顧振宇，李斌

（1.永城職業(yè)學(xué)院，河南 永城 476600；2.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 東莞 523808）

1 引言

與傳統(tǒng)剛性機械臂相比，柔性機械臂具有能耗低、響應(yīng)快、輕質(zhì)高效、負載比高等諸多優(yōu)點。但是柔性機械臂在大范圍運動時會發(fā)生彈性變形振動，這種高頻振動會極大影響機械臂末端執(zhí)行器的定位精度，從而影響柔性機械臂的生產(chǎn)精度，嚴(yán)重時導(dǎo)致任務(wù)無法完成[1]。因此研究柔性機械臂的控制問題具有重要的實際意義。

柔性機械臂控制的基礎(chǔ)是建模，柔性機械臂控制研究包括模型建立和控制策略兩個方面。柔性機械臂建模方法包括集中質(zhì)量法、有限段法、有限元法及假設(shè)模態(tài)法等。集中質(zhì)量法也稱為質(zhì)量?彈簧法，也即將柔性機械臂等效為質(zhì)量快與彈簧的結(jié)合體，但是文獻[2]研究表明，質(zhì)量法的建模精度難以滿足需求。有限段法建模思想為，將柔性機械臂分解為多個剛性段，剛性段之間使用輕質(zhì)彈簧連接。有限元法是使用有限個自由度單元的組合體描述整體系統(tǒng)，模型精度與離散化程度有關(guān)。文獻[3]通過對臂架結(jié)構(gòu)離散化，大型柔性起重臂的有限元格式，實驗驗證了模型的準(zhǔn)確性。假設(shè)模態(tài)法以Rayleigh?Ritz法為基礎(chǔ)，使用有限維模態(tài)疊加估計系統(tǒng)整體模態(tài)。在柔性機械臂控制方面，主要包括PID控制、模糊控制、滑?？刂频确椒?。PID控制是工程上應(yīng)用最為廣泛的控制策略，文獻[4]針對柔性空間機械臂的不穩(wěn)定性，提出了自校正PID控制算法，實現(xiàn)了柔性空間機械臂的鎮(zhèn)定控制。模糊控制將專家語言轉(zhuǎn)化為控制策略，能夠很好地解決無模型系統(tǒng)的控制問題。文獻[5]將粒子群算法應(yīng)用于模糊PID控制器，實現(xiàn)了模糊域的智能優(yōu)化，有效抑制了機械臂自由端的振動?；？刂凭哂休^強的魯棒性，但是存在抖振問題。文獻[6]針對時滯柔性機械臂的強非線性、擾動、未建模動態(tài)等問題，設(shè)計了魯棒自適應(yīng)控制器，仿真驗證了該方法的有效性。

除此之外，柔性機械臂控制還有針對快慢變子系統(tǒng)的組合控制器。文獻[7]將使用攝動法將柔性機械臂分解為快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)，慢變子系統(tǒng)設(shè)計了帶觀測器的自適應(yīng)滑?？刂品椒?，快變子系統(tǒng)設(shè)計了魯棒滑?？刂?，實現(xiàn)驗證了該方法具有較好的魯棒性。

上述研究成果在各自設(shè)置的場景下取得了較好的控制效果，但是模型和參數(shù)不確定性對系統(tǒng)影響的考慮較少，因此針對模型和參數(shù)不確定情況下的魯棒控制器展開研究。研究了柔性機械臂模型不確定情況下的控制問題，建立了柔性機械臂的雙時標(biāo)模型，設(shè)計了自適應(yīng)滑模?H∞組合控制器，將該組合控制器應(yīng)用于柔性機械臂系統(tǒng)控制，達到了減小柔性機械臂振動、實現(xiàn)精確控制的目的。

2 柔性機械臂的雙時標(biāo)模型

2.1 柔性機械臂動力學(xué)模型

以單連桿柔性機械臂為例對建模使用的參數(shù)進行介紹，如圖1所示。圖中坐標(biāo)系Oxy為連桿坐標(biāo)系，Ox軸與連桿底部相切，Oy軸與Ox軸垂直，Ox0y0為初始時刻連桿坐標(biāo)系。w(x，t)為t時刻與O點距離x位置（點P）的彈性位移，θ為等效剛性連桿的關(guān)節(jié)角位移，ψ(x，t)為t時刻與O點距離x位置（點P）的角位移，JL為轉(zhuǎn)動慣量，τ為關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。

