?武漢中學(xué) 馮愛(ài)龍

?武漢市第十四中學(xué) 張 禺

1 引言

2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷，作為“雙減”政策落地后的首屆高考試卷，讓很多一線教師和考生都感覺(jué)不適應(yīng).從試卷難度測(cè)評(píng)發(fā)現(xiàn)，低檔(A)、中檔(B)、高檔(C)題目配比由往年的6∶3∶1，調(diào)整為3∶6∶1，中檔題大幅度增加，使得試卷難度結(jié)構(gòu)由過(guò)去的“金字塔”型陡變?yōu)椤凹忓N形”，有人認(rèn)為這是新高考背景下最能有效區(qū)分“尖子生”和“疑似尖子生”的難度結(jié)構(gòu).試卷間接新增對(duì)心理素質(zhì)的考查，數(shù)列題作為第一道大題，就讓考生心理有點(diǎn)失衡，直觀感受是第一題就不容易，間接感受就是整套試題風(fēng)格與以往迥然不同.

試卷命制加強(qiáng)了教考銜接，注重素養(yǎng)立意，優(yōu)化試題設(shè)計(jì)，考查關(guān)鍵能力，緊扣核心素養(yǎng)，凸出價(jià)值導(dǎo)向，注重文化傳承，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，具有鮮明的導(dǎo)向性、實(shí)用性和選拔性，有助于引導(dǎo)高中教學(xué)依標(biāo)施教，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效，真正落實(shí)了“為黨育人、為國(guó)育才”的國(guó)家未來(lái)教育發(fā)展戰(zhàn)略.

2 試卷特色

2.1 關(guān)注核心素養(yǎng)，考查關(guān)鍵能力

例如，第7題難度較大，選拔功能非常好.學(xué)生發(fā)現(xiàn)平時(shí)常用的比較大小的方法不大管用，不是常規(guī)方法就能解決的.需要學(xué)生冷靜下來(lái)，觀察數(shù)據(jù)，探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律，從而尋找解題突破口.對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)處理、推理論證等素養(yǎng)和能力的要求很高！

A.a

C.c

分析：此題難度等級(jí)為C.先構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，再用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，兩兩比較確定a,b,c的大小.

當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)遞減.

令h(x)=ex(x2-1)+1，h′(x)=ex(x2+2x-1).

所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln 0.9，從而a>c.

綜上，c

點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)式的大小比較，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)比較.解題關(guān)鍵有三點(diǎn).一是會(huì)審題，比較后發(fā)現(xiàn)共性；二是巧構(gòu)造，構(gòu)造關(guān)聯(lián)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法或初等函數(shù)的單調(diào)性判斷；三是會(huì)放縮，找準(zhǔn)比較依據(jù)，兩兩比較.新高考卷頻繁出現(xiàn)比較函數(shù)值大小、抽象函數(shù)等知識(shí)與方法，其實(shí)就是考查學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的能力以及數(shù)學(xué)建模思想.

2.2 凸顯主干知識(shí)，考查知識(shí)本源

例如，第12題以抽象函數(shù)為背景，考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)的概念及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.本題要求考生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).又如，第14題的答案不唯一，是一道開(kāi)放型填空題.如果考生規(guī)范地去求解兩圓公切線，計(jì)算量大且易錯(cuò)；如果考生有較好的直觀想象素養(yǎng)，通過(guò)精確作圖，不難“看出”答案！所以第14題蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思維，給不同水平的考生提供了不同梯度的思考空間，思維深刻而不失靈活，具有很好的選拔功能，也考查考生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與臨場(chǎng)發(fā)揮時(shí)的心理素質(zhì).

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

分析：此題難度等級(jí)為B.作為多選題的壓軸，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.

所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，則f(-1)=f(4)，故選項(xiàng)C正確.

不妨設(shè)f(x)=1,x∈R，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，但f(0)=1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

綜上，正確答案選：BC.

點(diǎn)睛：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，也涉及到數(shù)學(xué)三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，是函數(shù)奇偶性、抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)三者的“橫向集結(jié)”，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和類比思維的落腳點(diǎn).解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系及函數(shù)的性質(zhì)(必要時(shí)結(jié)合圖象)即可得解.

題3(新高考Ⅰ卷，14)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

圖1

點(diǎn)睛：本題考查了直線與圓、圓與圓相切的相關(guān)知識(shí).解題關(guān)鍵有三點(diǎn).一是定位置，利用圓心距與兩圓半徑和、差的關(guān)系，判斷兩圓位置關(guān)系；二是活用幾何性質(zhì)，如圓的垂徑定理，在由點(diǎn)到直線的垂線段、半弦與圓半徑組成的特征直角三角形中，由點(diǎn)到直線的距離公式等求切線方程、弦長(zhǎng)；三是數(shù)形結(jié)合，利用圖形的直觀性快速找到解題思路，秒求切線方程x=-1.

