?安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué) 石朝陽(yáng)
定義是相關(guān)知識(shí)的理論基礎(chǔ)和精神靈魂,借助定義,回歸本質(zhì),往往是破解問(wèn)題的一個(gè)基本切入點(diǎn).圓錐曲線中的拋物線,其定義很好地反映了曲線的本質(zhì)特征,揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)與規(guī)律.回歸拋物線定義,應(yīng)用拋物線定義,實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之間的合理轉(zhuǎn)化,即實(shí)現(xiàn)“兩點(diǎn)距離”和“點(diǎn)線距離”之間的合理轉(zhuǎn)化,是破解拋物線問(wèn)題中非常常用的一個(gè)技巧方法.
例1[2021屆廣東省(新高考)高三衛(wèi)冕聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16]已知拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P是l上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF的垂線交x軸的正半軸于點(diǎn)A,AF交拋物線于點(diǎn)B,PB與y軸平行,則|FA|=.
分析:作出對(duì)應(yīng)的圖形,通過(guò)輔助線的構(gòu)建,借助拋物線定義的轉(zhuǎn)化,結(jié)合平面幾何知識(shí),利用角的等價(jià)轉(zhuǎn)化確定直角三角形的性質(zhì),并利用平行關(guān)系以及梯形中位線的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合,巧妙求解.
解析:如圖1,由題意可得F(0,2),設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為D,可得|OD|=|OF|=2.過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線,垂足為E.
圖1
根據(jù)拋物線的定義,可得|BF|=|BP|,從而∠BFP=∠BPF.
又PA⊥PF,則有∠BFP+∠BAP=∠BPF+∠BPA,可得∠BAP=∠BPA,從而|BA|=|BP|.
易知PB是Rt△APF斜邊AF上的中線,可得B是AF的中點(diǎn).又PB與y軸平行,可得P是DE的中點(diǎn).所以|FA|=2|PB|=|DF|+|OD|=4+2=6.
故填答案:6.
點(diǎn)評(píng):合理借助拋物線的定義,實(shí)現(xiàn)線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)化,利用平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合,直觀想象,可以很好地加以分析與處理.在實(shí)際利用拋物線定義時(shí),為了實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之間的轉(zhuǎn)化,經(jīng)常要通過(guò)輔助線的構(gòu)建來(lái)達(dá)到目的.
例2[2021屆廣東省佛山市高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)高三數(shù)學(xué)試卷·15]已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,K為C的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)K且傾斜角為45°的直線與C僅有一個(gè)公共點(diǎn)P(3,t),則t=.
分析:根據(jù)題目條件作出對(duì)應(yīng)的圖形,過(guò)切點(diǎn)作直線垂直于拋物線的準(zhǔn)線,利用三角形形狀的判定,設(shè)出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),并結(jié)合拋物線的定義以及題目條件,利用余弦定理在△PKF中建立關(guān)系式,進(jìn)而確定兩參數(shù)之間的關(guān)系,結(jié)合題目條件中切點(diǎn)的坐標(biāo)信息加以綜合,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.
圖2
故填答案:6.
點(diǎn)評(píng):利用平面幾何法破解與拋物線有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常通過(guò)拋物線的定義巧妙轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合,直觀想象,有機(jī)“串聯(lián)”起解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí),結(jié)合平面幾何圖形與性質(zhì),綜合相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.
例3(2021屆山東省濟(jì)南市高三十一校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·15)已知點(diǎn)M(-4,-2),拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),過(guò)P作PQ⊥l,點(diǎn)Q為垂足,過(guò)P作拋物線的切線l1,l1與l交于點(diǎn)R,則|QR|+|MR|的最小值為.
分析:根據(jù)題目條件,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩直線垂直的斜率關(guān)系來(lái)確定直線的垂直問(wèn)題,利用拋物線的定義以及平面幾何的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合來(lái)確定線段長(zhǎng)度的和式的最值問(wèn)題.
圖3
故填答案:5.
點(diǎn)評(píng):確定拋物線上一些相關(guān)線段長(zhǎng)度代數(shù)式的最值問(wèn)題時(shí),經(jīng)常借助拋物線的定義,把對(duì)應(yīng)的線段加以合理轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之間的轉(zhuǎn)化,并與其他線段加以有機(jī)融合,或數(shù)形結(jié)合,或利用幾何意義,或不等式放縮,直觀想象,邏輯推理,巧妙確定.
分析:借助圖形直觀,通過(guò)輔助線的構(gòu)建,結(jié)合拋物線定義加以轉(zhuǎn)化,合理借助梯形性質(zhì),利用余弦定理建立關(guān)系式,結(jié)合基本不等式加以合理放縮,進(jìn)而建立相應(yīng)的不等式,得以判斷對(duì)應(yīng)線段比值的取值范圍問(wèn)題.
解析:如圖4,設(shè)|AF|=a,|BF|=b,過(guò)點(diǎn)A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線AQ,BP,垂足分別為Q,P.
圖4
根據(jù)拋物線定義,可得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
所以,在梯形ABPQ中,有2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
故填答案:(0,1].
點(diǎn)評(píng):巧妙融合拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式以及余弦定理等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),借助拋物線的定義加以合理轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合,合理放縮,為線段比值取值范圍的確定提供條件.
利用拋物線定義,往往能達(dá)到回歸問(wèn)題本質(zhì)的目的.借助合理構(gòu)建“兩點(diǎn)距離”和“點(diǎn)線距離”之間的關(guān)系,特別是在破解一些拋物線中與焦點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)有奇效,實(shí)現(xiàn)有機(jī)轉(zhuǎn)化,巧妙應(yīng)用.在有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用時(shí),借助定義,合理轉(zhuǎn)化,巧妙應(yīng)用,全面融合數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,養(yǎng)成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).