文|陳 昱（特級教師）

計算教學的價值何在？我們一般認為計算教學有四個主要目標：算法掌握、算理理解、計算技能形成以及計算策略的選擇。如果以《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的理念來審視，筆者認為還有一點非常重要，那就是在落實以上四個主要目標的過程中實現(xiàn)以計算育人，即將計算教學指向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育和學生健康成長的滋養(yǎng)。而計算教學的實際狀況怎樣？其實存在諸多問題?，F(xiàn)以《100 以內(nèi)加減法》的教學為例來談一談。

一、計算教學存在的問題

1.有些計算教學停留于“會算”層面

筆者聽過一節(jié)《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》，由復習不進位加法導入，然后師生問答式推進筆算進位加法，很快就完成主體環(huán)節(jié)即例題的教學，得出進位加法的算法，隨即課堂進入較長時間的練習，學生參與度高，一節(jié)課下來大多數(shù)學生“算得又對又快”。

“會算”就可以了嗎？如果是這樣，買臺計算機就好了，機器比人厲害。計算教學之所以在人工智能飛速發(fā)展的信息時代仍然有其存在價值，絕不只是指向“會算”層面。比“會算”更重要的是理解算理，“滿十進一”不應(yīng)該只是存進學生大腦的一個程序，而應(yīng)該是學生深刻領(lǐng)悟的一個道理。只有理解基礎(chǔ)上的掌握才是牢固的。

2.有些計算教學淺浮于“計算”層面

很多計算課“眼里只有計算”，教加法就盯著加，教除法就只有除，而不能夠在知識上融會貫通。還以《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》為例，要做到融會貫通不僅僅是由不進位加向進位加螺旋上升，也不僅僅是從20 以內(nèi)進位加向100 以內(nèi)進位加遷移，更要關(guān)注運算對象即兩位數(shù)的特征。

我們知道，計算的基礎(chǔ)有兩個，一是深刻理解運算的含義，比如理解加法的含義，是合并，是計數(shù)單位的累加；二是深刻理解運算對象的含義，比如兩位數(shù)的含義，23 不僅表示23 個一，它還表示2 個十和3 個一。算法也好，算理也罷，都是以運算及運算對象的內(nèi)涵特征為基礎(chǔ)來構(gòu)建的。對算理的理解首先包括對運算對象的理解，缺乏理解運算對象的算理理解注定是膚淺的。

3.還有些計算教學局限于“教學”層面

正如前文所述，計算教學關(guān)注到了“算法、算理、算技、計算策略”就夠了嗎？如果這就夠了，未免太浪費計算課，因為它可以承載更多的價值。

回到《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》這節(jié)課，算法探究的過程中學生可以學會推理，感悟理性精神；算法多樣化的呈現(xiàn)中學生可以學會交流欣賞、認識他人和自我；算法優(yōu)化中學生可以學會比較、學會取舍；算式書寫中學生可以認識到簡化和規(guī)范化的作用，增進規(guī)則意識；對加數(shù)和加法的深刻理解基礎(chǔ)上的計算操作過程可以幫助學生感悟到十進位值制計數(shù)法的特點和建立在此基礎(chǔ)上的加法運算的算法邏輯和算法之美；計算在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用則可以促進學生對算理的理解，還可以讓學生感受到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系和實際作用，等等。

像其他教學一樣，計算教學不僅僅是教學，更是教育。我們說“以數(shù)學育人”包括“以計算育人”。

二、以“畫計算”落實“計算育人”

“畫計算”作為筆者領(lǐng)銜的研究團隊堅持八年多的教學探索，是在計算教學中引導學生畫圖探究算法、表征算理，也就是把計算的推理過程與結(jié)果畫出來。新課標凸顯“素養(yǎng)為綱、綜合育人、實踐育人”的理念，“畫計算”正好契合其“計算育人”的價值取向。

“畫計算”其實并不難，只要能處理好以下四對關(guān)系。

1.“畫計算”與“畫數(shù)”：體現(xiàn)數(shù)與運算的一致性

任何運算法則及其道理的基礎(chǔ)都是運算對象的特征，比如小學階段數(shù)的運算，無論整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，都是計數(shù)單位的累計，所以其加減法計算的法則都有“相同單位才能相加減”的規(guī)定，于是有了“相同數(shù)位對齊”“小數(shù)點對齊”“分母相同”諸規(guī)則，追根究底指向的是數(shù)概念的內(nèi)涵。