2.3 常規(guī)題目顯新意，機(jī)械刷題難取勝

例如第18題第(2)問(wèn)，將解三角形中求邊的范圍問(wèn)題與基本不等式有機(jī)結(jié)合，靈活且有新意.再如第19題，一道常規(guī)的立體幾何題，圍繞體積、面積，考查線線關(guān)系、線面關(guān)系、點(diǎn)面關(guān)系等主要知識(shí)點(diǎn).要求考生從整體出發(fā)，綜合運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題，有利于引導(dǎo)學(xué)生減少機(jī)械刷題.

分析：此題難度等級(jí)為B.利用倍角公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行恒等變形，根據(jù)正弦定理化邊為角，變成三角函數(shù)式，利用基本不等式求最值.

點(diǎn)睛：本題考查了倍角公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理及基本不等式等知識(shí).解題關(guān)鍵有三點(diǎn).一是要正確分析已知三角等式中的邊角關(guān)系，合理選擇“邊化角”還是“角化邊”；二是熟記三角公式與三角變換策略，將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)化為含有三角的函數(shù)式；三是正確使用基本不等式求最值，但需注意正余弦函數(shù)的有界性.

圖2

(1)求點(diǎn)A到平面A1BC的距離；

(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：此題難度等級(jí)為B.第(1)問(wèn)由等體積法運(yùn)算即可得解；第(2)問(wèn)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BC⊥平面ABB1A1.建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.

點(diǎn)睛：本題考查了三棱柱的體積公式、點(diǎn)到平面距離的求法和空間法向量的應(yīng)用.解題關(guān)鍵有兩點(diǎn).一是要注意兩個(gè)平面法向量的夾角與對(duì)應(yīng)二面角的平面角間的關(guān)系，善于利用幾何體中線線垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系；二是在求二面角的正弦值時(shí)，要防止求平面法向量出錯(cuò)、選用公式出錯(cuò)和空間中的點(diǎn)線面位置關(guān)系弄錯(cuò).

2.4 滲透思政德育，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用

例如第4題，以南水北調(diào)工程為素材，考查學(xué)生空間想象能力、運(yùn)算求解能力，滲透了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，也引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心國(guó)家重大建設(shè)成就，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感.第20題以疾病與衛(wèi)生習(xí)慣的關(guān)系為背景，“以生考熟”，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率.第20題第(2)問(wèn)的第(i)問(wèn)“頗具新意”，考生“望而卻步”，實(shí)際上很簡(jiǎn)單，僅僅只是條件概率公式的應(yīng)用，但是對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力、臨場(chǎng)應(yīng)變能力和基礎(chǔ)知識(shí)的熟練度提出了較高要求.

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

分析：此題難度等級(jí)為B.根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求解.

3 備考啟示

2023年將是新高考Ⅰ卷使用省份真正全面實(shí)施“新課標(biāo)”“新課程”“新教材”“新高考”(俗稱“四新”工程)的元年，“新課標(biāo)”就是“新考綱”，主旨要求就是落實(shí)“四基”“四能”和六大“核心素養(yǎng)”；教學(xué)要求就是要以學(xué)生為主體，開(kāi)展研究型和創(chuàng)新型教學(xué)；備考要求就是用高考引領(lǐng)高中教學(xué)而不是要高考去適應(yīng)高中教學(xué).“雙減”政策在新高考中的落地就是要讓教育回歸學(xué)生的天性，回到學(xué)生成長(zhǎng)的本真上.因此，復(fù)習(xí)備考時(shí)，抓住三個(gè)關(guān)鍵：一是研“標(biāo)”回“本”明方向，二是點(diǎn)面結(jié)合抓落實(shí)，三是扎實(shí)推進(jìn)重習(xí)慣.

