劉飛飛

摘? 要：以“‘誘人的優(yōu)惠券”為例，從學(xué)生的生活世界出發(fā)，以數(shù)學(xué)建模為載體，結(jié)合信息技術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：生活實(shí)際；數(shù)學(xué)建模；信息技術(shù)

一、研究背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能；要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界；突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法；精選課程內(nèi)容，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)是綜合性的，數(shù)學(xué)的視野、態(tài)度、思維、價(jià)值判斷與問(wèn)題的解決交織在一起，這種綜合的素養(yǎng)要求數(shù)學(xué)課程更具開(kāi)放性，即不僅要在數(shù)學(xué)的圈子里看數(shù)學(xué)，更要通過(guò)數(shù)學(xué)去看世界. 這就需要教師具有跨學(xué)科思維素養(yǎng)，重視不同學(xué)科知識(shí)的交叉、融合，能夠從學(xué)生的生活世界出發(fā)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的跨學(xué)科課程，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)由“知識(shí)傳授”向“學(xué)科育人”教育目標(biāo)的轉(zhuǎn)變.

數(shù)學(xué)之所以具有廣泛的應(yīng)用性，是因?yàn)樗梢詾槠渌麑W(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及生產(chǎn)實(shí)踐和日常生活提供多樣化的數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)問(wèn)題層出不窮，活動(dòng)方法豐富多彩，可以為學(xué)生提供多樣化的、開(kāi)放的探索活動(dòng)空間，提升學(xué)生的跨學(xué)科意識(shí)，更好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提升學(xué)生綜合運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

二、研究?jī)?nèi)容

本文研究的內(nèi)容是滬教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第四冊(cè)第1部分“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)案例”中的“‘誘人的優(yōu)惠券”. 這個(gè)主題與學(xué)生的生活密切相關(guān)，大家都曾因優(yōu)惠券或多或少買過(guò)一些用處不大的東西，為此浪費(fèi)了許多的時(shí)間和金錢，這些經(jīng)歷能夠極大地激發(fā)學(xué)生的探究興趣. 本案例主要的研究目的是通過(guò)完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的理解，并增強(qiáng)學(xué)生利用信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

三、課前準(zhǔn)備

提前兩周和學(xué)生確定主題，學(xué)生結(jié)合經(jīng)驗(yàn)交流、思考，提出其認(rèn)為合理的問(wèn)題、設(shè)想和建議，并以小組合作的方式，通過(guò)搜集信息、實(shí)地調(diào)查嘗試建模，同時(shí)結(jié)合信息技術(shù)，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)公式、圖象、圖表等表達(dá)形式，求解模型并檢驗(yàn)結(jié)果.

四、研究過(guò)程

1. 實(shí)際情境

近年來(lái)，“雙十一”逐漸演變成一年一度的購(gòu)物狂歡節(jié). 面對(duì)商家復(fù)雜的優(yōu)惠規(guī)則，消費(fèi)者都嘗試用足優(yōu)惠. 最近，某商家推出三種優(yōu)惠券，分別是滿199元減20元、滿299元減50元、滿499元減110元. 這些優(yōu)惠券不可以疊加使用，但是它們可以與滿400元減50元的購(gòu)物津貼同時(shí)使用. 此外，這兩類優(yōu)惠方式有使用順序，必須先使用商家的優(yōu)惠券，再使用購(gòu)物津貼.

2. 提出問(wèn)題

組1：我們組傾向于理性消費(fèi)，一次性消費(fèi)一般不會(huì)達(dá)到400元，所以我們只考慮了滿199元減20元和滿299元減50元兩種優(yōu)惠方式.

組2：我們組考慮使用三種優(yōu)惠券，探究是否購(gòu)物金額越大享受的優(yōu)惠越大.

組3：我們組考慮使用三種優(yōu)惠券，再加上購(gòu)物津貼，探究是否購(gòu)物金額越大享受的優(yōu)惠越大.

組4：我們組最關(guān)心的是如何用最少的錢買最多的東西.

組5：我們組從商家的角度考慮問(wèn)題，探究如何設(shè)計(jì)優(yōu)惠券才能使利潤(rùn)最大化.