因此，“畫計算”的關(guān)鍵是“畫數(shù)”，而“畫數(shù)”的前提是“懂數(shù)”。筆者曾面對從未接觸過“畫數(shù)學”的二年級學生執(zhí)教過一節(jié)《畫加法》。

師：（指5+7，23+18）請觀察加法算式，加法是把什么加起來？

生：加數(shù)（數(shù)）。

師：要想畫好加法，得先懂這些加數(shù)，請說一說5 表示什么意思？

生：5 就是5 個一。

師：畫出你心目中的5 和7。

師：“+”是什么意思？

生：是把兩個數(shù)合起來的意思。

師：5 和7 合起來是多少？

生：12。

師：數(shù)和數(shù)相加，和還是一個數(shù)。你懂12 嗎？

生：12 就是12 個一。

師：（指5 和7 圖）真正懂12的人不但會看出12 與5、7 的共同點，還會看出它們的不同點。

生：12 表示1 個十和2 個一。

師：你是怎么想到的？

生：12 與5、7 不一樣，5、7 是一位數(shù)，而12 是兩位數(shù)，多了一個十位。

生：12 是個兩位數(shù)，個位上的2 表示2 個一，十位上的1 表示1個十。

師：你能看出1 個十和2 個一嗎？你可以圈一圈、畫一畫，讓別人也看懂嗎？

（學生圈畫，指名展評，如圖1）

圖1

師：這樣一圈，把10 個一換成了1 個十，這就是“滿十進一”。我們畫出了5+7 的過程和結(jié)果，那23+18 呢？你懂23 和18 嗎？

生：23 表示2 個十和3 個一。

生：18 表示1 個十和8 個一。

師：你會畫23+18 的過程和結(jié)果嗎？試一試！

（學生畫圖表征，教師選擇典型作品展評、改進，如圖2）

圖2

不難看出在以上教學中，“懂數(shù)——畫數(shù)——畫計算”一脈相承，環(huán)環(huán)相扣，教學行為指向的是數(shù)學理解，理解數(shù)和計數(shù)法，理解運算和運算法則。有了這樣的學習，學生會感悟到數(shù)與運算的一致性：“滿十進一”不僅僅是運算法則，也是計數(shù)法則；之所以加法計算時要“滿十進一”，是因為計數(shù)時是“滿十進一”的。

2.算法探究與算理理解：指向運算能力的培育

運算能力是新課標中數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，怎樣培養(yǎng)學生的運算能力？除了“明晰運算的對象和意義”，還需要“理解算法與算理之間的關(guān)系”。

上例《畫加法》是在學生已經(jīng)會算時教學的，意在畫圖表征其算理，這是“畫計算”的一種情況；另一種情況，是在學生不會計算的時候畫圖探究算法，比如筆者面向有“畫數(shù)學”基礎(chǔ)的二年級學生執(zhí)教的另一節(jié)課《畫減法》。

師：92-38 你會算嗎？（停頓）怎么了？有困難嗎？

生：個位不夠減，怎么辦？

師：看來這與上節(jié)課學習的減法不太一樣，該怎么算呢？今天不巧，咱們都沒有帶小棒和計數(shù)器，不能擺一擺、撥一撥了……

生：我們還可以畫圖！

師：那就請不會算的同學畫圖幫助計算，會算的同學畫圖說明自己是怎么算的。

（學生畫圖，教師巡輔，選取典型作品展評，出示圖3）

圖3

生1：（邊指邊說）我先畫92，減38，3 個十減去，2 不能減8，就從剩下的十里拿出1 個十，把它變成10 個一，加上2 個一，就是12 個一，12 減8 剩下4 個一；這樣一共還剩64，所以92-38=64。

生2：這個方法很好，但多畫了1 個十，92 是9 個十和2 個一，他畫了10 個十，結(jié)果應(yīng)該是54。

（生1 改進作品）

師：（出示圖4、5）仔細觀察，與上一幅作品比一比，有什么發(fā)現(xiàn)？和同桌說一說。

圖4

圖5

生：它們都是拿出1 個十，變成10 個一，個位就夠減了！

生：比上一幅多了一個豎式。

師：是呀，仔細觀察，豎式與圖畫之間有沒有聯(lián)系？

生：豎式和圖是一個意思。

師：你的意思是豎式與圖畫是可以對應(yīng)起來的？

生：是的，92 是9 個十和2 個一；減38，先算個位，2-8 不夠，就從9 個十里拿出1 個十給個位，這時個位變成12，12-8=4；再算十位，9 個十減去3 個十是6 個十，剛才拿走了1 個十，所以還剩5個十；一共就是54。

