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        高考數(shù)學(xué)中的“本手”“妙手”“俗手”
        ——2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷分析

        2023-04-15 04:14:27湖北襄陽市第二中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年5期
        關(guān)鍵詞:運(yùn)算量小題導(dǎo)數(shù)

        ?湖北襄陽市第二中學(xué) 戴 輝

        作為“雙減”后的高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷,因其題型新、難度高、計算量大,充滿挑戰(zhàn)而久居熱搜.但這些“超難”的數(shù)學(xué)命題卻符合“雙減”背景下以能力立意的命題原則,符合新課標(biāo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方向,回歸數(shù)學(xué)基本定義,強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)思維解決問題,提升學(xué)生綜合素質(zhì),達(dá)到選拔人才的目的.

        1 重在“本手”之基礎(chǔ)能力考查

        試題回歸數(shù)學(xué)考綱本源,主要考查基本概念、常見方法、傳統(tǒng)考點(diǎn).三角函數(shù)部分主要考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)、解三角形(6,18);數(shù)列部分主要考查數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求通項、數(shù)列求和(17);立體幾何主要考查空間幾何體的位置關(guān)系、求角、求各種距離及八大定理(4,8,9,19);圓錐曲線主要考查求圓錐曲線的方程、定義、直線和曲線的位置關(guān)系(11,14,16,21);概率統(tǒng)計主要考查計數(shù)原理、條件概率、數(shù)字特征及統(tǒng)計分析(5,13,20);導(dǎo)數(shù)主要考查構(gòu)造函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(7,10,12,15,22).

        從學(xué)科整體意義和思想價值立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維和方法的掌握程度.

        回歸數(shù)學(xué)思想本源.試題考查綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想的能力,試卷貫穿對函數(shù)與方程思想(6,8,12,15,16,21)、數(shù)形結(jié)合思想(3,4,8,9,10,11,12,14,16,19,21,22)、分類討論思想(5,8,13,14,22)、化歸與整合思想(8,12,17,18,22)以及思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識等全方位的考查.

        重視數(shù)學(xué)抽象符號和數(shù)學(xué)推理的考查.數(shù)學(xué)符號是對數(shù)學(xué)問題的抽象和概括,提高數(shù)學(xué)抽象符號的理解運(yùn)算能力,才能加深對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解.第12題要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下,理解函數(shù)的奇偶性、對稱性、導(dǎo)數(shù)的概念以及它們之間的聯(lián)系,對數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高要求,對抽象數(shù)學(xué)符號思維的考查也很深入.第20題用條件概率證明也是較復(fù)雜的抽象字母的運(yùn)算,考查學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

        2 貴在“妙手”之命題“三增三減”

        2.1 一增“思考量”減“刷題量”

        根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和選拔功能的需要,試題的難度設(shè)計有層次性,在思維的靈活性和深刻性,方法的綜合性、探究性等方面科學(xué)把握試題的思維深度,要求學(xué)生具備解決較復(fù)雜問題的綜合素養(yǎng)和關(guān)鍵能力,體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)的選拔功能.

        第7題極具挑戰(zhàn)性.如果用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的思路求解,需要學(xué)生有很強(qiáng)的觀察能力和構(gòu)造函數(shù)的能力.如果用二項式定理展開式求解,也需要學(xué)生的觀察力和思維能力以及對放縮法和估算法的靈活運(yùn)用.如果用泰勒公式估算,要求學(xué)生深入鉆研課本上的習(xí)題并加以拓展或者有競賽功底.第12小題考查學(xué)生抽象思維能力,需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力,若缺乏對函數(shù)及導(dǎo)數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵的理解,則刷再多的題也是白搭.第14小題,要求學(xué)生寫出一條直線方程,為不同層次的考生給了不同層次的思維空間,對知識之間的聯(lián)系、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)形結(jié)合思想作了深入的考查,鼓勵學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析和解決問題,考查思維的靈活性和深刻性,具有很好的區(qū)分度.解答題17題把構(gòu)造數(shù)列、用疊乘法求通項和用裂項法求和數(shù)列的三個難點(diǎn)糅合在一起,每一步都需要學(xué)生思考透徹,形成閉環(huán)式知識系統(tǒng).解答題20題考查學(xué)生對條件概率定義的理解及代數(shù)的證明,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

        2.2 二增“新題型”減“套路題”

        試題突出對學(xué)科基本概念、基本原理的考查,強(qiáng)調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識系統(tǒng).多知識點(diǎn)綜合考查的題目增多.第12題對數(shù)學(xué)符號的理解、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、偶函數(shù)的定義、圖象的平移、函數(shù)圖象的對稱問題都作了深刻的考查,體現(xiàn)知識的相互交匯融合,要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)和綜合解題能力.第20題考查運(yùn)用條件概率的公式進(jìn)行證明,對數(shù)學(xué)抽象符號的理解及代數(shù)證明題有很高要求.第17題考查了構(gòu)造法求數(shù)列、疊乘法求通項、裂項求和,一道題把數(shù)列主要的知識揉在一起,強(qiáng)調(diào)知識的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生建立知識體系.第18題把倍角、半角公式與用正、余弦定理解三角形組合在一起,是一種全新組合.第19題一改傳統(tǒng)第一問用“八大定理”來證明線線、線面、面面的平行和垂直的關(guān)系,而是求點(diǎn)到面的距離,考查學(xué)生的應(yīng)變能力.第20題以現(xiàn)實(shí)生活中的醫(yī)療衛(wèi)生為例,關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)用,設(shè)計統(tǒng)計概率應(yīng)用題,考查學(xué)生對獨(dú)立性檢驗、條件概率定義的理解,考查代數(shù)證明,改變以往主要對運(yùn)算的考查,引導(dǎo)師生重視實(shí)驗和數(shù)學(xué)運(yùn)用,特別是回歸數(shù)學(xué)定義的考查,都是減少套路的新穎題型,極具創(chuàng)新.總之,每一道大題無論從知識的交叉考查力度、難易的坡度,還是試題的樣式都煥然一新.