3. 建立模型

組1：對(duì)于滿199元減20元和滿299元減50元的優(yōu)惠券，我們首先考慮的是購(gòu)買商品的總金額是否滿足優(yōu)惠券的額度，然后比較其對(duì)應(yīng)的優(yōu)惠率，也就是將購(gòu)物金額看作自變量[x，] 將優(yōu)惠率看作函數(shù)值[y，] 則優(yōu)惠率等于優(yōu)惠的金額除以購(gòu)物金額. 由此可以建立函數(shù)模型[y=0 0

組2：基于事先的考慮，我們組分別計(jì)算了在不同購(gòu)物金額下對(duì)應(yīng)使用三種優(yōu)惠券的優(yōu)惠率，具體數(shù)據(jù)如表1所示.

組3：我們組考慮了三種優(yōu)惠券，再加上購(gòu)物津貼. 相比于組2，考慮得更加周全. 因?yàn)楫?dāng)購(gòu)物金額滿400元時(shí)可以使用減50元的購(gòu)物津貼，但是要先使用優(yōu)惠券之后才能用購(gòu)物津貼，所以滿450元就可以同時(shí)使用滿299元減50元的購(gòu)物券和滿400元減50元的購(gòu)物津貼. 同理，滿510元，可以使用滿499元減110元的優(yōu)惠券和滿400元減50元的購(gòu)物津貼. 由此可以建立分段函數(shù)模型

組4：我們最關(guān)心的是如何用最少的錢買最多的東西. 首先，當(dāng)然要貨比三家選擇售價(jià)最低的商家；其次，我們發(fā)現(xiàn)有的商品還有打折的優(yōu)惠，所以我們考慮的問(wèn)題是“先打折再滿減”和“先滿減再打折”兩種促銷方式相比較，哪種方式更省錢. 為了簡(jiǎn)化模型，我們以買的所有商品都打五折為例進(jìn)行建模.

（1）先打折再滿減.

設(shè)原購(gòu)物金額為[x]元，實(shí)際購(gòu)物金額為[t]元，折扣率為[y，] 則折扣率等于實(shí)際購(gòu)物金額除以原購(gòu)物金額，即[y=tx.]

組5：我們實(shí)地調(diào)查各大商場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)促銷的方式有很多，如直接打折、滿減、買二送一、積分返現(xiàn)等. 假設(shè)商場(chǎng)只考慮打折和滿減這兩種促銷方式（兩種促銷方式不疊加），我們想比較哪一種促銷方式商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)最大. 為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)商場(chǎng)商品以打八折或滿100元減20元這兩種方式進(jìn)行促銷. 設(shè)商品標(biāo)價(jià)為[x]元，兩種促銷方式下消費(fèi)金額對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別為[fx，gx].

可以看出，優(yōu)惠率隨著購(gòu)物金額呈現(xiàn)循環(huán)往復(fù)的規(guī)律波動(dòng)，在[199≤x<299，299≤x<499，x≥499]三個(gè)函數(shù)區(qū)間內(nèi)，優(yōu)惠率隨著購(gòu)物金額的增加而下降，在每個(gè)函數(shù)區(qū)間內(nèi)，分別當(dāng)[x=199，x=299，x=499]時(shí)，優(yōu)惠率達(dá)到最大，分別約為10.1%，16.7%，22.0%，且這三個(gè)最大值也逐漸增大. 所以并不是購(gòu)物金額越大，優(yōu)惠率越高，而要在購(gòu)物金額接近199元，299元，499元時(shí)考慮適當(dāng)“湊單”，以便享受更大優(yōu)惠. 其他情形還要理性消費(fèi)，不要為了“湊單”而買一些無(wú)用的東西.

組3：如圖3，用GeoGebra軟件作圖，可以看出當(dāng)[0

組4：如圖4，虛線代表“先打折，再滿減”的情況；實(shí)線代表“先滿減，再打折”的情況. 當(dāng)[0

組5：分析對(duì)于滿100元減20元的優(yōu)惠模型g（x）=MOD（x，100）+INT（x/100）×（100-20）.]