師：說得真好！個位不夠減，從十位借1 個十就夠減了。為了記住十位已經(jīng)借走了1 個十，就在9 上面作個標記（板書豎式并添上點），這樣算起來就不容易出錯。

生：這個點就好像是借別人錢，打個借條。

師：這個比方好！

在上例中，畫圖不只是表征的工具，可以把心里的思路、想法表達出來，還是計算的工具，能夠幫助學生找到計算的方法。筆者在日常教學中常常會碰到學生自主運用畫圖幫助計算的案例：圖6是一個沒有學習過“畫計算”但有“畫思路”等畫圖經(jīng)驗的二年級學生的作品，他在畫圖解決問題的過程中遇到?jīng)]有學過的42÷3，想到用畫格子圖來得出結(jié)果；類似的計算96÷3，也是學生在解決問題時遇到但未學習過的，圖7、8是有“畫計算”基礎(chǔ)的學生作品，他們的方法顯然比圖6 思維層次更高，也就是會從被除數(shù)的組成視角去探索算法，更能凸顯學生對“數(shù)”“計算”的理解深度。

圖6

圖7

圖8

當然，“畫計算”分為“算法探究”與“算理表征”只是一個大致的說法，是為了研究方便。其實兩者是密不可分的，算法探究里自然有對算理的理解，算理表征同時也是對算法的呈現(xiàn)。理解兩者之間的關(guān)系有助于運算能力的形成。

3.學具操作與知識內(nèi)化：搭建思維橋梁，促進思維進階

“兒童的智慧在他的手指尖上”，畫圖是手指尖上的學習，學具操作也是。筆者聽過很多學具操作的數(shù)學課，有的很好，有的則是表面熱鬧大于實際效果。這些課堂有個突出的問題，即操作與數(shù)學是脫節(jié)的，學生參與了操作，卻鮮有數(shù)學思考，他們沒有在學具操作與數(shù)學理解之間建立聯(lián)系，也就是沒有在手指尖上生成智慧，沒有完成知識的內(nèi)化。這個問題需要在數(shù)學課上得到解決。

以《兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法》為例，怎樣把學生擺小棒、撥珠子的操作活動與豎式筆算勾連起來呢？學具操作屬于動作表征，豎式筆算屬于符號表征，兩者之間可以建立聯(lián)系，比如邊操作邊進行豎式筆算，使之對應(yīng)起來。但是實際教學中要實現(xiàn)以上構(gòu)想往往是困難的，原因何在？其一，學具操作是動態(tài)過程，不容易被學生捕捉和把握；其二，學具操作是形象的、直觀的，而豎式是抽象的，兩者要由此達彼需要時間在心理上完成抽象，這是思維進階的過程，并非想象中那樣容易。

如果兩者之間有一個媒介、搭建一座橋梁呢？畫圖就是這樣的媒介和橋梁。我們來看這節(jié)課的一個片斷：

師：誰是擺小棒幫助計算45-17 的？你是怎么擺、怎么算的？

（學生實物展臺前邊擺邊說）

師：看懂了嗎？他是怎么做的？

（集體回憶擺算過程，教師動態(tài)呈現(xiàn)小棒圖，同步呈現(xiàn)豎式，介紹和強調(diào)退位點，如圖9）

圖9

師：誰是選擇撥珠子幫助計算的？請一位同學來撥一撥、說一說。

（指名上臺邊撥邊說）

師：他又是怎么算的？同桌互相說一說。

（教師動態(tài)呈現(xiàn)珠子圖，同步呈現(xiàn)豎式，同桌互說撥算過程，如圖10）

圖10

以上教學片斷中的“小棒圖”和“珠子圖”，是對擺小棒和撥珠子操作的一種畫圖記錄，它們的作用非常明顯，具體說有兩個方面：其一，將動態(tài)的操作靜態(tài)化，便于學生觀察、理解、分析和把握，給予學生實現(xiàn)數(shù)學理解的抓手；其二，將具象的學具操作半抽象化，為接下來抽象到豎式符號做好鋪墊，為學生搭建完成數(shù)學抽象的階梯。如此，學生經(jīng)歷“動作-圖畫-符號”的抽象過程，將數(shù)學理解鏈接到學具操作上，完成思維進階。

