性和有限可加性等特點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形面積相補(bǔ)不同類型的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，從更整體、全景的視角認(rèn)清平行四邊形面積變化的本質(zhì)，不斷地向單位面積守恒規(guī)律邁進(jìn)，從多樣復(fù)雜的現(xiàn)象中看清其本質(zhì)，感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約，并在探索的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、求真、理性的學(xué)習(xí)態(tài)度，進(jìn)一步上升到數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)習(xí)策略層面的討論，才能使學(xué)生所獲得的轉(zhuǎn)化方法不再是零散、孤立的碎片化結(jié)論，而是更加上位的、具有遷移類推的一般化思想。