例如，當(dāng)[x=80]時(shí)，[fx=64，gx=80，f80

當(dāng)[x=100]時(shí)，[fx=80，gx=80，f100=g100;]

當(dāng)[x=150]時(shí)，[fx=120，gx=130，f150

當(dāng)[x=200]時(shí)，[fx=160，gx=160，f200=g200.]

發(fā)現(xiàn)對(duì)于整百元的商品，兩種促銷方式價(jià)格一樣，其余情況均為滿減的方式對(duì)商家更有優(yōu)勢(shì). 我們還利用偽代碼編程仿真實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)化分析，編程如5所示.

我們可以用計(jì)算機(jī)編程，對(duì)變量進(jìn)行賦值，通過(guò)比較選擇最有利于商家的一種促銷模式.

5. 回歸現(xiàn)實(shí)，反思結(jié)果

各組分別從不同角度進(jìn)行建模，并對(duì)所建模型進(jìn)行分析. 其中，為了簡(jiǎn)化模型，我們只考慮了購(gòu)物金額、優(yōu)惠率或折扣率，但對(duì)現(xiàn)實(shí)仍然具有一定的指導(dǎo)意義. 例如，作為消費(fèi)者，不要被商家的促銷策略所誘導(dǎo)，我們已經(jīng)知道并不是購(gòu)物金額越大，優(yōu)惠率就越高. 相反，隨著購(gòu)物金額的逐漸增大，優(yōu)惠率還可能越來(lái)越低. 有時(shí)商場(chǎng)對(duì)不同商品采取的促銷方式也不一樣，如有的商品是直接打折，有的商品是滿減，或者滿額返券，這種促銷方式可能更為復(fù)雜，因?yàn)榉档娜€要進(jìn)行消費(fèi)，往往要結(jié)合幾種不同的優(yōu)惠方式才能得到更多的優(yōu)惠.

而作為商家，本次建模主要考慮的是先打折再滿減和先滿減再打折這兩種促銷方式哪種獲利最多，實(shí)際上還有很多因素需要考慮，如消費(fèi)者的心理、消費(fèi)群體的特征，商場(chǎng)哪些商品適合打折、哪些商品適合滿減等，除此之外還要考慮庫(kù)存、成本、定價(jià)等因素. 有興趣的同學(xué)可以在課后繼續(xù)研究.

五、幾點(diǎn)體會(huì)

本次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，我們面對(duì)的是現(xiàn)實(shí)生活中購(gòu)物消費(fèi)的情境，各組學(xué)生從不同的角度提出問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想，把不同問(wèn)題用分段函數(shù)加以表征，給出了簡(jiǎn)化的模型. 在求解模型時(shí)，利用Excel繪制散點(diǎn)圖、折線圖等，利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)圖象，以及利用計(jì)算機(jī)編程，通過(guò)分析、比較與計(jì)算，得到了相應(yīng)的結(jié)論.

數(shù)學(xué)建模問(wèn)題一般比較復(fù)雜，需要進(jìn)行長(zhǎng)期的探索、研究，學(xué)生開(kāi)始會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，甚至限于知識(shí)儲(chǔ)備，可能會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)望而生畏，這時(shí)需要教師及時(shí)指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生勇于參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，大膽提出問(wèn)題，嘗試建立數(shù)學(xué)模型. 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)需要團(tuán)隊(duì)合作，每位成員都要增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，充分發(fā)揮自己的特長(zhǎng)，并善于吸納隊(duì)友的建議，通過(guò)集體的智慧，借助信息技術(shù)，使問(wèn)題不斷得以修正和解決.

數(shù)學(xué)建模與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)緊密相關(guān)：對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)；建立模型需要對(duì)數(shù)據(jù)、信息、圖表等進(jìn)行處理，需要學(xué)生具備直觀想象素養(yǎng)；求解模型需要學(xué)生具備邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 而對(duì)模型的分析、修正等，不僅需要數(shù)學(xué)知識(shí)，更需要其他領(lǐng)域知識(shí)的輔助. 因此，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是跨學(xué)科學(xué)習(xí)的良好載體，教師要不斷增強(qiáng)跨學(xué)科意識(shí)，不斷提高學(xué)生信息技術(shù)水平，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的情感體驗(yàn)，提高對(duì)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)興趣.

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