4.圖畫與算式：鼓勵多元表達，注重算法優(yōu)化

上一個片斷中已經(jīng)有“小棒圖”“珠子圖”與“豎式”的同步呈現(xiàn)和對應(yīng)勾連，同一節(jié)課中，還有畫圖幫助計算的學生圖畫作品（如圖11～13）與豎式的聯(lián)系。

圖11

圖12

圖13

算式與圖畫的對應(yīng)在《畫加法》一課中也有鮮明體現(xiàn)，教學片斷如下：

師：現(xiàn)在你們會畫加法了，接下來玩?zhèn)€游戲！三人小組一人說計算過程，一人列豎式，一人畫圖，同步完成一道加法計算：23+18。

（學生小組活動，教師巡視，請一組學生上臺匯報）

師：通過游戲你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)畫圖與列豎式的步驟和意思一樣，只是方法不一樣。

生：畫圖是在說明算式，列式是在記錄畫圖。

師：是啊，原來這樣的圖與式是可以對應(yīng)起來的，都可以看成對計算過程和結(jié)果的記錄。

學生只有對圖與式的緊密聯(lián)系有著較為深刻的認識，才能真正理解畫圖及操作的意義，才能真正理解計算的算理。在圖畫與算式的關(guān)系問題上，經(jīng)常出現(xiàn)一種誤解，即認為畫圖表征是比較“低級”的，而符號表征比較“高級”，因此有人認為“已經(jīng)會列式計算了就沒有必要再畫圖”。誠然，如果從知識的抽象程度來看，無疑符號表征的算式要比圖畫表征的示意圖程度更高，但是，如果我們從多元表征的視角來看，情況就不一樣了，動作、圖畫、言語、符號等表征形式是等量齊觀的，在數(shù)學上可以被看作不同的語言，而在不同語言之間能否相互轉(zhuǎn)換是判定理解與否和理解程度的一個指標。從這個意義上說，學生會列式計算以后，還應(yīng)該會畫圖解釋、會操作演示、會言語說明。教師需要有意識地引導學生多元表征，從而促進更為深刻和牢固的理解。

講到算式與圖畫的對應(yīng)，其實還隱含著另一對關(guān)系，即畫法與算法。很顯然，兩者并不等同。算法是計算的方法，畫法是對算法的圖畫表征方法，算法更為本質(zhì)，相同的算法可以有不同的畫法，不同的算法也可以采用相同的畫法。

以畫80-23 為例，圖14～19是學生作品，從算法上可以粗略地分為兩個水平：圖14～16 為水平一，屬于“點數(shù)（shǔ）”，從80 或30 個一里減去23 個一；圖17～19 為水平二，屬于“退十當一”，從8 個十里拿出1 個十變成10個一，再從7 個十里減去2 個十，從10 個一里減去3 個一。同為“點數(shù)”算法，圖14、15、16 的畫法各不相同；同為“退一當十”算法，圖17、18、19 的畫法也各不相同。我們鼓勵學生用自己的方法畫計算，允許多元表征和多樣表達；我們引導學生在比較中深刻認識自己和他人的方法，倡導算法優(yōu)化，不斷提升數(shù)學思維和理解的水平。在這個意義上，我們其實是在計算教學中盡量做到“因材施教”，面向每一位學生，發(fā)展每一位學生。

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

除了以上四對關(guān)系的妥善處理，“畫計算”課堂教學還特別強調(diào)：大環(huán)節(jié)，小容量，低結(jié)構(gòu)，高思維。“大環(huán)節(jié)”往往與“大問題”“大觀念”相聯(lián)系，在教學活動設(shè)計上強調(diào)目標導向和任務(wù)驅(qū)動；“小容量”才能留有“大空間”供學生充分活動、交流和思考；“低結(jié)構(gòu)”可盡量避免預設(shè)的過于精細繁雜，也意味著較低的課堂控制；以上三點最終將保障數(shù)學課堂的“高思維”，指向深度學習和核心素養(yǎng)。