楊建新

一元二次不等式是高考數(shù)學中的重要知識點，我們有必要加強對其難點的突破，以鞏固基礎(chǔ)知識并提高對所學數(shù)學知識和方法的靈活運用能力。

一、課程導入，創(chuàng)設(shè)教學情境（溫故知新）

師：同學們，我們剛剛學習了“一元一次不等式”，今天，我們嘗試將所學的知識應(yīng)用到具體的例題中。

借助PPT，讓學生回顧所學內(nèi)容。

師：同學們，我們要如何求解一元二次不等式？

對于學生來說這道題非常簡單，因而學生會爭先恐后地舉手回答。

生1：通過移項，可以得到x2＞1，故x＞1或者是x＜-1。

師：同學們，你們說這位同學的回答正確嗎？

生2：正確。因為將其因式分解可得（x-1）（x+1）＞0，因此可以得到方程組

x-1>0x+1>0或x-1<0x+1<0

最終可以得到x＞1或者是x＜-1。

師：因式分解可以將二次式轉(zhuǎn)化為兩個一次式的乘積，通過實施降次的操作，將高次項變成低次項，使得問題更加熟悉和易于處理。根據(jù)實數(shù)乘法的符號法則，我們可以將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為兩個一元一次不等式組。這種代數(shù)方法不僅有助于解決一元二次不等式，還為解決更復雜的高次不等式問題奠定了基礎(chǔ)。

（設(shè)計意圖：通過啟發(fā)和引導，幫助學生從函數(shù)的視角理解和處理一元二次不等式。）

在教學中，我們應(yīng)以批判的眼光審視教材，并以開闊的視野來分析教材。在溫故階段，教師需要綜合思考與學生的認知能力、生活經(jīng)驗、學科思維特點和技能相適應(yīng)的要求，以確保學生能夠通過自身經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。

因此，在教學設(shè)計中，我們可以通過情境引入環(huán)節(jié)提出以下問題：

習題1：一家糧食加工廠引進一條生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線的大米產(chǎn)量為x噸。由于設(shè)備成本、人工費用和運輸方式等因素的不同，每噸大米的收益與產(chǎn)量之間存在以下關(guān)系：

師：同學們，如果你是這家糧食加工廠的管理人員，你如何保障大米產(chǎn)量在可盈利的范圍內(nèi)？

（設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學抽象能力以及對該知識進行探究的興趣。）

二、啟發(fā)思考，深入探究

通過PPT向?qū)W生展示例題即ax2+bx+c>0的解為x|-3

師：同學們，現(xiàn)在我們以小組的方式展開討論，最后我們選出小組代表，展示本組的解題思路。

小組1：我們小組討論認為可以先分別求解出a、b和c，根據(jù)題干，可以知道-3和4為方程ax2+bx+c>0的解，由此可以推導出9a-3b+c=0 （1）和16a+4b+c=0 （2），但是按照這一思路，我們無法推導出結(jié)果，故陷入了無解當中，目前我們還在討論。

師：小組1提出了一種思路，但是不夠完善，還有哪組同學有新的想法呢？

小組2：我們小組討論可以使用對稱軸。根據(jù)對稱軸方程，可以獲得 = （3），在小組1提出的方程（1）和方程（2）的基礎(chǔ)上，與方程（3）進行聯(lián)立，可以求出a、b和c對應(yīng)的數(shù)值。

師：第二小組同學結(jié)合建模思想，通過聯(lián)立方程組的方式，將a、b和c對應(yīng)的數(shù)值求解出來，雖然理論上是可行的，但是求解難度非常復雜，很容易求解錯誤，哪個小組還有比較簡化的思路呢？