3.1 重視教材，回歸本質(zhì)

歷年高考題中都會(huì)有一些題目來(lái)源于對(duì)課本題目的改造、延伸與拓展.加強(qiáng)對(duì)課本題目的研究，弄清命題者的意圖，深究本質(zhì)，并且可以嘗試著讓學(xué)生改編課本習(xí)題，鍛煉思維能力，也不失為一種好的復(fù)習(xí)方式！例如，本試卷第12題考查的是抽象函數(shù)圖象對(duì)稱性問(wèn)題，在新人教A版必修一第87頁(yè)的“拓廣探索”里就有介紹.雖然新高考對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的考查難度升級(jí)，曾經(jīng)的冷門知識(shí)進(jìn)入重點(diǎn)考查行列，更加注重創(chuàng)新能力和知識(shí)的全面考查，更加凸顯六大核心素養(yǎng)等新趨勢(shì)或者新變化，但是新科技(5G的應(yīng)用、大數(shù)據(jù)技術(shù)和AI技術(shù)等)革命也會(huì)給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一場(chǎng)新變革.因此，備考中教師要更加要求考生打好基礎(chǔ)，學(xué)好學(xué)科本源性方法，淡化特殊技巧與結(jié)論，強(qiáng)調(diào)通性通法的靈活應(yīng)用，用直覺(jué)思維代替“機(jī)械刷題”形成的模式與套路，用創(chuàng)新題考查知識(shí)與方法的快速遷移代替“快餐式”教學(xué)產(chǎn)生的押題與磨題.

3.2 重視學(xué)考銜接，培養(yǎng)運(yùn)算推理能力

計(jì)算是“童子功”，邏輯推理是“命根子”.教學(xué)中多設(shè)計(jì)學(xué)生參與的環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)他們成為課堂主角，以部分優(yōu)異帶動(dòng)整體氛圍，以學(xué)生之口代替教師之口，把課堂變成學(xué)生施展才華的空間，而不是教師的“報(bào)告會(huì)”.2022年高考數(shù)學(xué)題大家都反映計(jì)算量很大，這也體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算和數(shù)據(jù)分析能力的要求，幾乎所有的試題都呈現(xiàn)“思維+推理+計(jì)算”的三維作戰(zhàn)術(shù).例如第7，8，11，14，15，16，18，21，22等題，對(duì)計(jì)算能力很弱的同學(xué)絕對(duì)是“噩夢(mèng)”.教師要指導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)持積累運(yùn)算技巧，優(yōu)化算理，提高運(yùn)算熟練度及準(zhǔn)確度，積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，用草稿紙的厚度換取計(jì)算能力，增強(qiáng)解題邏輯分析能力和計(jì)算基本功！

3.3 創(chuàng)新問(wèn)題呈現(xiàn)方式，盡量“以生考熟”

2022年的數(shù)學(xué)試卷還發(fā)出了一個(gè)新的信號(hào)，就是過(guò)度基于現(xiàn)在的題海去應(yīng)試，在高考中并不是有效的.我們要倡導(dǎo)怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)、思維與方法去解決一些“活”的問(wèn)題.這些問(wèn)題的解決是得分的基本來(lái)源.例如第20題，對(duì)條件概率的考查，難度不大，但“耳目一新”，學(xué)生會(huì)在心理上覺(jué)得“難”.再如，2021年全國(guó)乙卷理科第9題，試題以“《海島算經(jīng)》中測(cè)量海島的高”為背景，在初中數(shù)學(xué)教材中“測(cè)量建筑物的高度”的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新,貫通了初高中知識(shí)的銜接與融合,既結(jié)合了跨學(xué)科知識(shí)，又展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.所以，平時(shí)訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)盡量避免枯燥的重復(fù)練習(xí)，在問(wèn)題呈現(xiàn)與表達(dá)方面多變點(diǎn)花樣，多讓學(xué)生感受到“新鮮”感；注意知識(shí)運(yùn)用的“縱向深入”與“橫向聯(lián)結(jié)”的雙重訓(xùn)練，使學(xué)生在潛移默化中鍛煉關(guān)鍵能力.這也是“雙減”政策的應(yīng)有之義.新高考要出新，首先就是各知識(shí)點(diǎn)出題的位置不能固化，但試卷總體結(jié)構(gòu)還是要由易到難，所以帶來(lái)了各知識(shí)點(diǎn)難度的大循環(huán).這也不失為2022年高考試題命制的創(chuàng)新之處.

總之，在“雙減”背景下，高考數(shù)學(xué)試題命制反猜題、反套路、反常規(guī)會(huì)越來(lái)越明顯，中檔題試題難度加大、題量增多，都會(huì)對(duì)考生提出更高要求，這是一種強(qiáng)烈的信號(hào).新課標(biāo)與新大綱領(lǐng)銜的“整體難度可控，各模塊難度不可控”的出題風(fēng)格，對(duì)六大核心素養(yǎng)的更深層次考查，將會(huì)導(dǎo)致新高考命題者放飛自我，題目會(huì)更加靈活多變，創(chuàng)新力度加大，今后的高考將會(huì)以選拔高質(zhì)量的創(chuàng)新性人才作為主要目標(biāo)，用高考來(lái)引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，回應(yīng)“錢學(xué)森之問(wèn)”.