圖1 柔性機械臂系統(tǒng)Fig.1 Flexible Manipulator System

首先作出以下假設(shè)：（1）機械臂長細比較大，此時僅考慮彎曲變形而忽略剪切變形；（2）將末端負載視為質(zhì)點。在以上前提下，將機械臂等效為Euler?Bernoulli梁，根據(jù)假設(shè)模態(tài)法，彈性位移w(x,t)可描述為：

式中：n—振動模態(tài)最大階數(shù)；qi(t)—i階模態(tài)坐標(biāo)；?i(x)—i階模態(tài)振型函數(shù)。使用邊界條件可對式（1）進行求解［8］。

基于式（1）給定的彈性位移量，計算機械臂系統(tǒng)的動能和勢能，而后使用拉格朗日法建立柔性機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，為：

式中：M(q)—廣義慣性矩陣；q=[θ，q1，q2，…，qn]T—選擇的狀態(tài)向量；H()—哥氏力和離心力的耦合矩陣；C—廣義阻尼矩陣；K—廣義剛度矩陣；τ—施加的力矩。

2.2 雙時標(biāo)模型

將式（2）中的剛性運動和柔性運動進行區(qū)分，描述為：

柔性機械臂的剛性運動和柔性運動頻率差極大，表現(xiàn)出明顯的雙時標(biāo)特性。使用奇異攝動法［9］將柔性機械臂系統(tǒng)分為快時變子系統(tǒng)和慢時變子系統(tǒng)，引入攝動因子μ=1，其中λ一般取機械臂最小剛度系數(shù)，則定義新變量Ks=μK、z=qnμ。首先對式（3）左乘N，而后將新變量代入，得：

小參數(shù)μ使奇異攝動方程在快變量中顯示邊界層現(xiàn)象，將模型進行奇異分解，可以分別得到快時變子系統(tǒng)和慢時變子系統(tǒng)模型。令μ=0得到慢時變子系統(tǒng)模型為：

式中：下標(biāo)s—慢時變子系統(tǒng)；τs—慢時變子系統(tǒng)控制量。

將式（5）代入到式（3）中，得到慢時標(biāo)子系統(tǒng)模型為：

式中：下標(biāo)f—快時變子系統(tǒng)；τf—快時變子系統(tǒng)控制量。

式（5）、式（7）為柔性機械臂系統(tǒng)的雙時標(biāo)模型，慢時變子系統(tǒng)控制量τs和快時變子系統(tǒng)控制量τf疊加即可得到柔性機械臂系統(tǒng)控制量τ為：

3 滑模?魯棒控制器設(shè)計

為了實現(xiàn)對柔性機械臂的精確控制，減小柔性機械臂在工作過程中的振動，設(shè)計了滑模?魯棒控制器。對于慢時變子系統(tǒng)，設(shè)計了自適應(yīng)冪次滑?？刂?；對于快時變子系統(tǒng)，設(shè)計了H∞魯棒控制。

3.1 慢時變子系統(tǒng)控制器設(shè)計

3.1.1 趨近律設(shè)計

為了確保系統(tǒng)狀態(tài)處于滑模面s=0時，狀態(tài)離開滑模面的速度為0，即=0；同時為了減弱符號函數(shù)sgn()引起的抖振，使用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，為：

式中：sat()—飽和函數(shù)，定義為：

式中：Δ—滑模邊界層，一般取Δ=50。

3.1.2 滑模面設(shè)計及穩(wěn)定性分析

定義柔性機械臂剛性運動的轉(zhuǎn)角跟蹤誤差為：

式中：e(t)—轉(zhuǎn)角跟蹤誤差；θd(t)—期望的角位移。

選擇狀態(tài)量x1=e(t),x2=(t)，則慢時變子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