小組3：我們可以采用韋達定理，這樣可以直接替代方程（1）和方程（2）。

師：你可以具體講解你們小組的思路嗎？

小組3：按照韋達定理，將方程（1）和方程（2）改寫為-3+4= ，-3×4= ，與方程（3）進行聯(lián)立，可以直接求解出來。

師：同學們，你們觀察一下，剛才小組1、小組2和小組3的同學采用的方法有什么共性，哪個小組還有其他的思路嗎？

小組4：小組1、小組2和小組3的同學都采用了先求解出a、b和c數(shù)值的思路，但是我們小組認為可以直接使用韋達定理來求解。我們小組是這樣討論的，按照韋達定理，可以得到方程-3×4=? （4）和方程-3×4=? （5），由此可以得出b=-a，c=-12a，將其代入不等式bx2+2ac-c-3b<0中，可以得到新的方程-ax2+2ax+15a＜0，結(jié)合圖像，可以得到a＜0，當兩邊同時除以-a后，進而得出x2-2x-15＜0，故可以得到

-3＜x＜5。

此時其他小組的成員對這一解法表示感嘆。

我也沒有想到小組4可以有這樣的解法，他們打破了常規(guī)思維（單純求解a、b和c的數(shù)值），解出了不等式。

師：若是將方程（4）和方程（5）進行聯(lián)立，求解的結(jié)論不使用a表示b和c，而是利用b表示a與c或者是使用c表示a和b，是否可以得出類似的解呢？

于是，學生展開了激烈的討論。

生2：我認為可以按照對稱軸方程，表示出b，即 = 。

生3：我認為可以通過-3×4= 或者對稱軸方程來確定c。

師（非常激動）：同學們，你們真棒，可以通過舉一反三的方式推導出不同字母的表示方法。

三、自主探究，進行質(zhì)疑

師：同學們，我們按照剛才兩位同學提出的解題方法嘗試求解，看能否得出結(jié)論。

在我提出后，學生積極解題，但是我發(fā)現(xiàn)大家都表現(xiàn)出疑惑的神情，我問道：你們得到結(jié)果了嗎？

生2：老師，我按照自己的解題思路，無法得到具體的答案，我不知道哪里出現(xiàn)問題了，非常困擾。

生3：老師，我求出來了，但是我不知道是否正確。

師：那你就勇敢地說出自己的解題思路，我們大家一起來判斷是否正確。

在我的鼓勵下，生3分享了自己的解題方法：

由題意可知-3和4是方程ax2+bx+c=0的解，將公式ax2+bx+c因式分解，可以得到（x+3）（x-4）＞0，其解集為x|-3

由題可知該圖像開口方向朝下，因此需要增加一個負號，則為-（x+3）（x-4）＞0，后可以得出a=-1、b=1和c=12。

師：大家覺得生3的解題思路是什么呢？為什么前兩個方程組無法解出，但是現(xiàn)在這種可以解答呢？有同學知道什么原因嗎？

問題提出來，教室里面一片安靜。

為了更好地引導學生，我提出：生3提出ax2+bx+c>0，并將其分解成-（x+3）（x-4）＞0，你們覺得這種思路是否正確呢？

通過引導，有學生舉手回答：老師，我知道了，生3的說法并不完全正確，我認為這里可以寫成-k（x+3）（x-4）＞0。

我接著問：那k的取值范圍是什么？

生4：k應(yīng)該是大于0的。

師：說得很好，請坐。我們在之前的等差數(shù)列中也講過類似的方法，我們一起回顧一下。

于是我借助PPT給學生展示。

數(shù)列an、bn為等差數(shù)列，an的前n項和為Sn，bn的前n項和為Tn，其中 = 。

生5：老師，因為Sn與Tn為缺常數(shù)c關(guān)于n的二次函數(shù)，故設(shè)Sn為kn（7n+2）；Tn為kn（n+3）。

師：非常正確。

四、教學反思，實現(xiàn)深度學習

教學設(shè)計是教師通過自身技能對教學內(nèi)容進行規(guī)劃和思考的過程。教學設(shè)計是一個動態(tài)的過程，需要教師不斷探索、思考、學習、實踐和總結(jié)，以學生為主體設(shè)計符合學情的教學活動，以此來激發(fā)學生主動探究的積極性，使學生通過新問題、新思維、新質(zhì)疑來活躍思維。

