?安徽省臨泉田家炳實驗中學(xué) 石朝陽

定義是相關(guān)知識的理論基礎(chǔ)和精神靈魂，借助定義，回歸本質(zhì)，往往是破解問題的一個基本切入點.圓錐曲線中的拋物線，其定義很好地反映了曲線的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)與規(guī)律.回歸拋物線定義，應(yīng)用拋物線定義，實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離之間的合理轉(zhuǎn)化，即實現(xiàn)“兩點距離”和“點線距離”之間的合理轉(zhuǎn)化，是破解拋物線問題中非常常用的一個技巧方法.

1 線段長度的計算

例1[2021屆廣東省(新高考)高三衛(wèi)冕聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16]已知拋物線x2=8y的焦點為F，準線為l，點P是l上一點，過點P作PF的垂線交x軸的正半軸于點A，AF交拋物線于點B，PB與y軸平行，則|FA|=.

分析：作出對應(yīng)的圖形，通過輔助線的構(gòu)建，借助拋物線定義的轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何知識，利用角的等價轉(zhuǎn)化確定直角三角形的性質(zhì)，并利用平行關(guān)系以及梯形中位線的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，巧妙求解.

解析：如圖1，由題意可得F(0，2)，設(shè)直線l與y軸的交點為D，可得|OD|=|OF|=2.過點A作直線l的垂線，垂足為E.

圖1

根據(jù)拋物線的定義，可得|BF|=|BP|，從而∠BFP=∠BPF.

又PA⊥PF，則有∠BFP+∠BAP=∠BPF+∠BPA，可得∠BAP=∠BPA，從而|BA|=|BP|.

易知PB是Rt△APF斜邊AF上的中線，可得B是AF的中點.又PB與y軸平行，可得P是DE的中點.所以|FA|=2|PB|=|DF|+|OD|=4+2=6.

故填答案：6.

點評：合理借助拋物線的定義，實現(xiàn)線段長度之間的轉(zhuǎn)化，利用平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合，直觀想象，可以很好地加以分析與處理.在實際利用拋物線定義時，為了實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離之間的轉(zhuǎn)化，經(jīng)常要通過輔助線的構(gòu)建來達到目的.

2 參數(shù)取值的求解

例2[2021屆廣東省佛山市高中教學(xué)質(zhì)量檢測(二)高三數(shù)學(xué)試卷·15]已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，K為C的準線l與x軸的交點，過點K且傾斜角為45°的直線與C僅有一個公共點P(3，t)，則t=.

分析：根據(jù)題目條件作出對應(yīng)的圖形，過切點作直線垂直于拋物線的準線，利用三角形形狀的判定，設(shè)出對應(yīng)的邊長，并結(jié)合拋物線的定義以及題目條件，利用余弦定理在△PKF中建立關(guān)系式，進而確定兩參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合題目條件中切點的坐標信息加以綜合，進而確定對應(yīng)的參數(shù)值.

圖2

故填答案：6.

點評：利用平面幾何法破解與拋物線有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常通過拋物線的定義巧妙轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，直觀想象，有機“串聯(lián)”起解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關(guān)知識，結(jié)合平面幾何圖形與性質(zhì)，綜合相關(guān)知識來解決問題.

3 最值問題的確定

例3(2021屆山東省濟南市高三十一校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·15)已知點M(-4，-2)，拋物線x2=4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PQ⊥l，點Q為垂足，過P作拋物線的切線l1，l1與l交于點R，則|QR|+|MR|的最小值為.

分析：根據(jù)題目條件，設(shè)出點P的坐標，進而確定相關(guān)點的坐標，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩直線垂直的斜率關(guān)系來確定直線的垂直問題，利用拋物線的定義以及平面幾何的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合來確定線段長度的和式的最值問題.

圖3

故填答案：5.

點評：確定拋物線上一些相關(guān)線段長度代數(shù)式的最值問題時，經(jīng)常借助拋物線的定義，把對應(yīng)的線段加以合理轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離之間的轉(zhuǎn)化，并與其他線段加以有機融合，或數(shù)形結(jié)合，或利用幾何意義，或不等式放縮，直觀想象，邏輯推理，巧妙確定.

4 取值范圍中的應(yīng)用

分析：借助圖形直觀，通過輔助線的構(gòu)建，結(jié)合拋物線定義加以轉(zhuǎn)化，合理借助梯形性質(zhì)，利用余弦定理建立關(guān)系式，結(jié)合基本不等式加以合理放縮，進而建立相應(yīng)的不等式，得以判斷對應(yīng)線段比值的取值范圍問題.

解析：如圖4，設(shè)|AF|=a，|BF|=b，過點A，B分別作拋物線準線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P.

圖4

根據(jù)拋物線定義，可得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|.

所以，在梯形ABPQ中，有2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

故填答案：(0，1].

點評：巧妙融合拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式以及余弦定理等相關(guān)數(shù)學(xué)知識，借助拋物線的定義加以合理轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，合理放縮，為線段比值取值范圍的確定提供條件.

利用拋物線定義，往往能達到回歸問題本質(zhì)的目的.借助合理構(gòu)建“兩點距離”和“點線距離”之間的關(guān)系，特別是在破解一些拋物線中與焦點有關(guān)的線段長度問題時有奇效，實現(xiàn)有機轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用.在有關(guān)數(shù)學(xué)問題的實際應(yīng)用時，借助定義，合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，全面融合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).