滑模面設(shè)計為：

將式（13）、式（14）代入到式（9）中，得到自適應(yīng)冪次滑?？刂坡蔀椋?/p>

定義Lyapunov函數(shù)為：

結(jié)合式（16）、式（17），并由Lyapunov 穩(wěn)定性定理可知，基于自適應(yīng)冪次趨近律滑模變結(jié)構(gòu)的機械臂慢時變子系統(tǒng)控制是穩(wěn)定的。

3.2 快時變子系統(tǒng)控制器設(shè)計

3.2.1 系統(tǒng)不確定性描述

式中：A—狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B—控制矩陣。

柔性機械臂的各階模態(tài)參數(shù)無法精確獲得，同時存在阻尼不確定性和附加干擾，考慮以上因素，柔性機械臂快時變子系統(tǒng)的狀態(tài)方程改寫為：

式中：ΔA、ΔB—參數(shù)不確定攝動矩陣，這里設(shè)定為范數(shù)有界；d—擾動；D11—輸出擾動矩陣；Cs—阻尼矩陣。

不失一般性，可以將參數(shù)攝動矩陣分解為適當(dāng)維數(shù)的矩陣，即：

式中：S、E1、E2—實數(shù)矩陣，反應(yīng)了參數(shù)不確定性對系統(tǒng)影響；F—Lebesgue可測的不確定常數(shù)矩陣，且有FTF≤I。

將式（20）代入到式（19）中，得到狀態(tài)空間方程為：

3.2.2 H∞魯棒控制設(shè)計

對于式（19）、式（21）所示的不確定系統(tǒng)，設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器τf=Kx，則閉環(huán)傳遞函數(shù)改寫為：

若狀態(tài)反饋增益K滿足：（1）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）閉環(huán)傳遞函數(shù)Tw(s)的H∞范數(shù)小于1（即‖Tw(s) ‖<1），則狀態(tài)反饋控制器τf=Kx為H∞魯棒控制。

定理1：對于不確定系統(tǒng)式（19），若存在對稱正定矩陣X、矩陣Y及常數(shù)λ>0，滿足矩陣不等式，如下：

則H∞魯棒控制器一定存在，且反饋增益為K=YX?1。此定理詳細證明過程可參考文獻[11]。

因H∞魯棒控制要求較為苛刻，一般求取狀態(tài)反饋γ次優(yōu)H∞魯棒控制，即要求閉環(huán)傳遞函數(shù)滿足：

γ次優(yōu)H∞魯棒控制存在的證明過程與H∞魯棒控制證明過程一致，這里不再贅述。γ次優(yōu)H∞魯棒控制的反饋增益依然為K=YX?1。

3.3 綜合控制律

結(jié)合3.1節(jié)和3.2節(jié)，得到快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)的組合控制律τ為：

綜合以上分析和設(shè)計，得到柔性機械臂雙時標(biāo)模型下的組合控制器框圖，如圖2所示。

圖2 組合控制框圖Fig.2 Combined Control Block Diagram

4 仿真驗證

4.1 自適應(yīng)滑?？刂菩Ч炞C

設(shè)置柔性機械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 機械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structure Parameters of the Manipulator

首先將機械臂視為剛性機械臂，不加入彈性振動。為了驗證自適應(yīng)滑?？刂频目刂菩Ч?，將其與傳統(tǒng)冪次趨近律滑?？刂频目刂平Y(jié)果進行對比。自適應(yīng)滑?？刂茀?shù)設(shè)置為：k=6、c=10，傳統(tǒng)冪次滑?？刂茀?shù)k、c設(shè)置與此一致，另外α=0.8。給定機械臂一個階躍輸入，使其轉(zhuǎn)動1rad，自適應(yīng)滑?？刂坪蛡鹘y(tǒng)冪次趨近律滑?？刂频母櫧Y(jié)果，如圖3所示。