教師在具體教學中應(yīng)將發(fā)展學生的認知能力作為教學的最大目標，鼓勵學生主動獲取知識，并在不斷質(zhì)疑和反思的基礎(chǔ)上實現(xiàn)知識的建構(gòu)和生成。

在本節(jié)課的設(shè)計中，通過一道看似普通的習題研究引入，低起點但高立意，激發(fā)學生的學習動機，通過理性思維延伸教學，貫穿自主探究的主線，體現(xiàn)了以思維為導向的教學觀，促進了學生深度探究，并進一步提升了學生的數(shù)學素養(yǎng)和思維水平。只有將課堂真正還給學生，給予學生充分的主動權(quán)，才能讓課堂煥發(fā)活力。在課堂教學中，教師以學生的思維為起點，通過有意識、有目的地引導和激勵學生，調(diào)動學生的積極性，讓學生通過多種感官參與學習活動，關(guān)注學生的思維障礙和質(zhì)疑問題，培養(yǎng)學生積極思維，并提升課堂的有效性。

啟發(fā)性質(zhì)疑是教師智慧的體現(xiàn)，也是質(zhì)疑式教學的主要特征之一。在教學過程中，通過一個提示語或一個問題，引發(fā)學生的質(zhì)疑和反思，促使學生主動探究，并通過再探究獲得新的認識，使原有思維具有更強的延展性，讓經(jīng)驗煥發(fā)新的生命。在本案例中，教師通過不斷提問引發(fā)學生的質(zhì)疑和反思，讓學生自然地產(chǎn)生一個又一個想法，促使學生提出困惑，并激發(fā)學生的熱情和動力，展開探究和討論，推動學習的深入，并深化學生的思維品質(zhì)。

在高中數(shù)學課堂教學中，有效的教學形式應(yīng)包括精講、師生問答、學生自主探究、合作交流和模仿訓練等教學活動，并按比例合理分配。因此，提出了問題驅(qū)動下的高中數(shù)學課堂教學形態(tài)的假設(shè)。在這種教學形態(tài)中，筆者通過引導學生圍繞一系列設(shè)計的問題進行獨立思考和合作交流，使學生經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，建構(gòu)知識并完善認知結(jié)構(gòu)。具體的教學流程如下：

1.復習回顧：教師對學生已學過的知識進行復習，為學生解決問題奠定基礎(chǔ)。

2.提出問題：教師根據(jù)學生自主探究新問題所遇到的困難點、疑惑點和分歧點設(shè)計問題鏈，幫助學生進行自主探究。

3.自主探究：學生獨立完成問題的探究，可以查閱課本和其他資料，提出解決問題的方案。鼓勵開放性思考和創(chuàng)造性解決問題。

4.合作交流：學生表述觀點并互相評價，進行辯論交流。

5.總結(jié)歸納：教師根據(jù)學生自主探究和合作交流的結(jié)果，讓學生進行小組交流，并進行概括總結(jié)。教師也可以補充遺漏點。

6.反饋練習：教師設(shè)計適當?shù)念}組來檢測學生對一般結(jié)論的掌握程度和對問題本質(zhì)的深刻理解程度。在本次教學設(shè)計中，主要是讓學生總結(jié)例題思考過程，理解解題思路和原因。只有掌握思考本質(zhì)，才能實現(xiàn)舉一反三，提升學生的思考能力和解題能力。

因此，本次教學中所呈現(xiàn)的教學形態(tài)充分考慮了學生的思維和學習積極性，引導學生參與到探究活動中，培養(yǎng)學生的問題解決能力和合作能力。通過課堂中的精講、問答、自主探究、合作交流和模仿訓練等多種教學活動，學生能夠更好地理解數(shù)學知識和掌握解決問題的方法。

（作者單位：甘肅省禮縣第二中學）

編輯：曾彥慧