劉偉華

摘 要：數(shù)學(xué)解題與研究是一個(gè)深層次的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程，也是積累知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)、掌握技巧與方法的重要場(chǎng)所.本文通過(guò)一道強(qiáng)基計(jì)劃的向量綜合問(wèn)題的展示，結(jié)合不同數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用，剖析解題的方法技巧，深入拓展與研究，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)與內(nèi)涵，引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：向量；思維；視角；拓展；投影

平面向量集“形”“數(shù)”于一體，既有“形”的結(jié)構(gòu)特征，又有“數(shù)”的基本屬性，是溝通幾何與代數(shù)的一種非常有效的工具.因而，平面向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題成為各級(jí)各類(lèi)考試中的基本題型，形式多樣，變化多端，同時(shí)問(wèn)題的切入思維多變，解題的技巧方法眾多，成為數(shù)學(xué)試卷中的一道特殊的“風(fēng)景線(xiàn)”，倍受各方關(guān)注.

1?問(wèn)題呈現(xiàn)

該問(wèn)題以三個(gè)單位向量為場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，借助其中兩個(gè)向量的數(shù)量積為定值（此時(shí)可以確定該兩個(gè)向量的夾角），由此確定兩“定點(diǎn)”與一“動(dòng)點(diǎn)”，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況，進(jìn)而解決涉及平面向量的數(shù)量積的代數(shù)式的最值問(wèn)題.

而在具體解決問(wèn)題時(shí)，可以從平面向量的“形”的結(jié)構(gòu)特征與“數(shù)”的基本屬性等不同思維切入，通過(guò)“形”中的平面幾何知識(shí)、投影定義等，以及“數(shù)”中的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積基本性質(zhì)等技巧方法來(lái)分析與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破.

2?問(wèn)題破解

2.1?幾何思維

方法1：（投影法1）

解后反思：根據(jù)平面向量自身“形”的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)向量投影的定義加以直觀處理，經(jīng)常是解決平面向量數(shù)量積的最值中比較特殊的一種技巧方法.這里方法1和方法2分別借助局部與整體的平面向量投影思維來(lái)處理，思維視角不同，解題思維一致，殊途同歸.局部視角要進(jìn)行必要的變形與轉(zhuǎn)化，整體視角要求圖形更加復(fù)雜，各有利弊.

方法3：（數(shù)量積定義法）

解后反思：根據(jù)題設(shè)場(chǎng)景，結(jié)合向量的模與向量的夾角等的確定，構(gòu)建合適的平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)分析與處理平面向量問(wèn)題，是平面向量自身“數(shù)”的基本屬性的一個(gè)重要體現(xiàn).而代數(shù)思維處理平面向量中的最值問(wèn)題時(shí)，往往離不開(kāi)函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用.

2.3?不等式思維

方法5：（數(shù)量積性質(zhì)法）

3?變式拓展

3.1?類(lèi)比拓展

結(jié)合以上問(wèn)題的解題思路與技巧方法，保留題設(shè)條件與所求解的向量數(shù)量積的表達(dá)式，通過(guò)對(duì)問(wèn)題提問(wèn)方式的合理類(lèi)比，改變不同的視角，得到對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.

以上三個(gè)變式問(wèn)題的解題思路與技巧方法可以直接參考原問(wèn)題的解題過(guò)程，這里不多加以展開(kāi)與敘述.

3.2?深入拓展

結(jié)合以上問(wèn)題的解題思路與技巧方法，保留題設(shè)條件，通過(guò)改變所求結(jié)果中的向量數(shù)量積的表達(dá)式，進(jìn)而解決相應(yīng)的最值問(wèn)題.

4?教學(xué)啟示

波利亞曾說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”而在日常的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)過(guò)程中，還要引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的解題意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解對(duì)一道數(shù)學(xué)習(xí)題僅僅是解題的初始階段，看透一個(gè)問(wèn)題的真諦和把握數(shù)學(xué)習(xí)題的本質(zhì)才是解題的追求，對(duì)典型例習(xí)題合理有效地深入挖掘其內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，進(jìn)行巧妙變式與拓展，提升自身良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提升自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).