        2.3 三增“重點(diǎn)內(nèi)容”減“面面俱到”

        從數(shù)學(xué)知識面上看,重點(diǎn)知識重點(diǎn)考.其中第7,10,12,15,22題全部考查導(dǎo)數(shù)知識,共計32分.高中導(dǎo)數(shù)內(nèi)容是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶,是整個微積分學(xué)中的基礎(chǔ)部分,也是最重要的部分,有助于考查學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力.第5,14,20題考查統(tǒng)計,計20分.在當(dāng)今信息時代,概率統(tǒng)計知識在科學(xué)研究、工程技術(shù)、人文社會科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)生活中的作用越來越重要,高中的概率與統(tǒng)計知識是大學(xué)學(xué)習(xí)概率論與統(tǒng)計論的基礎(chǔ).第11,14,16,21題考查解析幾何,計27分.考查了直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的知識,重點(diǎn)考查學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力.第16小題以橢圓為載體,考查解析幾何中的“設(shè)而不求”法以及橢圓的第一定義;用弦長公式,思路常規(guī),但運(yùn)算量大;如果用焦點(diǎn)弦坐標(biāo)公式,運(yùn)算量小,但思維靈活性高;用橢圓的焦點(diǎn)弦傾斜角公式來求是最快的,但只有那些特別善于鉆研的學(xué)生才知道這個公式.第4,8,9,19題考查立體幾何,計27分.重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力.第9題考查線線角及線面角,選取正方體的對角線以及對角面這些代表性的幾何元素,考查基本點(diǎn)、線、面的關(guān)系,八大定理的證明以及三種角的計算能力.

        3 規(guī)避“俗手”之妙招

        3.1 “運(yùn)算量大”的應(yīng)對妙招

        第7,8,11,12,15,16小題均涉及大量運(yùn)算,第21題連續(xù)兩問都需要大量計算.第11,16,21三道解析幾何題更是把運(yùn)算考到極致,運(yùn)算耗去太多時間,并且這三題有重復(fù)計算的嫌疑.比如第16題大部分學(xué)生只會想到用弦長公式求解,而用弦長公式就要求將直線與橢圓方程聯(lián)立再用韋達(dá)定理計算,這樣一個填空題就變成一道大題的運(yùn)算量,短時間內(nèi)根本無法算出,就算算出來了,也變相擠占了解其他題的時間;同時這個運(yùn)算和21題的直線和雙曲線方程聯(lián)立用韋達(dá)定理計算明顯是重復(fù)的.大多數(shù)學(xué)生做不完試卷.應(yīng)對大題妙招,首先預(yù)估計算量,選擇最優(yōu)解題法:轉(zhuǎn)化條件→選定主元→代入運(yùn)算.而每一步都需要掌握多種方法和技巧,練好本手,提高效率.應(yīng)對小題妙招,拓寬知識面,挖掘常見的二級結(jié)論.比如第16小題用焦點(diǎn)弦傾斜角公式最快.

        3.2 “坡度大辨識度小”的應(yīng)對妙招

        第7小題是導(dǎo)數(shù)壓軸題的難度,放在此位置,“坡度”有些陡.第8小題運(yùn)算量大.填空題基本沒有送分題.第17,18題,以往是“送分題”或分步送分,但今年考生得分要么零分,要么滿分.應(yīng)對妙招:全面理解,吃透原理,避免死記硬背、刷題突擊,提升分析推理能力以及靈活運(yùn)用多個知識點(diǎn)綜合解決問題能力.

        3.3 “難度大區(qū)分度小”的應(yīng)對妙招

        整個試卷逐題看,不是特別難,但是把較多中偏難題放在一起,感覺學(xué)了三年數(shù)學(xué)就像沒有學(xué)習(xí)一樣.應(yīng)對妙招是科學(xué)合理安排答題順序、培養(yǎng)應(yīng)考心態(tài).改變學(xué)習(xí)方式,不僅學(xué)會,更要會用;不僅要練,更會復(fù)盤,從多個角度分析思考問題.

        求木之長者必固其根本,欲流之遠(yuǎn)者必浚其泉源,練好本手、方得妙手.思維量大,僅僅靠“刷題”不行;運(yùn)算量大,盲目“刷題”亦不行.規(guī)避俗手方法:只有立足基本功,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),融會貫通,培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力、計算能力,提高空間想象能力,隨機(jī)應(yīng)變,夯實(shí)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的能力,轉(zhuǎn)變應(yīng)試思想,才是高考備考必須具備的新思路.

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