圖3 兩種滑?？刂菩Ч鸉ig.3 Effect of the Two Sliding Mode

由圖3可以看出，傳統(tǒng)冪次滑?？刂频亩墩駮r間較長，經(jīng)過約1.48s能夠精確跟蹤階躍輸入，最大超調(diào)量達到了32.2%；自適應(yīng)滑?？刂频亩墩駮r間較短，經(jīng)過約0.32s就能夠精確跟蹤輸入信號，最大超調(diào)量僅為12.2%。以上數(shù)據(jù)表明，自適應(yīng)滑?？刂撇粌H使調(diào)節(jié)時間大大縮短，而且抖振幅度也大大減小。這是因為傳統(tǒng)冪次滑模控制在系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面時，狀態(tài)的趨近速度極小，大大影響滑模控制器的調(diào)節(jié)時間，且符號函數(shù)的硬切換方式使抖振幅度較大。而自適應(yīng)滑?？刂频膬绱坞S狀態(tài)值自適應(yīng)調(diào)整，當(dāng)狀態(tài)接近滑模面時使用極小的冪次，使?fàn)顟B(tài)能夠維持較大的趨近速度。且飽和函數(shù)的軟切換方式，使得滑?？刂频亩墩穹容^小。

綜合以上分析和圖3可以看出，自適應(yīng)冪次滑?？刂凭哂休^短的調(diào)節(jié)時間和較小的抖振幅度。與改進前相比。針對慢時變子系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂凭哂幸欢ǖ膬?yōu)越性。

4.2 綜合控制器驗證

將機械臂視為柔性機械臂，對機械臂施加組合控制。式（20）中的模型不確定參數(shù)設(shè)置為：

矩陣不等式中參數(shù)設(shè)置為：λ1=λ2=5，γ=10。則使用Mat?lab中的LMI工具箱求得H∞魯棒控制的反饋增益為：

將此基于H∞魯棒的組合控制與文獻［12］中基于LQR的組合控制器進行比較，控制過程為使柔性機械臂由0rad轉(zhuǎn)動到1rad。則兩種組合控制器對標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)的控制效果，如圖4、圖5所示。圖4和圖5中標(biāo)稱系統(tǒng)是指參數(shù)不變化的系統(tǒng)，不確定系統(tǒng)是指參數(shù)不確定系統(tǒng)，縱坐標(biāo)‖q‖表示振動模態(tài)位移歐式范數(shù)。

圖4 文獻[12]組合控制器Fig.4 Combined Controller in Essay[12]

圖5 H∞組合控制器Fig.5 H∞Combined Controller

分析圖4、圖5可以得出以下結(jié)論：（1）在兩種組合控制器的控制作用下，不確定系統(tǒng)的振動模態(tài)幅值均大于標(biāo)稱系統(tǒng)，說明參數(shù)不確定性對控制器的控制性能具有較大影響；（2）使用LQR組合控制器時，標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)的高頻振動模態(tài)幅值均較大，說明LQR組合控制器對抑制柔性機械臂抖振的能力有限；（3）使用H∞組合控制器時，標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)的振動模態(tài)幅值較小，且經(jīng)過0.1s調(diào)節(jié)后機械臂振動模態(tài)幅值幾乎為0，說明系統(tǒng)對標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)均具有較好的控制效果，H∞控制器具有較好的魯棒性；（4）從振動模態(tài)幅值上看，基于LQR 組合控制時，不確定系統(tǒng)的振動模態(tài)幅值最大為0.034rad，標(biāo)稱系統(tǒng)的振動模態(tài)幅值最大為0.013rad；基于H∞組合控制時，不確定系統(tǒng)的振動模態(tài)幅值最大為0.027rad，標(biāo)稱系統(tǒng)的振動模態(tài)幅值最大為0.010rad，以上數(shù)據(jù)表明H∞組合控制抑制柔性機械臂振動的效果好于LQR組合控制。H∞組合控制效果好于LQR組合控制是因為H∞控制具有較強的魯棒性，可以較好地解決參數(shù)不確定問題。

5 結(jié)論

這里研究了柔性機械臂的控制問題，建立了柔性機械臂的雙時標(biāo)模型，設(shè)計了自適應(yīng)滑?！狧∞組合控制器。經(jīng)仿真驗證得出以下結(jié)論：（1）對于剛性機械臂階躍輸入，自適應(yīng)滑?？刂频恼{(diào)節(jié)時間和超調(diào)量均小于傳統(tǒng)冪次滑?？刂?；（2）H∞組合控制器具有較好的魯棒性，對標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)的控制效果均優(yōu)于LQR組合控制器。